La clef de Fermat

Contexte  :

L'arithmetica de Diophante (environ 200-300) est une liste de questions arithmétiques contenues dans VI livres . Par la suite,l' arithmetica fut étudié et annoté par Bachet (1581-1638) , par Fermat(1601-1665) et en 1853 par Emile Brassine (*), professeur à l'école impériale d'artillerie de Toulouse.

 

C'est au cours de l'étude du livre II question 9 de l'Arithmetica de Diophante que Fermat a posé son grand théorème  (         ) ; Il est dit que Fermat ne disposait pas d'outils mathématiques suffisant pour énoncer son Grand théorème, tout au plus pour n3 ou n4 .Il fut démontré 300 ans plus tard par Andrew Wiles (Un document de plus de 120 pages que seul un vingtaine de mathématiciens peuvent comprendre )

Il n'y a pas que le grand théorème qui ne fut pas démontré par Pierre de Fermat mais aussi :

Son théorème des hypothénuse 4n+1 (4n+1 est la somme de 2 carrés)

Son petit théorème , p premier, Évoqué en octobre 1640 dans une lettre à Frenicle de Bessy , démontré par Euler un siècle plus tard

n     0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n  par p = 0 ,

Si vous n'êtes pas familier avec la notation de l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien pour un petit rappel

Dans la question 31 du livre IV Fermat fait l'observation suivante: Que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires; carré ou composé de deux , de trois ou de quatre carrés ; pentagones ou composé de deux , trois , quatre ou cinq pentagones, et ainsi de suite à l'infini... théorème non démontré par Fermat et pour lequel il voulait écrire un livre ...

Et puis il y eut la lettre du  4 Novembre 1636 de Fermat à Roberval où l'on retrouve l'expression suivante: ...

Ma démarche  :

J'ai toujours pensé que Pierre de Fermat  n'était pas un menteur , mais qu'il avait posé ces théorèmes , à tord ou à raison , grâce à une ou plusieurs formules clef suffisamment simple pour être mémorisées , car Fermat , magistrat de métier , devait avoir ces formules clef en tête pour ses études , et que celles-ci étaient passées inaperçu au cour des siècles.

J'ai donc entrepris , pendant 2 ans , d'étudier un bon nombre de ses annotations sur l'arithmetica de Diophante, de les traduire par des formules mathématiques littérales , et de les  publier (Page arithmetica de ce site) ,  afin de trouver ces clefs eu où il avait eût ce déclic ...

Je me suis vite aperçu que Fermat avait évoqué son grand théorème au début de l'Arithmetica (Livre II), mais que ce déclic a eut lieu sur la fin (Livre IV question 31)

 

Introduction à la clef de Fermat

 

Observation de Fermat sur l'étude du problème de Diophante (Livre sur les nombres polygonaux question 4): Etant donné un nombre polygonal trouver le coté

Qu'est ce qu'un coté d'un polygone ?

Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre;

La multiplication du triangulaire, par le nombre qui le suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du pyramidal;

Le produit du pyramidal, par le nombre suivant de la progression, donne le quadruple du triangulo--triangulaire, et ainsi à l'infini par une méthode générale et uniforme;

J'avais , dans un premier temps, traduit à tort par ;   ; et rectifié en 2015 par   ;  :   mais  j'avais bien traduit par l'expression suivante : , expression confirmée par la lettre de Pierre de Fermat à Roberval du 4 Novembre 1636 ou l'on trouve l'expression suivante .

et je ne pense pas qu'on puisse donner sur les nombres un théorème plus beau et plus général, je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la demonstration à la marge

Matrice des "cotés" de nombres polygonaux

1!

2! ( )

 3! (P)

4!(TT)

5!

6!

