Hypoténuse 4n + 1

J'ai entrepris depuis de nombreuses années d'étudier et de détailler  toutes les notes de Pierre de Fermat sur l'Arithmética ; Il s'avère que ses annotations les plus récurrentes ne sont pas , comme on pourrait s'y attendre , son petit Théorème, les nombres polygonaux, ou les triangles de Pascal  mais sont relatives à son théorème dit : "des deux carrés".

Ce théorème est cité entre autre dans le Livre III question 22  (L3Q22) en ces termes :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

Emile Brassine ajoute : D'après Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²), par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotient du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

Dans la suite de cette étude , je nomme aussi toutes les références des notes de Pierre de Fermat (en Vert) et les notes de Emile Brassine en bleu foncé.

 

L'équation

Dans le L1Q30 , Diophante évoque la formule (x+y)²=(x-y)² + 4xy . Fermat utilise dans L3Q22, L5Q7-8 et d'autres questions l'équation (x²+y²)²=(x²-y²)² + (2xy)² permettant entre autre de générer une infinité de carrés.

 

K=1

Dans L5Q12 E.Brassine détaille l'observation de Fermat en ces termes:

...d'aprés Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²) , par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotien du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

 

X  ou Y est pair

Soit l'expression composant un triangle rectangle de coté k(x²-y²) et k(2xy) , si L'hypothénuse est premiere alors K=1 () alors la somme de ces deux cotés ne peut être paire.

Le coté 2xy étant pair , le coté x²-y² est forcément impair ,sinon

k     0 (mod 2 ).

x² - y² = (x+y)(x-y) implique que (x+y) et (x-y) sont impair (si un des deux facteur était pair alors le produit serait pair )

 

Donc X ou Y est pair (la somme de deux nombres impairs étant paire)

k     0 (mod 2 ) signifie k est divisible par 2.

k     0 (mod 4 ) .................. ......      par 4.

Si vous n'êtes pas familier avec la notation de l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien pour un petit rappel

V signifie OU

donc :

 

Signifie que x²-y² est divisible par 1/4 , et 2xy est divisible par 4

Nous avons aussi la confirmation dans le livre I question 30 que    ce qui implique que si (a+b)/2 est un entier alors a ou b est 0 (mod 2)

 

Exemple : soit le triangle rectangle 20,21 d'hypothénuse 29 (5²+2²) ,alors 5²-2²=(5+2)(5-2)=21

et

 

Soit l'équation (x²+y²)²=(x²-y²)² + (2xy)² , l'on forme un triangle rectangle dont l'hypothénuse est entière.

Ce triangle n'est rectangle que si

De plus

z² = x² + y²

L'hypoténuse x²+y²

Si alors :

est l'hypoténuse du triangle rectangle de coté (équivalent à (x+y)(x-y) ) et de coté   :  

est l'hypoténuse ² du triangle de coté x et de coté y ,c'est à dire

Exemple : Soit x=3 et y =2 alors , par la formule

l'hypoténuse du triangle rectangle de coté 5 et 12 est 13 :

l'hypoténuse ² du triangle de coté 3 et 2 est 13 :

Fermat note cette hypoténuse carrée:  , c'est à dire X²+Y²=Z² , et Z 4 = (X²+Y²)²

 

Z² + 2xy = (x+y)² et Z² - 2xy = (x-y)²

Soit Z²=x²+y², somme de 2 carrés de coté x et de coté y, alors l'on peut former en ajoutant ou soustrayant le coté 2xy deux nouveaux carrés :  (x+y)² et un carré (x-y)².

