J'ai entrepris depuis de nombreuses années d'étudier et de détailler  toutes les notes de Pierre de Fermat sur l'Arithmética ; Il s'avère que ses annotations les plus récurrentes ne sont pas , comme on pourrait s'y attendre , son petit Théorème, les nombres polygonaux, ou les triangles de Pascal  mais sont relatives à son théorème dit : "des deux carrés".

Ce théorème est cité entre autre dans le Livre III question 22  (L3Q22) en ces termes :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

Emile Brassine ajoute : D'après Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²), par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotient du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

Dans la suite de cette étude , je nomme aussi toutes les références des notes de Pierre de Fermat (en Vert) et les notes de Emile Brassine en bleu foncé.

L'équation

Dans la page L1Q30 , nous avons détaillé la formule suivante : la somme de 2 nombres au carré moins la différence de ces deux nombres au carré = 4 fois le produit de ces deux nombres , c.a.d  (x+y)² - (x-y)² = 4xy =>  (x-y)² + 4xy = (x+y)²  .

Exemple : soit x=2 y = 5 alors l'hypothénuse x² + y²= 2²+5² = 29 , le coté x²-y² = 5²-2² = 21 et le coté 2xy = 2*5*2 = 20 ce qui forme le triangle rectangle entier 21²+20²=29²

le triangle "de base" Z, est formé des 2 cotés de longueur 2 et 5 et dont l'hypothénuse mesure

Tout nombre 4n+1 premier est composé de 2 carrés Méthode 1

Livre III question 22  (L3Q22) :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Soit (x-y)² = x²-2xy+y² alors (x-y)²+2xy = x²-2xy+y²+2xy = x²+y² les 2 carrés de base de la formule

On note que si Z est la somme de 2 carrés de base alors Z-la difference de x et y au carré = 2 fois le produit x et y.exemple : 61 -1² = 2*6*5 ; 61=6²+5² autre exemple 29-3²=2*5*2 = 5²+2²

  + 2xy = (x+y)²

Rapprochement avec (2n+1)²

Soit un carré impair = (2n+1)² = 4(n)(n+1)+1 alors Z=2(n)(n+1)+1² = n²+(n+1)² , par exemple 13² = 4(6)(7)+1 , Z= 2(6)(7)+1 = 6²+7²=85

n²+(n+1)² est une des hypothenuses possible du carré (2n+1)²

Rapprochement avec (2(n+a)+1)²  = 4n(n+2a+1) + (2a+1)²

Raprochons les 2 formules alors:

donc pour tout Z impair , (n>0)  =>

2a+1 est bien égal à  x-y. c.a.d si y=(n) x=(n+2a+1) alors x-y = n+2a+1-n=2a+1

Notez que Z²=n²+(n+2a+1)² , n² + 2(n)(n+2a+1) + (n+2a+1)² =(n+n+2a+1)²

Voyons 2n(n+2a+1)+(2a+1)² dans un tableau

Variation commune entre n et a

donc

Z=4N+1 est une somme de 2 carrés 

Rappels

Une des hypothénuses possible du carré (2n+1)² =

Exemple 7²=4(3*4)+1 = 49 => 2*(3*4)+1 = 25 = 3²+4²

4(n)(n+1)+1 est un carré impair , si n pair ou n impair 4(n)(n+1) 0 (mod 8)  donc 2n(n+1)  0 (mod 4)

Le grand secret :

Preuve N°1

Dans 2xy+(x-y)² = x²+y² =Z , il faut prendre Z et lui retrancher à tatons un carré impair tel que x-y =2xy , par exemple 109 - 1 /2 = 54 = 2*27 , 109 - 3² = 100/2=50 = 2*25 (diference 23 ou 10*5 diference 5) , 109 - 5² = 84/2 = 42 = 2*21 =4*7 ,7-4 = 3 et non pas 5 , 109 - 7² = 60 /2=30=2*3*5=10-3=7, 109 est une hypothénuse...

si   ,le terme  2n(n+1) = 2n(n-1) + 4n donc :

si je retire 1 à  a alors (2a+1) ² devient le carré impair précédent C.A.D (2(a-1)+1)², le terme 4na devient =  4n(a-1) + 4n , 4n que je retranche de 2n(n+1) pour donner 2n(n-1)