7!

n

/1

n(n+1)

/2

n(n+1)(n+2)

/6

n(n+1)...(n+3)

/24

n...(n+4)

/120

n...(n+5)

/720

n...(n+6)

/5040

N=1

1

1

1

1

1

1

N=2

3

4

5

6

7

8

N=3

6

10

15

21

28

36

...4

10

20

35

56

84

120

5

15

35

70

126

210

330

6

21

56

126

252

462

792

7

28

84

210

462

924

1716

8

36

120

330

792

1716

3432

9

45

165

495

1287

3003

6435

10

55

220

715

2002

5005

11440

11

66

286

1001

3003

8008

19448

12

78

364

1365

4368

12376

31824

13

91

455

1820

6188

18564

50388

14

105

560

2380

8568

27132

77520

15

120

680

3060

11628

38760

116280

16

136

816

3876

15504

54264

170544

17

153

969

4845

20349

74613

245157

18

171

1140

5985

26334

100947

346104

19

190

1330

7315

33649

134596

480700

20

210

1540

8855

42504

177100

657800

21

231

1771

10626

53130

230230

888030

22

253

2024

12650

65780

296010

1184040

 

2! signifie factorielle de 2 C.A.D 2! = 1x2 ; 5! = 1x2x3x4x5

 = la colonne 

Colonne T = = Ligne N=3 si N >2

Colonne P = = Ligne N=4 si N > 3

 

Colonne TT = = Ligne N=5 si N > 4

 

J'avais (en 2010)  relevé l'importance de cette formule , Pierre de Fermat ayant terminé cette observation par "je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la demonstration à la marge" , même phrase qu'il utilise à la fin de son grand théorème; Même si cette matrice ressemble à un triangle de Pascal , et a un certain nombre de propriétés intéressantes , je n'avais pas compris son intérêt au point d'être "sur les nombres un théorème plus beau et plus général"

Jusqu'a ce que je tente de résoudre (en 2015),sans calculatrice et sans à avoir à résoudre une équation du second degrés,  l'expression d'un nombre triangulaire : soit   trouver n

En résumé (Détails sur ce lien) , si nous observons bien cette matrice alors nous constatons que la colonne   2! est égale à la ligne n=3 à partir de     (3)  

Ce qui implique que si un nombre est un Triangulaire T(n) alors , dans la formule    , il nous suffit de remplacer n par 3 , (nombre de cotés d'un triangle) pour égaler le nombre de facteurs du numérateur et du diviseur . Pour compter le nombre de facteurs du numérateur l'on compte de 1 à (n+1) ou du diviseur on compte de 1 à (n-1) => 3*4*....(n+1) / 1*2*3*(n-1)

Exemple si   (5) = 15 alors

pour    (5) , comptons 3,4,5,6 c'est à dire 4 facteurs

;5-1 facteurs , le premier facteur = 3 le dernier facteur = n+1 ; La valeur du coté d'un triangulaire de valeur 15 est 5 c'est a dire 3*4*5*6 = 360 / 24 = 15 , mais c'est aussi (6!/2)/4!

 

J'en ai donc déduit que :

 

 

Très important : le dernier facteur = (2+(n-1)) = (n+1)... (le dernier facteur du numérateur (n+1) multiplié par l'inverse du dernier facteur du diviseur (inverse de 1/(n-1)=(n-1)) est = n²-1

Exemple ci dessus : pour T(5) alors 6*4 = 5²-1

et puisqu'un triangulaire égale la somme des nombres de 1 à n alors:

 

 

Suite des applications de cette formule au paragraphe de cette page Arithmética Livre IV Question 31 

 

 

0!

 

Dans ces égalités colonnes / lignes, examinons la colonne 1! = N/1 et la ligne N=2.

Pour n>1 , La colonne 1! égale la ligne N=2.

Exemple : ; nombre de facteurs n-1 = 5 , le numérateur = 2x3x4...n, le dénominateur = 1x2x3 ... (n-1)

Encore rien d'extraordinaire mais nous comprenons déjà pourquoi le nombre 1 est exclus de cet ensemble car si nous incluons 1 dans cet exemple alors est donc ne serait plus vrai. (ce qui produit dans les factorielle la problématique de la convention 0!=1 dont nous nous passerons)

nota : Le dernier facteur du numérateur, (1+n-1) = n

 

n=3 ...