 

et c'est à dire

 

Exemple : soit le triangle rectangle de coté 20 et de coté 21 et donc d'hypoténuse 29 (5²+2²) alors 29 + 20 = (5+2)² et 29-20 = (5-2)²

x=2d ou d , y=b ou 2b

Mes références :

Dans l'Opera Varia , Fermat utilise les quantités d et b comme des "lignes de données"d'un triangle rectangle ; Je défini la lettre b comme la base d'un triangle rectangle et d sa hauteur; triangle que l'on peut retourner comme la lettre b qui devient d , et la lettre d devenant b. Dans L5Q8 , Fermat utilise un "triangle de base" de cotés d et  comme suit :

... Qu'on prenne un triangle quelconque dont l'hypothénuse soit Z, la base b , la hauteur d, de celui-ci on déduit un autre triangle dissemblable de même aire ; il est formé de z² et de 2db ...

Dans L5Q24 Fermat utilise un triangle de base de rapport r:s ...

Le triangle de coté 2xy et x²-y² => 4db et (4d²-b² ou d²-4b²)

Par l'équation  L1Q30 : (x+y)²-(x-y)²= 4xy => 4db = (d+b)²-(d-b)²

 

Par le procédé exposé L5Q8 si X²+Y² ce triangle rectangle:

.

Si l'hypoténuse est première, Y ou X étant pair alors le coté 2xy est forcément divisible par 4

 

Implique qu'il existe un "triangle de base" dont la hauteur ou la base est paire.

 

X v Y=

2d

Ou

d

Y v X=

b

Ou

2b

 

Si, dans ce triangle rectangle , 2xy = 4db alors le coté x²-y² = (2d)²-b² ou d²-(2b)²

et son hypoténuse première est égale à (2d)²+b² ou d²+(2b)².

Rappel : pour que k=1 alors x²-y² est impair , sinon k=2 puisque 2xy est forcément pair

 

 

Possibilité 1

Possibilité 2

2xy

4db=2(2d)(b)<=>(d+b)²-(d-b)²

x²-y²

(2d)²-(b)²

<=>

(2d+b)(2d-b)

(d)²-(2b)²

<=>

(d+2b)(d-2b)

Z²=x²+y²

(2d)²+(b)²

(d)²+(2b)²

 

Ceci implique donc que:

  

Avec une quantité identique 4db ,l'on peut créer deux carrés de coté (2d+b) ou (d+2b)

Matrice correspondante:

 

d

b

2d

2b


4bd

(2d)²-b²

(2d)²+b²


4bd

d²-(2b)²

d²+(2b)²

1 1 2 2   4 3 5   4 -3 5
2 1 4 2
8 15 17
8 0 8
3 1 6 2
12 35 37
12 5 13
3 2 6 4
24 32 40
24 -7 25
3 3 6 6   36 27 45   36 -27 45
4 1 8 2
16 63 65
16 12 20
4 3 8 6
48 55 73
48 -20 52
5 1 10 2
20 99 101
20 21 29
5 2 10 4
40 96 104
40 9 41
5 3 10 6
60 91 109
60 -11 61
5 4 10 8
80 84 116
80 -39 89
6 1 12 2
24 143 145
24 32 40
6 3 12 6
72 135 153
72 0 72
6 5 12 10
120 119 169
120 -64 136
7 1 14 2
28 195 197
28 45 53
7 2 14 4
56 192 200
56 33 65
7 3 14 6
84 187 205
84 13 85
7 4 14 8
112 180 212
112 -15 113
7 5 14 10
140 171 221
140 -51 149
7 6 14 12
168 160 232
168 -95 193
23 9 46 18
828 2035 2197=133
828 205 853

Colonne b et d

Toutes les combinaisons de 2 nombres impairs

L'on ne trouve pas d et b = 4 et 2 ,6 et 2, 6 et 4 car dans ce cas le coefficient multiplicateur commun serait 2²

 

exemple : 6 et 4 produirait 2 triangles rectangles :

De coté 96,128,160 <=> 4x24 , 4x32 ,4x40

et de coté 96, 28 , 100 <=> 4x24, 4x7x , 4x25

 

6 4 12 8
96 128 160
96 -28 100

 

Colonne 4bd :

Identique pour les deux groupes de triangle rectangles différents (voir ci-dessus)

 

Groupe de colonnes :

 

4bd

(2d)²-b²

(2d)²+b²

 

Équivaut à un premier triangle rectangle

 

4bd

d²-(2b)²

d²+(2b)²

 

Équivaut à un second triangle rectangle

 

Même avec des valeurs négatives de d²-(2b)² , le triangle rectangle indiqué reste juste et transposable en positif.

