La clef de Fermat

Contexte  :

L'arithmetica de Diophante (environ 200-300) est une liste de questions arithmétiques contenues dans VI livres . Par la suite,l' arithmetica fut étudié et annoté par Bachet (1581-1638) , par Fermat(1601-1665) et en 1853 par Emile Brassine (*), professeur à l'école impériale d'artillerie de Toulouse.

 

C'est au cours de l'étude du livre II question 9 de l'Arithmetica de Diophante que Fermat a posé son grand théorème  (         ) ; Il est dit que Fermat ne disposait pas d'outils mathématiques suffisant pour énoncer son Grand théorème, tout au plus pour n3 ou n4 .Il fut démontré 300 ans plus tard par Andrew Wiles (Un document de plus de 120 pages que seul un vingtaine de mathématiciens peuvent comprendre )

Il n'y a pas que le grand théorème qui ne fut pas démontré par Pierre de Fermat mais aussi :

Son théorème des hypothénuse 4n+1 (4n+1 est la somme de 2 carrés)

Son petit théorème , p premier, Évoqué en octobre 1640 dans une lettre à Frenicle de Bessy , démontré par Euler un siècle plus tard

n     0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n  par p = 0 ,

Si vous n'êtes pas familier avec la notation de l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien pour un petit rappel

Dans la question 31 du livre IV Fermat fait l'observation suivante: Que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires; carré ou composé de deux , de trois ou de quatre carrés ; pentagones ou composé de deux , trois , quatre ou cinq pentagones, et ainsi de suite à l'infini... théorème non démontré par Fermat et pour lequel il voulait écrire un livre ...

Et puis il y eut la lettre du  4 Novembre 1636 de Fermat à Roberval où l'on retrouve l'expression suivante: ...

Ma démarche :

J'ai toujours pensé que Pierre de Fermat  n'était pas un menteur , mais qu'il avait posé ces théorèmes , à tord ou à raison , grâce à une ou plusieurs formules clef suffisamment simple pour être mémorisées , car Fermat , magistrat de métier , devait avoir ces formules clef en tête pour ses études , et que celles-ci étaient passées inaperçu au cour des siècles.

J'ai donc entrepris , pendant 2 ans , d'étudier un bon nombre de ses annotations sur l'arithmetica de Diophante, de les traduire par des formules mathématiques littérales , et de les  publier (Page arithmetica de ce site) ,  afin de trouver ces clefs eu où il avait eût ce déclic ...

Je me suis vite aperçu que Fermat avait évoqué son grand théorème au début de l'Arithmetica (Livre II), mais que ce déclic a eut lieu sur la fin (Livre IV question 31).

Vous constaterez par la suite que Fermat , dans toutes ses thèories , exploitait un nombre x composé d'une partie multiple de n et une autre pas , (par exemple 4n+1) ce qui est le principe même des nombres complexes . (exemple 4i+1...)

 

Introduction à la clef de Fermat

 

Observation de Fermat sur l'étude du problème de Diophante (Livre sur les nombres polygonaux question 4): Etant donné un nombre polygonal trouver le coté

Qu'est ce qu'un coté d'un polygone ?

Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre;

La multiplication du triangulaire, par le nombre qui le suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du pyramidal;

Le produit du pyramidal, par le nombre suivant de la progression, donne le quadruple du triangulo--triangulaire, et ainsi à l'infini par une méthode générale et uniforme;

J'avais , dans un premier temps, traduit à tort par ;   ; et rectifié en 2015 par 

  ;  :   mais  j'avais bien traduit par l'expression suivante :

expression confirmée par la lettre de Pierre de Fermat à Roberval du 4 Novembre 1636 ou l'on trouve l'expression suivante:

.

et je ne pense pas qu'on puisse donner sur les nombres un théorème plus beau et plus général, je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la demonstration à la marge

Matrice des "cotés" de nombres polygonaux

1!

2! ( )

 3! (P)

4!(TT)

5!

6!

7!

n

/1

n(n+1)

/2

n(n+1)(n+2)

/6

n(n+1)...(n+3)

/24

n...(n+4)

/120

n...(n+5)

/720

n...(n+6)

/5040

N=1

1

1

1

1

1

1

N=2

3

4

5

6

7

8

N=3

6

10

15

21

28

36

...4

10

20

35

56

84

120

5

15

35

70

126

210

330

6

21

56

126

252

462

792

7

28

84

210

462

924

1716

8

36

120

330

792

1716

3432

9

45

165

495

1287

3003

6435

10

55

220

715

2002

5005

11440

11

66

286

1001

3003

8008

19448

12

78

364

1365

4368

12376

31824

13

91

455

1820

6188

18564

50388

14

105

560

2380

8568

27132

77520

15

120

680

3060

11628

38760

116280

16

136

816

3876

15504

54264

170544

17

153

969

4845

20349

74613

245157

18

171

1140

5985

26334

100947

346104

19

190

1330

7315

33649

134596

480700

20

210

1540

8855

42504

177100

657800

21

231

1771

10626

53130

230230

888030

22

253

2024

12650

65780

296010

1184040

 

2! signifie factorielle de 2 C.A.D 2! = 1x2 ; 5! = 1x2x3x4x5

 = la colonne 

 