 

Pierre de Fermat au (suget des hypothénuses 4n+1) écrit en marge dans le livre V question 12 :

OBS. DE FERMAT: Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

A force d'essayer de comprendre la relation de cette phrase avec toutes les autres annotations (sus et sous nommées) de Pierre de Fermat , j'en conclus que Pierre de Fermat avait trouvé cette relation FONDAMENTALE sur les nombres (déjà entrevue ci-dessus ):

 

 

 

il existe un seul et unique nombre n tel que le produit de 1 à n = la somme de 1 à n

 

 

Autrement dit :seulement 1*2*3 = 1+2+3

 

Seulement la somme de trois nombre consécutifs (de 1 à 3) égale le produit de ces trois nombres consécutifs

nota : Vous pouvez m'objecter que 1 = 1*1 mais 1 n'est pas une somme , 1 est égal à la somme de 0 + 1 <> 1*0 ou 1/2+1/2 <> 1/2*1/2

 

 

1*1

1*2

1*2*3

1*2*3*4

1*2*3*4*5

1+1

2>1

       
1+2

 

3>2

     
1+2+3

 

 

6=6

 

 

1+2+3+4

 

 

 

10<24

 

1+2+3+4+5

 

 

 

 

15<120

Pourquoi la pièce est noire ?

 

Cette égalité ,qui parait anodine, à de très nombreuses applications .Elle établi une relation entre la logique (binaire) et les nombres : Si vous entrez dans une pièce plongée dans le noir, est elle noire par ce que la lumière est éteinte (photons) ou par ce qu'il n'y a pas d'ampoule (matière)? Pourquoi ,la nuit, ciel est noir ? par ce qu'il n'y a pas de lumière ou par de masse ? Nous verrons que ce système logique établi une PRIORITE dans cette relation , c'est à dire que pour avoir de la lumière il faut d'abord remplacer l'ampoule pour avoir de la lumière . ou , pour avoir un oeuf, il faut d'abord avoir une poule (ce qui implique que la poule est venu avant l'oeuf !!!)

 

Nous savons que l'arithmétique binaire (allumé ou éteint ) à besoin du complement à deux pour traiter le zéro et les nombres négatifs et qu'en fait il existe deux zéros.... Ce système "obeit" en fait au système (trinaire) suivant : (n-1)(n)(n+1) relatif à la factorielle de trois nombres consécutifs.

 

Nous remarquons aussi que :

et aussi

 

J'avais aussi remarqué la relation entre les nombre premier et 6 au sujet des nombres triangulaires

 

Décomposition des nombres : et:

si n n'est pas un multiple de 3

  

si n 0 (mod 3)

 

 

Clef de fermat N°1: développement de n(n+1)(n+2)... /1*2*3 , remplacement de n par 1

Soit la formule et que nous développons le numérateur alors nous obtenons un expression du genre       , par exemple pour =

Si l'on considère que Fermat a développé toutes ses théories (petit et grand théorème) pour toutes les puissances de n, il est bien sur totalement exclus , pour trouver tous les indices (exemple ci-dessus 1,21,175,735,1634,1764,720), que Fermat ait procéder un calcul manuel.

 

Comment trouver la somme des indices?

si dans la formule ,nous remplaçons n par 1 (n=1) alors :

:

1!

2! ( )

 3! (P)

4!(TT)

5!

6!

7!

n

/1

n(n+1)

/2

n(n+1)(n+2)

/6

n(n+1)...(n+3)

/24

n...(n+4)

/120

n...(n+5)

/720

n...(n+6)

/5040

N=1

1

1

1

1

1

1

N=2

3

4

5

6

7

8

N=3

6

10

15

21

28

36

Si nous développons le numérateur alors la somme des termes de l'addition ainsi obtenue sera égale à la factorielle du nombre de facteurs du dénominateur.

Exemple :

  <=> et remplaçons n par 1 (ligne en bleue sur le tableau ci-dessus) alors :

, 1+21+175+735+1624+1764+720=5040 = 7!

Dans une équation de la forme n(n+1)(n+2)... la somme des indices égale à la factorielle du nombre des facteur de cet équation

Le premier exposant = le nombre de facteurs (comme pour un tableau de Pascal), dans l'exemple 17.

Le dernier indice = factorielle -1 du nombre de facteurs.

 

 

Démonstration du petit Théorème de Fermat

 

Rappel de la définition:

Soit n un nombre entier  > 1 et p un nombre entier premier alors est divisible par p c'est à dire :

n     0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n  par p = 0 ,

Si vous n'êtes pas familier avec la notation de l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien pour un petit rappel

Exemple : si n=10 et p = 5 alors 105-10 0 (mod 5 ) , 100000-10 = 99990 est divisible par 5

Dans cette définition est aussi 0 (mod n )

suite sur :

Clef de fermat N°2 : Théorème des extremes d'une factorielle

 

Nous avons dans la formule remplacer n par 1 pour calculer la somme totale des indices , mais quels sont les indices multiple de n et ceux qui ne le sont pas ?

