Cette page détaille les équations utilisées dans différentes pages de schemath.com . Dans chaque chapitre vous trouverez les liens de la provenance de la page concernée.

Médiane d'une serie de nombre consécutifs / Tout nombre = la différence de 2 carrés

Tout nombre est le produit de deux nombres:

Soit un nombre x , ce nombre égal x * 1 quel que soit ce nombre. Exemple 7 = 7*1 , 10 = 10*1.Si ce nombre est impair alors 2n+1 = (2n+1)*1 , si il est pair, 2n*1. Hors si ce nombre est pair alors il est aussi = à 2*n.

Médiane d'un nombre impair (donc de forme 2n+1)

La médiane du produit de ce nombre entre x et 1,dans la sequence 1,2,3,4...x  = (x +1)/2 et non pas x/2

exemple x=7

le millieu = 4 (et non pas 3,5) c'est a dire 1,2,3 = 3 nombres consécitifs , 4 le millieu , 5,6,7 = 3 nombres consecutifs  .

Donc si la forme de ce nombre est 2n+1 alors ce nombre est égal à n+1+n , la valeur de la médiane auusi appelèe "altitude" égal à (n+1); Dans l'exemple ci dessus,la representation de 7 = 2(3)+1 = 3+1+3, la valeur de chaque marche =1 , c'est à dire 1,1+1,1+1+1 ....l'altitude , la valeur, de la médiane = 1+7/2 = 1+n = 4.

En résumé: Médiane d'un (2n+1) =

Médiane d'un 2n

Si un nombre est pair alors la médiane entière est égale à (2n)/2 = n , hors la "largeur" de cette médiane = 0 , sa représentation étant n+0+n.Hors ma marche mesure 40cm!Exemple, Escalier de 10 marches,médiane  = 5, Si je fait (5+0+5)*40 , j'aurais bien 2m+0m+2m mais si je me tiens sur la 5 elle ne mesure pas 0 cm!!!!

Si je fait : médiane = (10+1)/2 = 5,5 , mon escalier mesure 10 marches et non pas 11....

Hors il existe une solution: Si je considére un nombre pair de forme 2n comme étant aussi égal à 2(n-1) + 2, alors 2n = (n-1) + 2 + (n-1).

Donc dans mon exemple d'escalier à 10 marche , n=5 , sa représentation est égale à 4+2+4 , la longueur des 2 marches du millieu = 80cm.Il faut donc que je monte l'escalier 2 par 2 marches.... si je commence par le pallier = 2émé marche,4éme,6,8,10 , si je commence par la premère marche 1,3,5,7,9 ...

En résumé: Médiane d'un 2n=

Cette expression parait stupide mais si l'on considére que n ou n-1 ou n-2 est divisible par 3 alors celà deviendra beaucoup plus interressant....

Clef de fermat N°2 : Théorème des extremes d'une factorielle

Nous avons dans la formule remplacer n par 1 pour calculer la somme totale des indices , mais quels sont les indices multiple de n et ceux qui ne le sont pas ?

Dans (n+0)(n+1)(n+2) il est facile ,comme vu précédement, de calculer le dernier terme = 0*1*2 =0 donc cette expression sera du type an³+bn²+cn¹,a+b+c=3!=6, somme des termes multiple de n = 6; 

Si par contre j'ajoute 1 à n alors j'obtiens (n+0+1)(n+1+1)(n+1+2) = (n+1)(n+2)(n+3) , cette expression deviendra an³+bn²+cn¹ + 6,somme totale des indices = 24 , indices multiple de n^x = 24-6 = a+b+c = 18  ; non multiple de n=6

Si je vérifie :  (n+0)(n+1)(n+2) =1n³+3n²+2n , (n+1)(n+2)(n+3)=1n³+6n²+11n+6 =>indices multiple de n = 18 , indices non multiple de n=6 , mais nous savons que Pierre de Fermat ne pouvait absolument pas développer ces expressions .

Calcul des extrêmes d'une factorielle n(n+1)(n+2)...(n+a):

Soit l'expression de nombre de facteurs pair (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), calculons le produit des deux extrémités (n+0)(n+5) = n²+5n+0n+0 = n²+5n+0 = (n)(n+5) quelque soit n.