Colonne T = = Ligne N=3 si N >2

 

Colonne P = = Ligne N=4 si N > 3

 

 

Colonne TT = = Ligne N=5 si N > 4

 

J'avais (en 2010)  relevé l'importance de cette formule , Pierre de Fermat ayant terminé cette observation par "je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la demonstration à la marge" , même phrase qu'il utilise à la fin de son grand théorème; Même si cette matrice ressemble à un triangle de Pascal , et a un certain nombre de propriétés intéressantes , je n'avais pas compris son intérêt au point d'être "sur les nombres un théorème plus beau et plus général"

Jusqu'a ce que je tente de résoudre (en 2015),sans calculatrice et sans à avoir à résoudre une équation du second degrés,  l'expression d'un nombre triangulaire : soit   trouver n

En résumé (Détails sur ce lien) , si nous observons bien cette matrice alors nous constatons que la colonne   2! est égale à la ligne n=3 à partir de     (3)  

Ce qui implique que si un nombre est un Triangulaire T(n) alors , dans la formule    , il nous suffit de remplacer n par 3 , (nombre de cotés d'un triangle) pour égaler le nombre de facteurs du numérateur et du diviseur . Pour compter le nombre de facteurs du numérateur l'on compte de 1 à (n+1) ou du diviseur on compte de 1 à (n-1) => 3*4*....(n+1) / 1*2*3*(n-1)

Exemple si   (5) = 15 alors

pour    (5), comptons 3,4,5,6 c'est à dire 4 facteurs 5-1 facteurs , le premier facteur = 3 le dernier facteur = n+1 ; La valeur du coté d'un triangulaire de valeur 15 est 5 c'est a dire 3*4*5*6 = 360 / 24 = 15 , mais c'est aussi (6!/2)/4!

 

J'en ai donc déduit que :

 

 

Très important : le dernier facteur = (2+(n-1)) = (n+1)... (le dernier facteur du numérateur (n+1) multiplié par l'inverse du dernier facteur du diviseur (inverse de 1/(n-1)=(n-1)) est = n²-1

Exemple ci dessus : pour T(5) alors 6*4 = 5²-1

et puisqu'un triangulaire égale la somme des nombres de 1 à n alors:

 

 

Suite des applications de cette formule au paragraphe de cette page Arithmética Livre IV Question 31 

0!

 

Dans ces égalités colonnes / lignes, examinons la colonne 1! = N/1 et la ligne N=2.

Pour n>1 , La colonne 1! égale la ligne N=2.

Exemple : ; nombre de facteurs n-1 = 5 , le numérateur = 2x3x4...n, le dénominateur = 1x2x3 ... (n-1)

Encore rien d'extraordinaire mais nous comprenons déjà pourquoi le nombre 1 est exclus de cet ensemble car si nous incluons 1 dans cet exemple alors est donc ne serait plus vrai. (ce qui produit dans les factorielle la problématique de la convention 0!=1 dont nous nous passerons)

nota : Le dernier facteur du numérateur, (1+n-1) = n

 

n=3 ...

 

Pierre de Fermat au (suget des hypothénuses 4n+1) écrit en marge dans le livre V question 12 :

OBS. DE FERMAT: Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

A force d'essayer de comprendre la relation de cette phrase avec toutes les autres annotations (sus et sous nommées) de Pierre de Fermat , j'en conclus que Pierre de Fermat avait trouvé cette relation FONDAMENTALE sur les nombres (déjà entrevue ci-dessus ):

 

 

 

il existe un seul et unique nombre n tel que le produit de 1 à n = la somme de 1 à n

 

 

Autrement dit :seulement 1*2*3 = 1+2+3

 

Seulement la somme de trois nombre consécutifs (de 1 à 3) égale le produit de ces trois nombres consécutifs

nota : Vous pouvez m'objecter que 1 = 1*1 mais 1 n'est pas une somme , 1 est égal à la somme de 0 + 1 <> 1*0 ou 1/2+1/2 <> 1/2*1/2

 

  1*1 1*2 1*2*3 1*2*3*4 1*2*3*4*5
1+1 2>1        
1+2   3>2      
1+2+3     6=6    
1+2+3+4       10<24  
1+2+3+4+5         15<120

Pourquoi la pièce est noire ?

 

Cette égalité ,qui parait anodine, à de très nombreuses applications .Elle établi une relation entre la logique (binaire) et les nombres : Si vous entrez dans une pièce plongée dans le noir, est elle noire par ce que la lumière est éteinte (photons) ou par ce qu'il n'y a pas d'ampoule (matière)? Pourquoi ,la nuit, ciel est noir ? par ce qu'il n'y a pas de lumière ou par de masse ? Nous verrons que ce système logique établi une PRIORITE dans cette relation , c'est à dire que pour avoir de la lumière il faut d'abord remplacer l'ampoule pour avoir de la lumière . ou , pour avoir un oeuf, il faut d'abord avoir une poule (ce qui implique que la poule est venu avant l'oeuf !!!)

 

Nous savons que l'arithmétique binaire (allumé ou éteint ) à besoin du complement à deux pour traiter le zéro et les nombres négatifs et qu'en fait il existe deux zéros.... Ce système "obeit" en fait au système (trinaire) suivant : (n-1)(n)(n+1) relatif à la factorielle de trois nombres consécutifs.