Dans (n+0)(n+1)(n+2) il est facile ,comme vu précédement, de calculer le dernier terme = 0*1*2 =0 donc cette expression sera du type an3+bn2+cn1,a+b+c=3!=6, somme des termes multiple de n = 6; 

Si par contre j'ajoute 1 à n alors j'obtiens (n+0+1)(n+1+1)(n+1+2) = (n+1)(n+2)(n+3) , cette expression deviendra an3+bn2+cn1 + 6,somme totale des indices = 24 , indices multiple de nx = 24-6 = a+b+c = 18  ; non multiple de n=6

 

Si je vérifie :  (n+0)(n+1)(n+2) =1n3+3n2+2n , (n+1)(n+2)(n+3)=1n3+6n2+11n+6 =>indices multiple de n = 18 , indices non multiple de n=6 , mais nous savons que Pierre de Fermat ne pouvait absolument pas développer ces expressions .

 

Calcul des extrêmes d'une factorielle n(n+1)(n+2)...(n+a):

 

Soit l'expression de nombre de facteurs pair (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), calculons le produit des deux extrémités (n+0)(n+5) = n²+5n+0n+0 = n²+5n+0 = (n)(n+5) quelque soit n.

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) (n+1)(n+4) =n²+4n+1n+4 =n²+5n+4

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) (n+2)(n+3) =n²+3n+2n+6 =n²+5n+6

Quelque soit le calcul de ces facteurs les multiples de n SONT TOUJOURS EGAUX

c'est à dire dans cet exemple il est égal à 5 ou ,si l'on considère que n²+5n = 1n²+5n , égaux 1+5 = 6

 

Calcul des facteurs en gras
   
remplacement de n par 1
remplacement de n par 2

(n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)

 n(n+5)

n²+5n+0

n(n+5)

=> 1(1+5)=6

= [n²+5n]+0

=>1+5=[6]

n(n+5)

=>2(2+5)=>14

=n²+5n+0

=>4+10=14

(n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)

 (n+1)(n+4)

n²+4n+1n+4 =n²+5n+4

(n+1)(n+4)

=> (1+1)(1+4)=2*5=10

=n(n+5)+(1*4)

=>[6]+4=10

(n+1)(n+4)

=> (2+1)(2+4)=18

=n(n+5)+4

=>[14]+4=18

(n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)

 (n+2)(n+3)

n²+3n+2n+6 =n²+5n+6

(n+2)(n+3)

=> (1+2)(1+3)=3*4=12

=n(n+5)+(2*3)

=>[6]+6=12

(n+2)(n+3)

=> (2+2)(2+3)=4*5=20

=n(n+5)+6

=>[14]+6=20

 

Nous remarquons que dans une expression du genre (n+a)(n+b) il nous suffit de retrancher a*b pour obtenir une expression n[n+(a+b)]

exemple : (n+5)(n+10) - 50 = n(n+15) , remplaçons n par 10 pour vérifier , 15*20 = 300 , 300-50 = 250 = 10*25

 

Soit l'expression de nombre de facteurs impair (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6), calculons le produit des deux extrémités (n+0)(n+6) = n²+6n+0n+0 = n²+6n+0 = (n)(n+6) quelque soit n.

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) (n+1)(n+5) =n²+5n+1n+5 =n²+6n+5

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) (n+2)(n+4) =n²+4n+2n+8 =n²+6n+8

Si maintenant nous calculons dans (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) (n+2)(n+4) =n²+4n+2n+8 =n²+6n+9

Nous nous intéresserons, dans les paragraphes suivants, à : (n+2)(n+4) +1 = (n+3)²

 

Calcul des facteurs en gras
   
remplacement de n par 1
remplacement de n par 2

 (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)

 n(n+6)

n²+6n+0

n(n+6)

=> 1(1+6)=7

= [n²+6n]+0

=>1+6=[7]

n(n+6)

=>2(2+6)=>16

=n²+6n+0

=>4+12=16

 (n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)

 (n+1)(n+5)

n²+5n+1n+5 =n²+6n+5

(n+1)(n+5)

=> (1+1)(1+5)=2*6=12

=n(n+6)+(1*5)