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) : (n+1)(n+4) =n²+4n+1n+4 =n²+5n+4

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) : (n+2)(n+3) =n²+3n+2n+6 =n²+5n+6

Quelque soit le calcul de ces facteurs les multiples de n SONT TOUJOURS EGAUX

c'est à dire dans cet exemple il est égal à 5 ou ,si l'on considère que n²+5n = 1n²+5n , égaux 1+5 = 6

Nous remarquons que dans une expression du genre (n+a)(n+b) il nous suffit de retrancher a*b pour obtenir une expression n[n+(a+b)]

exemple : (n+5)(n+10) - 50 = n(n+15) , remplaçons n par 10 pour vérifier , 15*20 = 300 , 300-50 = 250 = 10*25

Soit l'expression de nombre de facteurs impair (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6), calculons le produit des deux extrémités (n+0)(n+6) = n²+6n+0n+0 = n²+6n+0 = (n)(n+6) quelque soit n.

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) : (n+1)(n+5) =n²+5n+1n+5 =n²+6n+5

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) : (n+2)(n+4) =n²+4n+2n+8 =n²+6n+8

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) : (n+2)(n+4) =n²+4n+2n+8 =n²+6n+9

Nous nous intéresserons, dans les paragraphes suivants, à : (n+2)(n+4) +1 = (n+3)²

Généralisations :

Carré d'un nombre de la forme 2n+

Soit un nombre 2n+= n+(n+) , la difference de ces 2 termes =(n+)-= , par exemple 5+(5+3) =5+8 , 8-5=3.

Ce nombre au carré = (2n+)² = 4n²+4n+² , si l'on factorise les 2 premiers termes par 4n alors (2n+)² = 4n(n+)+²

(2n+)² = 4n²+4n+² , si l'on factorise les 2 premiers termes par 2n alors (2n+)² = 2n(2n+2)+²

Notez que pour 1² , n=0 et =1

si = 0 alors (2n+0)² = 4(n)(n+0)+0 = 4n²

Rapprochement de 4n(n+a)+a² et (x+y)²-(x-y)²=4ab

Soit la formule (2n+)² = 4n(n+)+² et la formule de Diophante , si a=n et b=(n+):

Pourquoi s'intéresser qu'aux carrés impair?

Carrés pair dans (2n+)² = 4n(n+)+²

Soit x un nombre pair , il aura la forme 2n , son carré = 2²n² , si n est lui même pair alors son carré = 2²2²n'² et ainsi de suite jusqu'a ce que n soit impair dans tous les cas de figures

Par exemple 6 = 2*3 , 6² = 2²*3² , meme 2² = 2(1) = 2²1²

Dans l'équation  (2n+)² = 4n(n+)+² , si (2n+) est pair alors (2n+)²= 2²2²2²(4n'(n'+')+'²)

detail sur ce lien

Carrés pairs dans (a+b)²-(a-b)²=4ab

,  4ab=4ab que si (a+b) et (a-b) impair sinon l'on obtient 

détails sur ce lien

Carré impair

Soit la formule (2n+)² = 4n(n+)+² si (2n+)² est impair alors ² à la forme (2a+1)², c'est à dire que l'on remplace par 2a+1

L'intervalle entre n et (2a+n+1) =2a

n(n+2a+1) divisible par 2 donc 4n(n+2a+1) divisible par 8

Exercise:  Soit 8(n) un nombre, quel est le carré impair à rajouter ?

Si ce nombre est de type 8n c'est que n est impair sinon il serait 8(2n) = 16n

8n = 4*2*n la difference entre n et 2 = n-2. il faut rajouter (n-2)² pour obtenir

soit ;  4n(n+2a+1) + (2a+1)² ,n-2 = 2a+1 => 4n(n+n-2)+(n-2)²=>4n(2n-2)+(n-2)²=>8(n)(n-1)+(n-2)²

exemple 8(7) = 56 = 4*2*7 , 7-2 = 5² , 56+25 = 81 = 9²

Egalité entre [2(n+a)+1)]² et x²-y²

Soit un carré x² = (x²-y²)+y²=(x-y)(x+y)+y² , si x est impair il a la forme 2n+1 alors dans (x-y)(x+y)+y² si x=2n+1 et y=1 =>  (2n+1)² = (2n+1-1)(2n+1+1)+1² => (2n+1)² = (2n)(2n+2)+1² , si y=2 alors (2n+1)²=(2n-1)(2n+3)+2² , si y=3 alors  (2n+1)²=(2n-2)(2n+4)+3²

Pour connaitre le carré rajouté il faut prendre la valeur absolue des nombres ajoutés à 2n et les diviser par  2

Exemple  (2n+1)²=(2n-2)(2n+4)+3² , 2+4 =6 ,6/2 = 3....