 

Nous remarquons aussi que :

et aussi

 

J'avais aussi remarqué la relation entre les nombre premier et 6 au sujet des nombres triangulaires

 

Décomposition des nombres : et si n n'est pas un multiple de 3

si n 0 (mod 3)

 

Clef de fermat N°1: développement de n(n+1)(n+2)... /1*2*3 , remplacement de n par 1

Soit la formule et que nous développons le numérateur alors nous obtenons un expression du genre :

       ,

par exemple pour =

Si l'on considère que Fermat a développé toutes ses théories (petit et grand théorème) pour toutes les puissances de n, il est bien sur totalement exclus , pour trouver tous les indices (exemple ci-dessus 1,21,175,735,1634,1764,720), que Fermat ait procéder un calcul manuel.

 

Comment trouver la somme des indices?

si dans la formule   ,nous remplaçons n par 1 (n=1) alors :

:

1!

2! ( )

 3! (P)

4!(TT)

5!

6!

7!

n

/1

n(n+1)

/2

n(n+1)(n+2)

/6

n(n+1)...(n+3)

/24

n...(n+4)

/120

n...(n+5)

/720

n...(n+6)

/5040

N=1

1

1

1

1

1

1

N=2

3

4

5

6

7

8

N=3

6

10

15

21

28

36

Si nous développons le numérateur alors la somme des termes de l'addition ainsi obtenue sera égale à la factorielle du nombre de facteurs du dénominateur.

Exemple :

  <=> et remplaçons n par 1 (ligne en bleue sur le tableau ci-dessus) alors :

, 1+21+175+735+1624+1764+720=5040 = 7!

Dans une équation de la forme n(n+1)(n+2)... la somme des indices égale à la factorielle du nombre des facteur de cet équation

Le premier exposant = le nombre de facteurs (comme pour un tableau de Pascal), dans l'exemple 17.

Le dernier indice = factorielle -1 du nombre de facteurs.

 

Démonstration du petit Théorème de Fermat

 

Rappel de la définition:

Soit n un nombre entier  > 1 et p un nombre entier premier alors est divisible par p c'est à dire :

n     0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n  par p = 0 ,

Si vous n'êtes pas familier avec la notation de l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien pour un petit rappel

Exemple : si n=10 et p = 5 alors 105-10 0 (mod 5 ) , 100000-10 = 99990 est divisible par 5

Dans cette définition est aussi 0 (mod n )

suite sur :

Loi sur la décomposition d'un produit de deux nombres

 

Nous avons exploité au chapitre précédent une expression du type (n)(n+1)(n+2)(n+3)..... avec des indices multiples de n et d'autre non.

Si dans cette expression nous prenons 2 facteurs quelquonque, par exemple (n+1) et (n+5) alors (n+1)(n+5) = n² + 1n + 5n + 1*5 = n² + 6n + 5 = n(n+6)+5

Si nous généralisons cet exemple alors:

:

 

Exemple 3 * 7 = 21 = (2+1)(2+5) = 2(2+6)+5 = 2*8+5 =16+5= 21

 

factorisation de n

 

donc

Cette même loi est applicable pour + et pour -

 

<=>

 

Exemple 3*7 = 21 = (4-1)(4+3) = 4(4+2)-3 = 24-3

 

Clef de Fermat N°2 : Vision "bi-triangulaire" d'un nombre pair ->2n , impair 2n+1

Orientation de mes recherches:

 

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

J'en ai donc déduit que Fermat se représentant une hypothénuse première ayant la forme 4n+1 alors il a donc representé un nombre pair comme ayant une "forme" 2n et un nombre impair ayant la forme 2n+1...

 

nombre pair =2n , nombre impair = 2n+1

 

Soit un nombre x , si ce nombre est > à 1 alors il est composé d'au moins de la somme de deux nombres que nous appellerons et b.par exemple 13 est = à 1+12 , 2+11 , 3+10 etc.... (et aussi le produit d'au moins deux nombre même si il est premier par exemple 13 = 13*1)

Ce nombre peut aussi être maintenant décomposé en n le premier terme et  b le deuxième terme égal à n +        , étant la différence de b et n . Exemple 13 = 5+8 , 13 = 5 + 5+3. si l'on factorise le premier terme de l'addition alors x = 2n + , 13 = 2(5) +3

Ce nombre peut aussi être décompose en n = b , et   - , par exemple 13 = 8 + 8 - 3 ,c'est a dire 13 = 2(8)-3

Si le nombre x est impair alors nous pouvons remplacer  par 1 et n devient unique ; c'est a dire 13 = 2(6)+1

Si le nombre x est pair alors nous pouvons remplacer  par 0 et n devient unique ; c'est a dire 12 = 2(6)+0

si x 0 (mod) 2 alors

si x 0 (mod) 2 alors

 

Nous pouvons écrire aussi que :

si x premier  alors

Exemple 17=4+12+1=>17=2(2+6)+1=2(2+2*3)+1

 

Récurrence sur N = 2n ou 2n+1 =>N = 4n ou 4n+1 ou 4n+2 ou 4n+3

La representation de N comme étant 2n ou 2n+1 n'est pas suffisante pour diférencier un nombre pair 2n: Certains nombres pairs sont divisibles par 2 jusqu'à obtenir n=1 d'autres nombres pairs sont divisibles par 2 jusqu'à obtenir n=2n'+1.autrement dit , certains 2n sont des puissances de 2 (C.A.D 2a *1) d'autres égals 2a( 2n'+1 ) = 2a+1(n') + 2a.