=>[7]+5=12

(n+1)(n+5)

=> (2+1)(2+5)=21

=n(n+6)+5

=>[16]+5=21

(n+0)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)

 (n+2)(n+4)

n²+4n+2n+8 =n²+6n+8

(n+2)(n+4)

=> (1+2)(1+4)=3*5=15

=n(n+6)+(2*4)

=>[7]+8=15

(n+2)(n+4)

=> (2+2)(2+4)=24

=n(n+6)+8

=>[16]+8=24

(n+0)(n+1)(n+2)(n+3)²(n+4)(n+5)(n+6)

(n+3)(n+3)

=n²+6n+9

(n+3)²

=> (1+3)²=16

=[n²+6n]+3²

=>[7]+9=16

(n+3)²

=> (2+3)²=25

=n(n+6)+3²

=>[16]+9=25

 

Généralisations :

 

 

(n+a)(n+b)= n² + an + bn + ab = n² + n(a+b) + ab

et aussi

(n+0)(n+(a+b))=n²+(a+b)n+0

donc

(n+a)(n+b)-ab=(n+0)(n+(a+b))

si l'on ajoute à (n+a) le même nombre que l'on retranche à (n+b)

[ n + (a+) ][ n+(b-) ]=n² + (a+)n+(b-)n+ (a+)(b-) = n² + (a+b)n + (a+ )(b- )

notez la factorisation de (a+)n+(b-)n=n(a++b-) ce qui implique que le multiplicateur de n² =1 et le multiplicateur de n sont toujours égal à a+b

 

 

 

Clef de Fermat N°3 : Vision "bi-triangulaire" d'un nombre pair ->2n , impair 2n+1

Orientation de mes recherches:

 

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

J'en ai donc déduit que Fermat se représentant une hypothénuse première ayant la forme 4n+1 alors il a donc representé un nombre pair comme ayant une "forme" 2n et un nombre impair ayant la forme 2n+1...

 

nombre pair =2n , nombre impair = 2n+1

 

Soit un nombre x , si ce nombre est > à 1 alors il est composé d'au moins de la somme de deux nombres que nous appellerons et b.par exemple 13 est = à 1+12 , 2+11 , 3+10 etc.... (et aussi le produit d'au moins deux nombre même si il est premier par exemple 13 = 13*1)

Ce nombre peut aussi être maintenant décomposé en n le premier terme et  b le deuxième terme égal à n +        , étant la différence de b et n .

Exemple 13 = 5+8 , 13 = 5 + 5+3. si l'on factorise le premier terme de l'addition alors x = 2n + , 13 = 2(5) +3

 

Ce nombre peut aussi être décompose en n = b , et  n - , par exemple 13 = 8 + 8 - 3 ,c'est a dire 13 = 2(8)-3

Si le nombre x est impair alors nous pouvons remplacer  par 1 et n devient unique ; c'est a dire 13 = 2(6)+1

Si le nombre x est pair alors nous pouvons remplacer  par 0 et n devient unique ; c'est a dire 12 = 2(6)+0

si x 0 (mod) 2 alors

si x 0 (mod) 2 alors

 

Nous pouvons écrire aussi que :

si x premier  alors

Exemple 17=4+12+1=>17=2(2+6)+1=2(2+2*3)+1

 

Trouver le carré d'un nombre

Grâce à cette formule nous pouvons donner une image au carré d'un nombre , si x = 2n + alors x² = (2n +

 

exemple 13 = 2*5 + 3 , alors 13² = 4*5*(5+3)+3² <=> 20*8 + 9 <*=> 160+9 *= 169

 

Et donc ,pour un nombre impair, si je remplace par 1:

 

si x 0 (mod) 2 alors

rappel : n(n+1) est un nombre oblong ,il est égal à deux fois un nombre triangulaire

Si je reprend l'exemple ci dessus alors 13 = 2*6 + 1 , son carré 132 est égal à 4(6)(7)+1 = 4*42 +1 = 168 +1 = 169

Pour élever un nombre impair au carré il suffit de prendre (X -1) / 2 =n , pour trouver le premier facteur n de (n)(n+1) , puis multiplier (n)(n+1) par 4 et lui ajouter 1 pour obtenir son carré