Si dans (x-y)(x+y)+y² , y² est impair (y est donc impair) :

Les 2 facteurs du produit (2n+1-y)(2n+1+y) sont factorisables par 2 , exemple (2n-2)(2n+4)+3² = 4(n-1)(n+2)+3²

La valeur absolue de la somme des 2 nombres =y

Si y = 2a+1 alors:

(2n+1)² = (2n+1-y)(2n+1+y)+y² => (2n+1)²=[(2n+1)-(2a+1)] [(2n+1)+(2a+1)]+(2a+1)² => (2n+1)²= [2(n-a)][2(n+a)+2)+(2a+1)²=>

exemple n=4 a=1 , 9²=4(3)(6)+3² , si n=1 a=4 alors 3²=4(-3)(6)+81 = 81-72=9

Si n=n+a alors :( 2n+1 )² = 4(n-a)(n+a+1)+(2a+1)² = (2(n+a)+1)²  = 4n(n+2a+1) + (2a+1)²

Hypothénuses

Dans la page  nous aboutissons aux formules suivantes:

( 2n+1 )² = 4(n-a)(n+a+1)+(2a+1)²

=

n est une somme de 2 nombres n'+a

(2n+1)² = (2(n'+a)+1)²  = 4n'(n'+2a+1) + (2a+1)²

Soit un nombre polygonal , trouver le coté = Racine Polygonale

Orientation de mes recherches:

Dans ma recherche sur l'étude des nombres polygonaux de Pierre de Fermat outre toutes les théories énoncées ci-dessus , Nombres de forme 2n ou 2n+1 selon sa parité (voir paragraphe précédent) et les factorielles, il y a un élément fondamental qui a attiré mon attention et mon incomprehension la plus totale:

La formule des nombre polygonaux utilisée par Diophante est    : alors que Pierre de Fermat utilise la formule        , cette formule si le polygone à 4 cotés (c'est a dire P=4) donne n² = n² ce qui à priori n'abouti à rien... (je vous suggère de suivre ce lien pour un petit rappel)

Je vous rappelle aussi qu'un nombre triangulaire est aussi un autre cas particulier , si l'on remplace P par 3 alors T_(n) = n(n+1)/2 , T_(n)= à la somme des nombres de 1 a n

Quoi qu'il en soit dans ces deux formule : Polygonal (n) de coté P = ou = ,le gros problème est que ,pour trouver le coté d'un nombre polygonal ,c'est à dire n, il faut retirer à ce nombre un nombre n ou un nombre n² , puis trouver ce nombre n...

Si pour un nombre triangulaire T ,ce nombre est facile à trouver avec la formule ,qui est , je le rappelle un cas particulier, T_(n) = n(n+1)/2 c'est une autre paire de manche pour trouver n avec pentagonal.

Polygonaux et 2n ou 2n+1:

Si dans la formule de Diophante d'un nombre polygonal d'un nombre de coté P :   nous remplaçons x par 2n ou 2n+1 selon sa parité l'on obtient pas grand chose (je vous faut grâce de mes calculs ) par contre , si dans nous remplaçons x par 2n ou 2n+1 selon sa parité alors :

donc :

Au vu de ces formules leurs intérêt ne saute pas immédiatement aux yeux pourtant nous pouvons dors et déjà écrire :

Premières conclusions

Si un nombre NP est un nombre polygonal alors NP-1 est le produit de deux nombres, quelque soit son nombre de cotés P

Et donc aussi : Sauf si n=1 , NP-1 n'est pas premier

Il nous suffit donc , pour trouver le produit de ces deux nombre de retrancher 1 à n'importe quel nombre polygonal , par exemple 36 -1 = 35 = 7*5  (36 étant un nombre polygonal de 4 cotés)

La somme de deux polygonaux sera égale à ab+cd+2 , la somme de trois polygonaux sera égale à ab+cd+ef+3 ...

