Hypoténuse 4n + 1

J'ai entrepris depuis de nombreuses années d'étudier et de détailler  toutes les notes de Pierre de Fermat sur l'Arithmética ; Il s'avère que ses annotations les plus récurrentes ne sont pas , comme on pourrait s'y attendre , son petit Théorème, les nombres polygonaux, ou les triangles de Pascal  mais sont relatives à son théorème dit : "des deux carrés".

Ce théorème est cité entre autre dans le Livre III question 22  (L3Q22) en ces termes :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

Emile Brassine ajoute : D'après Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²), par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotient du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

Dans la suite de cette étude , je nomme aussi toutes les références des notes de Pierre de Fermat (en Vert) et les notes de Emile Brassine en bleu foncé.

 

L'équation

Dans la page L1Q30 , nous avons détaillé la formule suivante : la somme de 2 nombres au carré moins la différence de ces deux nombres au carré = 4 fois le produit de ces deux nombres , c.a.d  (x+y)² - (x-y)² = 4xy =>  (x-y)² + 4xy = (x+y)²  .

hors, comme l'énonce le célébrissime théorème de Pythagore : a²+b²=c² , si a² = (x-y)² et c²=(x+y)² sont bien des carrés entiers, 4xy n'est pas un carré entier  puis que =

Fermat et Diophante utilisent donc dans L3Q22, L5Q7-8 et d'autres questions :

La somme de 2 nombres carrés  au carré moins la différence de ces deux nombres carrés au carré = 4 fois le produit de ces deux carrés ce qui donne l'équation suivante

 , permettant de générer une infinité d'hypothénuse.

 

L'hypoténuse x²+y² = Z , (x²+y²)² = Z²

Si alors une hypothénuse ENTIERE est composée de la somme de 2 autres carrés x² et y² , (nommés par Fermat d et b dans le L5Q8 ,)

 

 est l'hypoténuse Z² du triangle rectangle de coté et de coté   :  

 est l'hypoténuse Z d'un autre triangle "de base" de coté x et de coté y ,c'est à dire

 

Soit l'équation (x²+y²)²=(x²-y²)² + (2xy)² , l'on forme un triangle rectangle dont l'hypothénuse est entière.

          

Ce triangle n'est rectangle que si

De plus

Exemple : soit x=2 y = 5 alors l'hypothénuse x² + y²= 2²+5² = 29 , le coté x²-y² = 5²-2² = 21 et le coté 2xy = 2*5*2 = 20 ce qui forme le triangle rectangle entier 21²+20²=29²

le triangle "de base" Z, est formé des 2 cotés de longueur 2 et 5 et dont l'hypothénuse mesure

 

Tout nombre 4n+1 premier est composé de 2 carrés

Livre III question 22  (L3Q22) :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Rappel:

(2(n+a)+1)²  = 4n(n+2a+1) + (2a+1)²

Rapprochement 4n)(n+2a+1) + (2a+1)²=(2N+1)² et x²+y² = Z

Soit l'identité remarquable  (x-y)² = x²-2xy+y² alors  (x-y)²+4xy =  x²-2xy+y²+4xy=x²+y²+2xy = (x+y)²

 

Donc: soit la formule (2N+1)² = 4(n)(n+2a+1)+(2a+1)² si (x+y)² est impair alors :

(x+y)² = (2N+1)²

=

4xy=4(n)(n+2a+1)

x=n ;  y=n+2a+1

+

(x-y)²=(2a+1)²

 

Et aussi : (x-y)² = x²-2xy+y² alors (x-y)²+2xy = x²-2xy+y²+2xy = x²+y² les 2 carrés de base de la formule

 

On note que si Z est la somme de 2 carrés de base alors Z-la difference de x et y au carré = 2 fois le produit x et y.exemple : 61 -1² = 2*6*5 ; 61=6²+5² autre exemple 29-3²=2*5*2 = 5²+2²

Raprochons les 2 formules alors:

 

x²+y²

=

2xy=2(n)(n+2a+1)