Exemple: 32/2 = 16 /2 = 8 /2 =4 /2 = 2 /2 = 1 = 25 , 32 est un "vrai" 2n , 60/2 = 30 /2 = 15 : 4*15 =  22(2(7)+1) = 23(7)+22 = 56+4 , 60 est un "faux" 2n.

Cette représentation de N n'est non plus pas suffisante pour différencier un nombre impair car N impair à deux représentations : 2n+1 ou 2n-1 ce qui implique qu'il existe donc qu'un seul N impair = 4n+1 ou 4n-1. . c'est à dire 4n+1 ou 4n+3

En résumé dans 2n ou 2n+1 on remplace n par 2n' ou 2n'+1 :

N=

2(2n') = 4n'

2(2n')+1 = 4n'+1

2(2n'+1) = 4n'+2

2(2n'+1) +1 = 4n'+3

L'on pourait continuer cette récurrence en remplaçant n' par 2n" ou 2n" +1 jusqu'à l'obtention d'un nombre binaire !!!

Exemple 60: diviser 60 par 2 jusqu'à obtenir 2a(2n+1)  => 23(7)+22 puis 7= 2*3+1 => 23(2(3)+1)+22 = 24(2(1)+1)+23 + 22 = 25 + 24 + 23 + 22 = 32+16+8+4 = 60

Nous verons pas la suite que l'on peut décomposer N en un nombre "trinaire" en considérant un 2n+1 comme étant un 4n'+1 ou 4n' +3 = 4(n'+1) -1.

Exemple : 60 / 4 = 15 puis 15 = 4(4)-1 donc 60 = 4[4(4)-1] = 4²(4)-4 = 43-41 , 60=64-4

 

Trouver le carré d'un nombre

Grâce à cette formule nous pouvons donner une image au carré d'un nombre , si x = 2n + alors x² = (2n +

 

exemple 13 = 2*5 + 3 , alors 13² = 4*5*(5+3)+3² <=> 20*8 + 9 <*=> 160+9 *= 169

 

 

Et donc ,pour un nombre impair, si je remplace par 1:

 

si x 0 (mod) 2 alors

rappel : n(n+1) est un nombre oblong ,il est égal à deux fois un nombre triangulaire

Si je reprend l'exemple ci dessus alors 13 = 2*6 + 1 , son carré 132 est égal à 4(6)(7)+1 = 4*42 +1 = 168 +1 = 169

Pour élever un nombre impair au carré il suffit de prendre (X -1) / 2 =n , pour trouver le premier facteur n de (n)(n+1) , puis multiplier (n)(n+1) par 4 et lui ajouter 1 pour obtenir son carré

Exemple 13² = (13-1)/2 = 6 => 6x7 = 42 x 4 = 168 +1 = 169 le carré de 13

Autre exemple 15² = (15-1)/2 = 7 => 7 x 8 =56 x 4 = 224 +1 = 225

Et donc ,pour un nombre pair, si je remplace par 0:

 

si x 0 (mod) 2 alors

Il est amusant de noter que le carré d'un nombre pair est égal à quatre fois un autre carré (démonstration ci-dessus),par exemple 10² = 4x5² , cet autre carré est aussi ou pair ou impair , si ce nombre est impair alors nous obtenons un carré du type 4*[4(n)(n+1)+1]

 

Exemple 6² = (2*3)² = 2² x [2²(1)(*2)+1] =  4 x [4(1)(2)+1] = 4 x (8+1) = 36 .

 

en détail

Soit 4xy+(x-y)² =(x+y)² si (x+y)² impair = (n + n+1)² = (2n+1)² alors il existe un (x+y)² = 4(n)(n+1)+1².

Un nombre impair qui à la forme (n)+(n+1) est aussi égal à (n-1)+(n+2), (n-2) + (n+3) =>n' = n-1 ,  n-2,  n-3 => n + n+1 = n'+n'+3 = n' + n'+5....

est la valeur absolue de la somme des deux termes de  -1+2 , -2+3, -3+4= |-1|+|2| ,  |-2|+|3| ,  |-3|+|4|

par exemple 11 =2(5)+1 = 5+6 = 4+7 = 3+8 .... 1+10

Donc : 4(n)(n+1)+1² = 4(n')(n+3)+3² =  4(n')(n+5)+5² ... .

Toujours pour 11 = 2(5) +1 , n=5

 

 

(2n+1)² = [(n)+(n+1)]² = 4(n)(n+1)+1

 

[(n-1)+(n+2)]²=4(n-1)(n+2)+3²

 

[(n-2)+(n+3)]²=4(n-2)(n+3)+5²

 

[(n-3)+(n+4)]²=4(n-3)(n+4)+7²

...

n+1-(n)==1

 

n+2-(n-1)==3

 

n+3-(n-2)== 5

 

n+4-(n-3)==7

...