Exemple 13² = (13-1)/2 = 6 => 6x7 = 42 x 4 = 168 +1 = 169 le carré de 13

Autre exemple 15² = (15-1)/2 = 7 => 7 x 8 =56 x 4 = 224 +1 = 225

Et donc ,pour un nombre pair, si je remplace par 0:

 

si x 0 (mod) 2 alors

Il est amusant de noter que le carré d'un nombre pair est égal à quatre fois un autre carré (démonstration ci-dessus),par exemple 10² = 4x5² , cet autre carré est aussi ou pair ou impair , si ce nombre est impair alors nous obtenons un carré du type 4*[4(n)(n+1)+1]

 

Exemple 6² = (2*3)² = 2² x [2²(1)(*2)+1] =  4 x [4(1)(2)+1] = 4 x (8+1) = 36 .

 

Remplacer x par n = démonstration x²= 4(n)(n+1) +1 ou 4n²

si dans x=2n+1 nous remplaçons x par n alors TOUT nombre n peut être exprimé sous la forme : , par exemple 13 = 2(13-1/2)+1 => 13 = 2(6)+1 ; ceci étant toujours vrai pour un nombre pair : 14 = 2(14-1/2)+1 => 14 = 14-1 +1 = 14

n² = ?

 

si l'on factorise par 4 (n-1)/2 les deux premiers termes :

 

 

l'on peut en déduire que pour trouver le carré d'un nombre n l'on peut appliquer (n-1)(n+1)+1 ; 13² = 12/2*14/2+1 => 6*7+1 mais le plus important est:

 

(n-1)/2+(n+1)/2=n la somme des deux facteurs de (n-1)(n+1)/4+1 , mais aussi (n-1)(n+1)+1 => (n-1)+(n+1)+1=2n+1

 

Carré d'un nombre et factorielle :

Reprenons le numérateur de l'expression   . (que l'on trouve dans dans la lettre de Pierre de Fermat à Roberval du 4 Novembre 1636 ) , nous remarquons donc qu'un facteur est = au facteur précédent multiplié par le facteur suivant +1 , par exemple (n+2)² égal (n+1)(n+3)+1 , (n+1)² = n(n+2)+1

 

Carrés et arithmétique modulaire

 

Congruïté d'un carré quelquonque:

Regardons de plus près le carré suivant :

 

n²

=

(n-1)

*

(n+1)

+1

 

Le carré d'un nombre ou le carré d'un nombre -1 est divisible par 3

Dans la séquence (n-1)n(n+1) un des trois nombre étant divisible par 3 alors : soit n de n² est divisible par 3 ou n²-1 = (n-1)(n+1) est divisible par 3.

Exemple 10² = 100 , 100-1 =  11 * 9 est divisible par 3 (9*11 = 99 / 3) , autre exemple 13² = 169 -1 = 12*14 , 12 est divisisible par 3

J'appuie ce théorème sur l'observation de Pierre de Fermat sur le problème livre V question 12 qui a guidé ces recherches:

OBS. DE FERMAT: Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

 

Congruité d'un carré premier:

Le carré d'un nombre premier > 3  -1 est divisible par 4! (1*2*3*4 = 24)

soit p² = (p-1)(p+1) + 1 alors dans la séquence (p-1) p (p+1) , p étant premier alors :

 

(p-1)

  p

  (p+1)

/2

non (*)

oui

non

oui

non

/4

oui

non

non

non

oui

/3

oui

non

non

non

oui

 

=12 * n'

*

=2 * n'

   

=2 * n'

*

=12 * n'

(p-1)(p+1)

  = 24 * n'

 

= 24 * n'

je considére que  si (p-1) ou (p+1) est divisible ou par 4 alors (p+1) ou (p-1) n'est divisible que par 2

 

si p premier alors

Attention ceci n'implique absolument pas qu'un carré est premier si p-1 est divisible par 24 , celà implique juste (pour le moment) que p n'est pas divisible par 2,3,ou 4

Le cube d'un nombre ...

n3 = n² * n donc en multipliant (n-1)(1+1)+1 par n <=> n[(n-1)(1+1)+1] =

 

n3

=

(n-1)

n

(n+1)

+n

donc soit n est divisible par 6 ou n3 -n 0 mod 6 (on en revient toujours à 3!)

 

Trouver la racine carré entière d'un nombre , Nombre d'or

 

Ce théorème est basé sur les travaux sur les nombre polygonaux de Pierre de Fermat.