x=n ;  y=n+2a+1

+

(x-y)²=(2a+1)²

donc pour tout Z impair , (n>0)  =>

2a+1 est bien égal à  x-y. c.a.d si y=(n) x=(n+2a+1) alors x-y = n+2a+1-n=2a+1

Voyons 2n(n+2a+1)+(2a+1)² dans un tableau

n/a

a=0

a=1

2

3

4

5

n=0 1 =0² +1² 9 =0² +3² 25 =0² +5² 49 =0² +7² 81 =0² +9² 121 =0² +11²
n=1 5 =1² +2² 17 =1² +4² 37 =1² +6² 65 =1² +8² 101 =1² +10² 145 =1² +12²
2 13 =2² +3² 29 =2² +5² 53 =2² +7² 85 =2² +9² 125 =2² +11² 173 =2² +13²
3 25 =3² +4² 45 =3² +6² 73 =3² +8² 109 =3² +10² 153 =3² +12² 205 +14²
4 41 =4² +5² 65 =4² +7² 97 =4² +9² 137 =4² +11² 185 =4² +13² 241 =4² +15²
5 61 =5² +6² 89 =5² +8² 125 =5² +10² 169 =5² +12² 221 =5² +14² 281 =5² +16²
6 85 =6² +7² 117 =6² +9² 157 =6² +11² 205 =6² +13² 261 =6² +15² 325 =6² +17²
7 113 =7² +8² 149 =7² +10² 193 =7² +12² 245 =7² +14² 305 =7² +16² 373 =7² +18²
8 145 =8² +9² 185 =8² +11² 233 =8² +13² 289 =8² +15² 353 =8² +17² 425 =8² +19²
9 181 =9² +10² 225 =9² +12² 277 =9² +14² 337 =9² +16² 405 =9² +18² 481 =9² +20²

 

x²+y² premier

Si n pair , n+2a+1 impair, Si n impair n+2a+1 pair donc:

si x²+y² premier alors

 

Dans L5Q12 E.Brassine détaille l'observation de Fermat en ces termes:

...d'aprés Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²) , par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotien du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

 

 

k(4n+1) k=1

Livre III question 22  (L3Q22) :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

et aussi

livre V question 12

OBS. DE FERMAT: Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

Autre représentation du coté (y²-y²)² de (x²+y²)² = (x²-y²)² + 4x²y²

Soit donc

Exemple x=5, y=2  : 29²=21²+20² => 29²=(5²-2²)²+20² = (5²+2²)² = 7²3²+ 4*5²2²

Autre exemple x=3 , y=2 : 3²+2²=13 , 13² =  (3²-2²)²+(2*3*2)² => 13²=5²+12² => 13²=5² * +4*3²2²

 

 

Somme des produits des cotés d'un triangle rectangle entier

Soit quelle est la somme des produits (x+y)²(x-y)² et 4x²y² ?

Produit : (x+y)²(x-y)² Produit : 4x²y² = 2x²2y²

somme des 2 facteurs de ces produits

(x+y)² + (x-y)²

=

x²+2xy+y²  +   x²-2xy+y²

=

+2xy - 2xy s'annulent

=

x²+y²+x²+y²

=

2x²+2y²

2x² + 2y²

 

 

rappel :

= 2(x²+y²) = 2Z

= 2(x²+y²) = 2Z

 

Théorème :

Soit  => Z² = (x²-y²)² + 4x²y²  => Z² =(x+y)²(x-y)² + 2x²2y² :

Théorème:

La somme des produits des deux produits qui composent les deux cotés un triangle rectangle Entier = 2 fois l'hypothénuse

soit

si   alors   

 

Exemple : +12²=13² , 5²=5²*1² => 5²+1²= 26 (= 2*13) ,12²=2 x 3² x 2 x 2² => 2x3² + 2x2²=2(3²+2²) = 26

Nous verrons par la suite que ce théorème est de la plus haute importance

 

Notez que 2Z n'est pas une invention personelle mais est evoqué dans l'arithmética Livre V question 7 et 8 , entre autre dans ces formules des 2 cotés d'un triangle rectangle :

Trouver la valeur de Z=x²+y², Z premier

 

Si il n'est vraiment pas facile de trouver les 2 carrés que compose une hypothénuse (si s'en est une) ,exemple 41 est composé de 4²+5² , il est beaucoup plus facile de trouver les 2 carrés de 2Z

En effet si z premier (ou impair) , Z est composé d'un carré pair et d'un carré impair , le pair ou l'impair etant le plus grand il faudra en fait retirer à taton de Z,2²,3²,4²...etc pour retomber sur un autre carré

Hors si  Z² =(x+y)²(x-y)² + 2x²2y² , le coté (x+y)²(x-y)² sera forcement impair puisque Z² premier (divisible que par Z) forcément impair. 2Z sera donc la somme de 2 carrés impairs = (x+y)² + (y-y)²

Exemples: 41 = 4²+5² , 82 = 9²+1² = (5+4)²+(5-4)²

Autre exemple : Z=29 ,2Z = 58  = 58-3²=49=7² .58 = 7²+3² par la suite, (5+2)²=7² , (5-2)²=3²= Z= 5²+2²

 

Comment trouver x et y dans (x+y)² + (x-y)² ?

Il suffit de poser  : (x+y)+(x-y) = x+y+x-y = 2x et (x+y)-(x-y) = x+y-x+y = 2y

41 = 4²+5² , 82 = 9²+1² = 9+1 =10= 2x , 9-1 =8=2y , x=5 ,y=4

 

Si Z premier à la forme 4n+1 , Z=8n+2 celà fonctionne , si 4n-1 celà ne fonctionne pas ....

Exemple n=11 ,2n=22 n'est pas la somme de 2 carrés impairs

 

 

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