 

11²=(5+6)²=4x5x6+1²=121

 

11²=(4+7)²=4x4x7+3²=112+9

 

11²=(3+8)²=4x3x8+5²=96+25

 

11²=(2+9)²=4x2x9+7²=72+49

...

 

 

(2n+1)² = 4(n)(n+1)+1

 

[2(n-1)+3]² ; n'=(n-1) ; 4(n')(n'+3)+3²

 

[2(n-2)+5]² ; n'=(n-2) ; 4(n')(n'+5)+5²

 

[2(n-3)+7]² ; n'=(n-3) =4(n')(n'+7)+7²

...

[ (2n+1 - 2n)=1+(2n+1-1 )=2n ]²+(2n-1)²

=

4(1)(2n)+4(n)(n-1)+1

2n - 1= 2n-1

11²=(1+10)=4x1x10+9²=40+81

4(1)(2n)+4(n)(n-1)+1

Nous pouvons reprendre exactement le même principe pour un carré pair:

(2n)² = [n+n]² = 4(n)²

 

[(n-1)+(n+1)]²=4(n-1)(n+1)+2²

 

[(n-2)+(n+2)]²=4(n-2)(n+2)+4²

 

[(n-3)+(n+3)]²=4(n-3)(n+3)+6²

...

n-n=0

 

n+1-(n-1)=2

 

n+2-(n-2)=4

 

n+3-(n-3)=6

...

12²=(6+6)²=

12²=(5+7)²=4x5x7+2²=140+4

 

12²=(4+8)²=4x4x8+4²=128+16

 

12²=(3+9)²=4x3x9+6²=108+36

...

 

(2n)² = 4(n)²+0

 

[2(n-1)+2]² ; n'=(n-1) ; 4(n')(n'+2)+2²

 

[2(n-2)+4]² ; n'=(n-2) ; 4(n')(n'+4)+4²

 

[2(n-3)+6]² ; n'=(n-3) =4(n')(n'+6)+6²

...

 

Remplacer x par n = démonstration x²= 4(n)(n+1) +1 ou 4n²

si dans x=2n+1 nous remplaçons x par n alors TOUT nombre n peut être exprimé sous la forme : , par exemple 13 = 2(13-1/2)+1 => 13 = 2(6)+1 ; ceci étant toujours vrai pour un nombre pair : 14 = 2(14-1/2)+1 => 14 = 14-1 +1 = 14

n² = ?

 

si l'on factorize par 4 (n-1)/2 les deux premiers termes :

 

Playlist you_tubes sur le sujet

 

  <=>

l'on peut en déduire que pour trouver le carré d'un nombre n l'on peut appliquer (n-1)(n+1)+1 ; 13² = 12/2*14/2+1 => 6*7+1 mais le plus important étant: (n-1)/2+(n+1)/2=n la somme des deux facteurs de (n-1)(n+1)/4+1 , mais aussi (n-1)(n+1)+1 => (n-1)+(n+1)+1=2n+1

 

Carré d'un nombre et factorielle :

Reprenons le numérateur de l'expression   . (que l'on trouve dans la lettre de Pierre de Fermat à Roberval du 4 Novembre 1636 ) , nous remarquons donc qu'un facteur est = au facteur précédent multiplié par le facteur suivant +1 , par exemple (n+2)² égal (n+1)(n+3)+1 , (n+1)² = n(n+2)+1

 

Carrés et arithmétique modulaire

 

Congruïté d'un carré quelconque:

Regardons de plus près le carré suivant :

n²

=

(n-1)

*

(n+1)

+1

 

Le carré d'un nombre ou le carré d'un nombre -1 est divisible par 3

Dans la séquence (n-1)n(n+1) un des trois nombre étant divisible par 3 alors : soit n de n² est divisible par 3 ou n²-1 = (n-1)(n+1) est divisible par 3.

Exemple 10² = 100 , 100-1 =  11 * 9 est divisible par 3 (9*11 = 99 / 3) , autre exemple 13² = 169 -1 = 12*14 , 12 est divisisible par 3

J'appuie ce théorème sur l'observation de Pierre de Fermat sur le problème livre V question 12 qui a guidé ces recherches:

OBS. DE FERMAT: Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

 

Congruité d'un carré premier:

Le carré d'un nombre premier > 3  -1 est divisible par 4! (1*2*3*4 = 24)

soit p² = (p-1)(p+1) + 1 alors dans la séquence (p-1) p (p+1) , p étant premier alors :

 

(p-1)

  p

  (p+1)

/2

non (*)

oui

non

oui

non

/4

oui

non

non

non

oui

/3

oui

non

non

non

oui

 

=12 * n'

*

=2 * n'

   

=2 * n'

*

=12 * n'

(p-1)(p+1)

  = 24 * n'

 

= 24 * n'

je considére que  si (p-1) ou (p+1) est divisible ou par 4 alors (p+1) ou (p-1) n'est divisible que par 2

 

si p premier alors

Attention ceci n'implique absolument pas qu'un carré est premier si p-1 est divisible par 24 , celà implique juste (pour le moment) que p n'est pas divisible par 2,3,ou 4

Le cube d'un nombre ...

n3 = n² * n donc en multipliant (n-1)(1+1)+1 par n <=> n[(n-1)(1+1)+1] =

 

n3

=

(n-1)

n

(n+1)

+n

donc soit n est divisible par 6 ou n3 -n 0 mod 6 (on en revient toujours à 3!)