Théoréme :

Puisque Z = 2(n)(n+1) + 4na + (2a+1)²  =

si Z = 4(N) + 1 premier il existe un seul produit na  tel que Z=n²+(n+2a+1)²

Preuve N°2

Soit   Z=2(n-a)(n+a+1)+(2a+1)²,si je décremente a alors,  le carré impair inferieur de (2a+1)²=(2(a-1)+1)²=(2a-1)² et 2(n-a)(n+a+1)=> 2(n-(a-1))(n+(a-1)+1) => 2(n-a+1)(n+a+0)

(2a+1)²-4a = (2n-1)² ,2(n-a)(n+a+1) + 4a = 2(n-a+1)(n+a)

4n+1 non premier  = k(4n+1) k<>1

Dans L5Q12 E.Brassine détaille l'observation de Fermat en ces termes:

...d'aprés Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²) , par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotien du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

Si Z premier 2(n-a)(n+a+1)+(2a+1)² = 2(n-a)(n+a+1)+4a(a+1)+1 si a => a-1 alors 2(n-a+1)(n+a)+(2a-1)²

Livre III question 22  (L3Q22) :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

et aussi

livre V question 12

OBS. DE FERMAT: Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

Autre représentation du coté (y²-y²)² de (x²+y²)² = (x²-y²)² + 4x²y²

Soit donc

Exemple x=5, y=2  : 29²=21²+20² => 29²=(5²-2²)²+20² = (5²+2²)² = 7²3²+ 4*5²2²

Autre exemple x=3 , y=2 : 3²+2²=13 , 13² =  (3²-2²)²+(2*3*2)² => 13²=5²+12² => 13²=5² * 1²+4*3²2²

Somme des produits des cotés d'un triangle rectangle entier

Soit quelle est la somme des produits (x+y)²(x-y)² et 4x²y² ?

Théorème :

Soit  => Z² = (x²-y²)² + 4x²y²  => Z² =(x+y)²(x-y)² + 2x²2y² :

Exemple : 5²+12²=13² , 5²=5²*1² => 5²+1²= 26 (= 2*13) ,12²=2 x 3² x 2 x 2² => 2x3² + 2x2²=2(3²+2²) = 26

Nous verrons par la suite que ce théorème est de la plus haute importance

Notez que 2Z n'est pas une invention personelle mais est evoqué dans l'arithmética Livre V question 7 et 8 , entre autre dans ces formules des 2 cotés d'un triangle rectangle :

Trouver la valeur de Z=x²+y², Z premier

Si il n'est vraiment pas facile de trouver les 2 carrés que compose une hypothénuse (si s'en est une) ,exemple 41 est composé de 4²+5² , il est beaucoup plus facile de trouver les 2 carrés de 2Z

En effet si z premier (ou impair) , Z est composé d'un carré pair et d'un carré impair , le pair ou l'impair etant le plus grand il faudra en fait retirer à taton de Z,2²,3²,4²...etc pour retomber sur un autre carré

Hors si  Z² =(x+y)²(x-y)² + 2x²2y² , le coté (x+y)²(x-y)² sera forcement impair puisque Z² premier (divisible que par Z) forcément impair. 2Z sera donc la somme de 2 carrés impairs = (x+y)² + (y-y)²

Exemples: 41 = 4²+5² , 82 = 9²+1² = (5+4)²+(5-4)²

Autre exemple : Z=29 ,2Z = 58  = 58-3²=49=7² .58 = 7²+3² par la suite, (5+2)²=7² , (5-2)²=3²= Z= 5²+2²

Comment trouver x et y dans (x+y)² + (x-y)² ?

Il suffit de poser  : (x+y)+(x-y) = x+y+x-y = 2x et (x+y)-(x-y) = x+y-x+y = 2y

41 = 4²+5² , 82 = 9²+1² = 9+1 =10= 2x , 9-1 =8=2y , x=5 ,y=4

Si Z premier à la forme 4n+1 , Z=8n+2 celà fonctionne , si 4n-1 celà ne fonctionne pas ....

Exemple n=11 ,2n=22 n'est pas la somme de 2 carrés impairs