Simplification:

Si pour un polygone de 4 coté cette representation est pratique ,le terme (P-4)(2n+1) ou (P-4)(n) étant égale a zéro , elle n'est pas ,pour ma part, representative des autres polygones entre autre pour P=3 au quel cas (P-4) sera négatif,  et puis cet équation est compliquée et il est très difficile d'en trouver des points communs

Il nous faut donc transformer le Tableau précedent des deux produits +1 pour qu'il "ressemble" à la factorielle ci dessus , par exemple pour P=4,le produit de deux nombres d'un carré impair -1 étant égal à n(4n+4) est aussi = à 2n(2n+2) , donc x=2n  

	Polygonal d'un nombre impair =>2n+1 =		Polygonal d'un nombre pair =>2n
	Produit :	=	Produit :	=
P=3	n(2n+3)+1		(2n-1)(n+1)+1
P=4	n(4n+4)+1	=	(2n-1)(2n+1)+1	=
P=5	n(6n+5)+1		(2n-1)(3n+1)+1
P=6	n(8n+6)+1		(2n-1)(4n+1)+1

Exemple :

Trouvons le coté du Pentagonal (p=5) = 145 , 145 -1 =144 , que l'on multiplie par 6 ce qui sera égal 144*6 = 864 = 27*32 = (30-3)(30+2) , 2n=10 , n=5

Problématique 1 , choisir quelle fonction appliquée: Si pour un carré nous trouvons très facilement si il est issu d'un nombre de type 2n ou 2n+1 (antécédent d'un nombre 2n ou 2n+1avec p=4), le carré d'un nombre ,de type 2n, étant pair et le carré d'un nombre impair ,de type 2n+1 étant impair , par exemple le carré de 2*3+1=5 ,impair, 7²=49 , le carré de 6,6² pair, =36 pair ;ce qui nous permet de choisir la bonne somme du tableau si dessus . Ce n'est pas le cas d'autres polygonaux , triangulaires, pentagonaux ....

Problématique 2 , choisir les deux "bon" facteurs : Pour un carré nous trouvons le coté facilement, et pour un nombre triangulaire c'est , en appliquant la formule simplifiée (n)(n+1)/2 , il est facile d'en extrapoler les deux facteurs consécutifs (exemple T₍₅₎15 , *2 = 30 = 5*6), l'on voit que cela est une autre paire de manche pour un pentagonal ...

Exemple : trouver le coté d'un pentagonal (P=5) = 145 - 1 = 144 *6 = 12*12*6 = (3*3*3)(4*4*2)=27*32 = (6*5-3)(6*5+2) , n=5 vraiment pas facile

Pour résoudre ces deux problématiques , utilisons le théorème des deux extrêmes:

rappel : appliquons au tableau en modifiant a et b de telle sorte que -ab soit égal au diviseur :

Soit x est un polygonal de coté p, trouver le coté

(*) si a+b = 0 alors on ne peut pas extrapoler ab

Exemple : quel est le triangulaire de 15 (P=3) ,c'est à dire juqsu'a quel nombre on ajoute pour obtenir 15 (1+2+3 ...?): 15*2=30 = 5*6 le plus petit facteur est un impair, jusque là rien d'extraordinaire puisque avec la formule x(x+1)/2 = T , x(x+1)=2T on arrive au même resultat

Autre exemple : cherchons maintenant la valeur du coté d'un pentagonal (P=5) = 145 (qui est égal au produit de 2 nombres/6) donc 6*145=6*5*29=29*30 , le plus petit terme étant impair alors il est issu de , donc 30=6*5 , donc 2n=10 !!!!

Notez que pour resoudre la problématique N°2 nous avons choisi la sequence (6n-1)(6n) parce qu'un des deux facteur est divisible par 6 ; en effet (6n+2)(6n+3) n'est pas divisible par 6.

Détails carrés pair

Décomposition de X² pair , obtention d'une représentation unique de x²

si x 0 (mod) 2 alors x = 2n <=> x = 2(n-1) +2 , faisons le carré:

factorisation de (n-1)

Je prouve par ce développement que le carré d'un nombre pair /4 est un autre carré en effet :

n² étant un carré pair ou impair alors si il est pair il suffit de le diviser de nouveau par 4 , si impair on lui retire 1...