 

Trouver la racine carré entière d'un nombre , Nombre d'or

 

Ce théorème est basé sur les travaux sur les nombre polygonaux de Pierre de Fermat.

Racine carrée d'un nombre impair:

Soit x un nombre impair donc de la forme 2n +/-1 ,son carré égal  , c'est a dire quatre fois le produit d'un nombre    moins un.

si l'on ajoute les deux facteurs de alors n+(n+1) = 2n +1 = x

 

si x 0 (mod) 2 alors

 

 

somme des facteurs de :   =>  ;

 

 

Exemple: Trouvons la racine carrée de 289 , 289 -1 = 288 divisé par 4 = 72 = 2*36 = 4*18 = 8*9 => 8+9 = 17 ;

(2n+1 = 17 , n est égal à 8) ; n n'a pas d'importante , c'est 2n+1 qui est la racine de x =(2n+1)²

 

Si n(n+1) est le produit de plus de 2 nombres (a*b*c*d) , il suffit donc de décomposer n(n+1) en ses plusieurs facteurs , la somme de ces facteurs -1 sera égale à n.  c'est à dire (a+b-1) = (c+d) ou (a+c)-1 = (b+d) .....

 

Pourquoi le nombre d'or ?

 

Le fait de transformer (n)(n+1) en 2n+1 pour trouver la racine d'un carré, c.a.d faire la somme des facteurs de (n) et (n+1) , se résume à poser:

C.a.d : Faire la somme d'un produit de 2 nombres consécutifs

 

 

Soit la définition du nombre d'or :

 

<=>

<=>

 

 

plus de détails sur le nombre d'or sur:

Racine carrée d'un nombre pair:

Si n est pair alors c'est a dire 4 fois n*n (2²n*n) , si l'on ajoute les deux facteurs alors n² => n+n

Exemple : Trouvons la racine carrée de 144 , 144/4 = 36 = 6*6 => 6+6 = 12

 

si x 0 (mod) 2 alors

si alors

si l'on voudrait faire un programme informatique avec cette méthode , si le n de 4n² est aussi un carré alors nous ne saurions pas le re-décomposé , ainsi :

Décomposition de X² pair , obtention d'une représentation unique de x²

 

si x 0 (mod) 2 alors x = 2n <=> x = 2(n-1) +2 , faisons le carré:

 

factorisation de (n-1)

 

si x 0 (mod) 2 alors

 

Je prouve par ce développement que le carré d'un nombre pair /4 est un autre carré en effet :

 

n² étant un carré pair ou impair alors si il est pair il suffit de le diviser de nouveau par 4 , si impair on lui retire 1...

 

Puisque le carré d'un nombre pair est un autre carré * 4 alors il suffit de divisé le carré jusqu'a l'obtention d'un carré impair , puis d'appliquer la méthode pour trouver la racine carré d'un nombre impair , par exemple:

puisque nous avons divisé 2 fois par 4 alors

nous avons donc décomposé 10.000 comme suit : qui est égal à

 

Nous en déduisons donc la représentation universelle du carré d'un nombre

 

ou par factorisation :

 

Pour la représentation d'un carré impair a=1 =>41(n)(n+1) + 40 = 4(n)(n+1)+1

Pour la représentation de 4a => n=0 , exemple 16 = 4² = 4²(0x1+1)=4²*1²

 

 Clef N°3 Arithmética Livre IV Question 31 Théorème fondamental de Fermat sur les nombres polygonaux

Dans la question 31 du livre IV Fermat fait l'observation suivante:

OBS DE FERMAT. Bien plus , j'ai découvert le premier une proposition très belle et très générale, savoir ; que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires; carré ou composé de deux , de trois ou de quatre carrés ; pentagones ou composé de deux , trois , quatre ou cinq pentagones, et ainsi de suite à l'infini, on peut énoncer cette merveilleuse proposition pour les hexagones , les heptagones , et généralement pour les polygones quelconques, d'après le nombre de leurs angles. Mais il ne convient pas de placer ici sa démonstration qui est déduite de plusieurs mystères les plus variés et les plus abstrus des nombres , car nous avons résolu de destiner à cet objet un Livre complet, et d'étendre merveilleusement dans cette partie l'arithmétique au delà de ses anciennes limites connues.

Fermat n'a jamais écris ce livre et aujourd'hui encore on (source wikipédia) lui reproche de ne pas avoir démontrer ce théorème ..... mais il est suffisamment important pour Fermat pour qu'il envisage d'écrire un livre !..