Exemple: Soit d et b = 3 et 2 , le second triangle rectangle ainsi formé est : 24 , -7 , 25  => 24²+7²=25²

L'hypothénuse (2d)²+b² est la somme de 2 carrés dont le coté est 2d et d

L'hypothénuse d²+(2b)² est la somme de 2 carrés dont le coté est d et 2d

((2d)²+b²)² V d²+(2b)²)² = (4n+1)²=> X²+Y² ou comment créer une nouvelle hypoténuse avec un carré ?

Mes références et pistes :

Dans L3Q22 , Fermat construit à partir de Zn de nouvelles hypoténuses...dans L6Q26 Fermat énonce :

L'aire d'un triangle rectangle exprimée en nombres entiers ne peut être égale à un carré .. Si l'aire d'un triangle était un carré , on donnerait deux quatrièmes puissances dont la différence serait un carré... 

 

Exemple:

Soit le carré de 13 = 13² => somme des carrés de 3 et 2 au carré (b=3 , 2d=2) , (3²+2²)² => qui devient la somme de deux quatrièmes puissances de 3 et 2 ,  34 + 24 auquel on ajoute 2(3x2)² et qui au final devient la somme de deux carrés de 5 et 12  =>  5²+12² , en résumé : 13² = (3²+2²)² = 34 +2(3x2)2 + 24  = 5² + 12²

Dans 5²+12², comme expliqué au chapitre précédent (et par ce que 13 est un premier de type 4n+1) , le terme 12² est égal à (4db)² c'est à dire 16(db)² et dans  34 +2(3x2)2 + 24 , le terme 2(3x2)2 = 2(bx2d)² = 2(b²x4d²) =2(4xb²xd²)= 8(bd)² ou 8(db)²

FONDAMENTAL : que 4n+1 soit de type b²+(2d)² ou (2b)² + d² les différences 16(bd)² ou 16(db)² et 8(bd)² ou 8(db)² restent IDENTIQUES

donc :  34 +  8(db)² + 24  = 5² + 16(db)² , si je retranche 16(db)²  des deux cotés j'obtiens : 34 - 8(db)² + 24  = 5² , 5 étant égal à (3+2)(3-2) <=> 3²-2², 5²=(3²-2²)²

34 - 8(db)² + 24  = (3²-2²)²

Vérifions : 81- 8(3x1)² + 16 => 81-72+16 = 5²

Démonstration:

Soit l'expression , nous savons que , mais à quoi est égal le terme si

Rappel :

V veut dire OU

X 0 (mod 2) signifie que X est pair

Y 0 (mod 2) signifie que Y est pair

 

développons les 2 facteurs carrés:

Multiplions chaque terme de chaque facteur

+16bd3et -16bd3 ,  +4b3d et -4b3d s'annulent

+4(bd)²-16(db)²+4(bd)²=-8(bd)²

16 (qui est une constante) = 24

 

développons les 2 facteurs carrés:

Multiplions chaque terme de chaque facteur

-16b3d et +16b3d , 4bd3 et -4bd3d s'annulent

+4(bd)²-16(db)²+4(bd)²=-8(bd)²

16 (qui est une constante) = 24

Nous en concluons que :

= ou

Mais aussi que :

Si => + ou +

Notez que (en référence au L4Q1 et 2 et à mes notes personnelles sur L4Q1):

 

Vérifions sur l'exemple : 81- 8(3x1)² + 16 = 81-72+16 = 5² , 81+72+16=13²

 

Nous prouvons aussi le théorème de Fermat sur la surface des triangles rectangles :

L'aire d'un triangle rectangle exprimée en nombres entiers ne peut être égale à un carré .. Si l'aire d'un triangle était un carré , on donnerait deux quatrièmes puissances dont la différence serait un carré... 