Puisque le carré d'un nombre pair est un autre carré * 4 alors il suffit de divisé le carré jusqu'a l'obtention d'un carré impair , puis d'appliquer la méthode pour trouver la racine carré d'un nombre impair , par exemple:

puisque nous avons divisé 2 fois par 4 alors

nous avons donc décomposé 10.000 comme suit : qui est égal à

Nous en déduisons donc la représentation universelle du carré d'un nombre

Pour la représentation d'un carré impair a=1 =>4¹(n)(n+1) + 4⁰ = 4(n)(n+1)+1

Pour la représentation de 4^a => n=0 , exemple 16 = 4² = 4²(0x1+1)=4²*1²

Carrés pairs dans (a+b)²-(a-b)²=4ab

Carrés pairs dans (a+b)²-(a-b)²=4ab

donc   (x²-y²)+y²= x² , x est une somme impair de 2 nombres (a+b) , y sera = à (a-b) => x²= (a+b)²=4ab+(a-b)²

Dans l'équation , => 4(a'+b')² - 4(a'-b')² =  4(a'+b')(a'-b')  ou plus généralement  4ⁿ(a'+b')² - 4ⁿ(a'-b')² =  4ⁿ⁺¹(a'+b')(a'-b')

calculs annexes sur 4n+1

Cas 4n+1 , n est un carré donc 4n+1=> 4n' ² +1

Pour ce cas trouver les deux carrés qui composent un 4n+1 est facile:

Exemple 101 = 4(5²)+1 ; qui est égale à (2*5)(2*5) + 1² = 10²+1² , autre exemple 17 = 4*4+1 = 4²+1² , tout simplement parce que 4n² = (2n)(2n) +1 = (2n)²+1 . 2n = 2n

Autres cas :

Si un nombre à la forme 4n+1 ,premier ou non , égal donc à 2 * 2 * n + 1 , puisque 2xy+(x-y)² = x²+y² ; Si l'on remplace x par 2 , et y par n alors

Si n est premier c'est à dire = uniquement à n*1 , il n'y a que 2 solutions pour (n-2)² = 1 ...

Cas 4n+1 , n premier

Petite précision : tout nombre qu'il soit premier ou nom est égal à lui même * 1 C.A.D n=n+1 , seul les nombres premiers NE SONT = QU'A n x1

exemple 15 es tégal à 3x5 mais aussi 15x1 . Notez aussi que je prend n impair (de la forme 2n+1) parce que 2n n'est pas premier:

si (n-2)² = 1

Si un nombre à la forme 4n+1 et n x 1 , il est égal à 2 * 2 * n + 1 , donc il n'existe que 2 solutions pour que 4n+1 soit une hypothénuse:

si (n-2)² <>1

idem pour la "fameuse" hypothénuse = 29  = 4(7)+1 est en fait égal à 2x2x5 + (5-2)² = 5² + 2²

Mettons tout ça en équation : Si vous cherchez une équivalence avec 2xy+(x-y)²  = x²+y² je vous promet de longues nuits blanches  !!!!

L'astuce est en fait de remplacer N dans 4N+1 par 2n+1 (j'utilise N et 2n+1 au lieu de n et n' afin de rendre ce qui suit plus facile à lire)

Soit 4N+1  si N est impair remplaçons N par 2n+1, si N pair par 2*(2n+1)

Cas N non premier , N=xy/2  

Exemple : 41 = 4(10)+1 =>10=(4*5)/2 = 2[2*2*5]+1 = 2x=4 , y=5 donc 2*4*5 + (4-5 = -1)² = 4²+5²  , 16+25 est bien égal à 41.

Autre exemple :  Trouvez les carrés que composent 61 , solution : 61 = 4(15)+1 = 2 * 5 * 6 +(6-5)²= 5²+6² (25+36 = 61)

Citations

La solution de Fermat

Quels sont mes pistes : Dans le Livre III question 22  (L3Q22) Trouver 3 nombres tels , que le carré de leur somme étant soustrait de chacun d'eux , les restes soient des carrés

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), ....

Dans le Livre V question 12 (L5Q12) Diviser l'unité en deux parties telles que la somme de chaque partie et d'un nombre donné soit un carré.

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

Patrick Stoltz le 22/09/2017

pstoltz@shemath.com