L'histoire n'a retenue que la décomposition d'un nombre en 1,2,3 ou 4 carré ,mais ,en fait, un carré n'est qu'un cas particulier (somme de 2 carrés de la forme 4n+1) parmis tous les polygones ...(voir le chapitre sur : soit un polygone trouver le coté)

 

En résumé , il s'avère qu'une droite est de la forme 2n ou 2n+1 , un triangle est de la forme 3n/3, (3n+1)/3 ou (3n+2)/3 , un carré est de la forme 4n/4, (4n+1)/4,(4n+2)/4 ou (4n+3)/4 ...etc , la solution de ce problème est plus logique que mathèmatique

 

Décomposition d'un nombre triangulaire divisibilité par 2;

 

Soit le produit de deux nombres consécutifs x * (x+1) / 2 , un de ces deux nombres est divisible par 2

donc x = 2n ou  x+1 = 2n , x = 2n-1

<=>

<=>

 

 

 

En clair , dans (x)(x+1) , x < x+1 , soit le nombre pair = x est le premier facteur et donc plus petit que x+1 impair , soit le nombre pair = x+1 est le deuxième facteur et donc le plus grand que x.

Exemple x pair : 10*11/2 ,n=5, = 2(5)*[2(5)+1]/2 ; 

Exemple x+1 pair = 9*10/2 = [2(5)-1]*2(5)/2.

Rappel N°1:

Un nombre triangulaire T(n) = n(n+1)/2 = la somme des nombres de 1 à n

Exemple : T(7) = somme de 1 à 7 = 7*8/4 = 28 = 1+2+3+4+5+6+7

Rappel N°2:

n     0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n  par p = 0 ,

Si vous n'êtes pas familier avec la notation de l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien pour un petit rappel

 

Décomposition d'un nombre triangulaire divisibilité par 2 * 3;

 

Soit le produit de deux nombres consécutifs x * (x+1) / 2 alors : x est divisible par 3 ou (x+1) est divisible par 3 ou aucun des deux !!! , si aucun des deux est divisible par 3 , (x-1) et (x+2) sont tout les deux divisible par 3 et un seul des deux est pair !!!

Résumons ce charabia dans un tableau:

 

2n-2 0 (mod 3)

2n - 1 0 (mod 3)

2n 0 (mod 3)

2n 0 (mod 3)

 2n+1 0 (mod 3)

2n+2 0 (mod 3)

2n - 2 = 6n' - 6

2n-1 = 6n'-3

2n = 6n'

2n = 6n'

2n+1 = 6n'+3

2n + 2 = 6n' + 6

=

=

=

=

=

=

si l'on applique (voir clef1 3ème paragraphe) :

 

 

en cours de rédaction

 

Les Hypoténuses première de type a²+b² = 4n+1 : introduction

 

J'ai entrepris depuis de nombreuses années d'étudier et de détailler  toutes les notes de Pierre de Fermat sur l'Arithmética ; Il s'avère que ses annotations les plus récurrentes ne sont pas , comme on pourrait s'y attendre , son petit Théorème, les nombres polygonaux, ou les triangles de Pascal  mais sont relatives à son théorème dit : "des deux carrés".

Ce théorème est cité entre autre dans le Livre III question 22  (L3Q22) en ces termes :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Dans cette questrion Fermat divise une hypothénuse par des 4n+1 et "range" les exposants afin de compter combien de fois un 4n+1 est une hypothénuse.

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

Emile Brassine ajoute : D'après Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²), par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotient du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

 

On remarque qu'une hypothénuse premiére de la forme 4n+1 EST elle même COMPOSEE  de deux carrés ( si k=1 alors 4n +1 = 1²(x'² + y'²) )

 

Par exemple , 13 étant de forme 4n+1 , alors il est lui même composé de 2 carrés

 

J'en conclus que Fermat son théoréme des hypothénuses 4n+1, s'est représenté une autre image d'une hypothénuse ,autre que la formule .

 

Calcul de la somme de 2 carrés , Hypothénuse première (k=1) a² + b² = c de forme 4n+1

 

IMPORTANT , Dans ce paragraphe , nous étudions les hypothénuses premières de type x² + y² = Z (la racine carré de Z n'étant ni entière , ni factionnaire puisque Z est premier ) et non pas une hypothénuse première carrée de type x² + y² = Z² .

Exemple 3² + 2² = 13 et non pas 5² + 12 ² = 13²

Pierre de Fermat notait x²+y²=Z²

(et non pas a²+b²=C²)

Rappel:

si x 0 (mod) 2 alors

si x 0 (mod) 2 alors

 

Une hypothénuse est la racine carré de la somme de deux carrés  , x²+y²  le premier carré impair prend la forme 4(n)(n+1)+1 et le second pair prend la forme 4n² (ou vise et versa pour x pair et y impair ).