8(db)² ne peut être un carré (si d et b sont impairs)

 

Relation 4n+1 et (x+y)² et 4n+1 = x²+y²

Relation 4n+1 = x² + y²

si   et 2xy = 4db alors  

 

ce qui implique que :

 

X et Y forment un nouveau triangle rectangle de cotés 2xy (=4db) et x²-y² dont l'hypoténuse ,de forme 4n+1

Avec l'hypothénuse x²+y² = 4n+1 l'on peut former deux nouveaux carrés :

 

x²+y²+2xy = x²+y²+4db=(x+y)²

x²+y²-2xy = x²+y²-4db=(x-y)²

n

4n

z²=4n+1

=x²+y²

X

Y

2xy

=

4db

x²-y²

z²+2xy

z²-2xy

1 4 5 =2²+1²

2

1

4 3

9

1

3 12 13 =3²+2²

3

2

12 5

25

1

4 16 17 =4²+1²

4

1

8 15

25

9

7 28 29 =5²+2²

5

2

20 21

49

9

9 36 37 =6²+1²

6

1

12 35

49

25

10 40 41 =5²+4²

5

4

40 9

81

1

13 52 53 =7²+2²

7

2

28 45

81

25

15 60 61 =6²+5²

6

5

60 11

121

1

18 72 73 =8²+3²

8

3

48 55

121

25

22 88 89 =8²+5²

8

5

80 39

169

9

24 96 97 =9²+4²

9

4

72 65

169

25

25 100 101 =10²+1²

10

1

20 99

121

81

27 108 109 =10²+3²

10

3

60 91

169

49

28 112 113 =8²+7²

8

7

112 15

225

1

29 116 117 =6²+9²

6

9

108 45

225

9

Relation 4n+1 et (x+y)²

L'on peut aussi en déduire que si 4n +1 est premier alors

pour (a-b)=1

(a+b) (a-b)

(a+b)²-(a-b)²

=4ab

4ab/4

=ab

 

3 1 8 2

 

4 1 15 3+3/4

=15/4

5 1 24 6

 

6 1 35 8+3/4

=35/4

7 1 48 12

 

8 1 63 15+3/4

=63/4

9 1 80 20

 

10 1 99 24+3/4

=99/4

11 1 120 30

 

12 1 143 35+3/4

=143/4

13 1 168 42

 

14 1 195 48+3/4

=195/4

15 1 224 56

 

16 1 255 63+3/4

=255/4

n est un entier

Pour que l'équation , il faut que car le terme

.

Puisque x ou y est pair et y ou x impair alors la somme et la différence de x et y est impaire.

De plus cette somme au carré - 1 est divisible par 4

 

donc

Prouvons que 

 

Pour que l'équation , il faut que car le terme .

 

Nous avons constaté dans la question 30 du livre I que     qui implique qu'un nombre au carré , (représenté dans cette formule par (a+b)²) ,moins 1 (représenté par le terme (a-b)² ) est un multiple de 4 ., c'est à dire , (mais qui n'implique pas que a et b soit des entiers)

 

D'autre part , nous avons vu que X ou Y est pair et l'autre impair  ( ), x=2d ou y=2b.

donc Si x ou y pair

 

alors

 

(x+y) ou (x-y)

(x+y)²-1

(x-y)²-1

((x+y)²-1 )/4

x+y

=

n+n-1

1 0 0  
3 8 2 2+1
5 24 6 3+2
7 48 12 4+3
9 80 20 5+4
11 120 30 6+5
13 168 42 7+6
15 224 56 8+7
17 288 72 9+8
19 360 90 10+9

 

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