En effet , comme l'hypothénuse est une hypothénure première alors si x et y étaient impaires , c'est à dire de la forme 4(n)(n+1)+1 alors nous aurions 4(n)(n+1)+1+4(n+ )(n +1)+1 , serait égal à 4(n)(n+1)+4(n  +    )(n   +1)+2 , cette hypothénuse serait divisible par 2. (bien sur si x et y pair alors l'hypothénuse serait divisible par 4)

Si nous exprimons  x²+y² => x² + (x + )² alors

 

ou

Je note n' pour ne pas confondre le n de 4(n)+1

 

Ceci vous paraissant confus , prenons un exemple 29 = 2² +5². si n'=1 => 29= 4(n')+4(n'+1)(n'+1+1)+1 , 29 = 4(1) + 4(2)(3)+1 , les deux premiers termes étant obligatoirement divisible par 4 alors une hypothénuse première a la forme 4(n)+1

Si nous factorisons les deux premiers termes de 29 = 4(1) + 4(2)(3)+1 alors 29 = 4(1+2 x 3)+1 , 29 = 4(7) +1

 

après factorisation :

ou

 

conclusion : si x²+y² est premier alors il prend la forme 4(n) +1

 

Nous démontrons  en partie ce théorème sans toutefois trouver comment Pierre de Fermat l'a trouvé, et que je vais démontrer au chapitre suivant:

 

Clef de Fermat N°4 : Soit un nombre premier de forme 4n+1 , trouver les 2 carrés qui le composent:

Dans le Livre III question 22  (L3Q22) Fermat nous dit en ces termes :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Soit (x-y)² = x²-2xy+y² alors on peut en déduire que dans cette équation , si j'ajoute 2xy de chaque cotés , alors on obtient : 2xy+(x-y)² = x²+y² c'est à dire une hypothénuse non carrée. Exemple 2x3x2 + (3-2)² = 3²+2²

Si x=y alors 2x²+0 = x² + x²

Si x<>y alors pour (x-y)² positif = (y-x)² positif

(x-y)² = x²-2xy+y²

 

(x-y)²+2xy = x²-2xy+y²+2xy

 

2xy+(x-y)²=x²+y²

Puisque le carré d'un nombre négatif est un nombre positif (et que la multiplication est commutative) alors 2xy+(x-y)² = 2yx+(y-x)² ; 

Notez aussi que dans l'équation de diophante :4xy =(x+y)²-(x-y)² <=> 4xy+(x-y)² =(x+y)²

donc :

4xy+(x-y)² =(x+y)²

2xy+(x-y)² =x²+y² = Z

 

Transposition 4xy+(x-y)²=(x+y)² , 2xy+(x-y)²=x²+y² avec un carré de forme 2n ou 2n+1

 

puisqu'un carré (x+y)² =4xy+(x-y)² =

4(n)(n+1)+1²

 

4(n')(n'+2)+2²

 

4(n')(n'+3)+3²

 

4(n')(n'+4)+4²

 

4(n')(n'+3)+5²

...

alors x²+y² = 2xy+(x-y)² =

2n(n+1)+1²

 

2n'(n'+2)+2²

 

2n'(n'+3)+3²

 

2n'(n'+4)+4²

 

2n'(n'+5)+5²

exemple 11² :

4(5)(6)+1² =>Z= 2(5)(6)+1² = 60+1= 61 = 5²+6² =25+36

 

4(5)(7)+2² =>Z= 2(5)(7)+2² = 70+4 = 5²+7² = 25+49

 

4(5)(8)+3² =>Z= 2(5)(8)+3² = 80+9 = 5²+8² = 25+64

 

4(5)(9)+4² =>Z= 2(5)(9)+4² = 90+16 = 5²+9² = 25+81

 

4(5)(10)+6² =>Z= 2(5)(10)+5² = 100+25 = 5²+10² = 25+100

 

donc :

 

 

<=>

<=>

 

 

Congruité  4n+1

 

Si pour p>3 , p²-1 est divisible par 24 alors à quoi est congru a² + b² premier ?

 

Soit z=4n+1 une hypothénuse premiére alors 4n ou 4n-1 est divisible par 3 .En effet si z² = (a²+b²)² alors (4n + 1)² = (4n+1-1)(4n+1+1) + 1 = (4n)(4n+2) +1. Si 4n+2 0 mod 3

alors 4n+2 - 3 = 4n-1 est aussi 0 mod 3 (rappel n0 mod 3 signifie n est divisible par 3 , le reste =0)

 

4n  0 mod 3

4n-1  0 mod 3

si 4n 0 mod 3 alors n 0 mod 3

 

 

factorisation par n/3

 

 

on note que 3² + 3 = 12 = 1*2*3*4 / 2 = 4!/2

 

 

si n 0 mod 3 alors  

 

exemple 4(9)+1 = 37 = (1*2*3*4*9)/6 +1

si 4n-1 0 mod 3 alors [3n+(n-1)] 0 mod 3 , 3n  0  mod 3 donc (n-1) 0  mod 3

 

 

 

 

puis que (n-1) 0  mod 3 alors par factorisation de (n-1) /3

 

si n 0 mod 3 alors  

 

Il y a un moyen plus rapide de prouver cette équation , mais le + 5 a une énorme importance, est une constante dans le nombre d'or et l'on observe que dans a²+b² premier a² ou b² l'un ou l'autre est divisible par 3,4 ou 5 .... ce qu'il me faudra démonter

 

 

 pour tout 4n+1

 

Pierre de Fermat nous indique :

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

 

OBS. DE FERMAT livre V question 12 : Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

 

En clair : 21 ne peut pas être divisé par 9 , à contrario 4(11)+1 = 45 est une hypothènuse = 6²+3² = 45/9 = 5 = 2²+1² autrement dit 4(11)+1 = 3²(2²+1²) , (remarquons que 11 est un nombre premier de la forme 4n-1)

 

en cous de rédaction

 

 

 

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