Racine carrée d'un nombre impair:

Soit x un nombre impair donc de la forme 2n +/-1 ,son carré égal  , c'est a dire quatre fois le produit d'un nombre    moins un.

si l'on ajoute les deux facteurs de alors n+(n+1) = 2n +1 = x

 

si x 0 (mod) 2 alors

 

 

somme des facteurs de :   =>  ;

 

 

Exemple: Trouvons la racine carrée de 289 , 289 -1 = 288 divisé par 4 = 72 = 2*36 = 4*18 = 8*9 => 8+9 = 17 ;

(2n+1 = 17 , n est égal à 8) ; n n'a pas d'importante , c'est 2n+1 qui est la racine de x =(2n+1)²

 

Si n(n+1) est le produit de plus de 2 nombres (a*b*c*d) , il suffit donc de décomposer n(n+1) en ses plusieurs facteurs , la somme de ces facteurs -1 sera égale à n.  c'est à dire (a+b-1) = (c+d) ou (a+c)-1 = (b+d) .....

 

Pourquoi le nombre d'or ?

 

Le fait de transformer (n)(n+1) en 2n+1 pour trouver la racine d'un carré, c.a.d faire la somme des facteurs de (n) et (n+1) , se résume à poser:

C.a.d : Faire la somme d'un produit de 2 nombres consécutifs

 

 

Soit la définition du nombre d'or :

 

<=>

<=>

 

 

plus de détails sur le nombre d'or sur:

Racine carrée d'un nombre pair:

Si n est pair alors c'est a dire 4 fois n*n (2²n*n) , si l'on ajoute les deux facteurs alors n² => n+n

Exemple : Trouvons la racine carrée de 144 , 144/4 = 36 = 6*6 => 6+6 = 12

 

si x 0 (mod) 2 alors

si alors

si l'on voudrait faire un programme informatique avec cette méthode , si le n de 4n² est aussi un carré alors nous ne saurions pas le re-décomposé , ainsi :

 

Décomposition de X² pair , obtention d'une représentation unique de x²

 

si x 0 (mod) 2 alors x = 2n <=> x = 2(n-1) +2 , faisons le carré:

 

factorisation de (n-1)

 

si x 0 (mod) 2 alors

 

Je prouve par ce développement que le carré d'un nombre pair /4 est un autre carré en effet :

 

n² étant un carré pair ou impair alors si il est pair il suffit de le diviser de nouveau par 4 , si impair on lui retire 1...

 

Puisque le carré d'un nombre pair est un autre carré * 4 alors il suffit de divisé le carré jusqu'a l'obtention d'un carré impair , puis d'appliquer la méthode pour trouver la racine carré d'un nombre impair , par exemple:

puisque nous avons divisé 2 fois par 4 alors

nous avons donc décomposé 10.000 comme suit : qui est égal à

 

Nous en déduisons donc la représentation universelle du carré d'un nombre

 

ou par factorisation :

 

Pour la représentation d'un carré impair a=1 =>41(n)(n+1) + 40 = 4(n)(n+1)+1

Pour la représentation de 4a => n=0 , exemple 16 = 4² = 4²(0x1+1)=4²*1²

 

Soit un nombre polygonal , trouver le coté = Racine Polygonale

 

Orientation de mes recherches:

 

Dans ma recherche sur l'étude des nombres polygonaux de Pierre de Fermat outre toutes les théories énoncées ci-dessus , Nombres de forme 2n ou 2n+1 selon sa parité (voir paragraphe précédent) et les factorielles, il y a un élément fondamental qui a attiré mon attention et mon incomprehension la plus totale:

La formule des nombre polygonaux utilisée par Diophante est    : alors que Pierre de Fermat utilise la formule        , cette formule si le polygone à 4 cotés (c'est a dire P=4) donne n² = n² ce qui à priori n'abouti à rien... (je vous suggère de suivre ce lien pour un petit rappel)

 

Je vous rappelle aussi qu'un nombre triangulaire est aussi un autre cas particulier , si l'on remplace P par 3 alors T(n) = n(n+1)/2 , T(n)= à la somme des nombres de 1 a n

 

Quoi qu'il en soit dans ces deux formule : Polygonal (n) de coté P = ou = ,le gros problème est que ,pour trouver le coté d'un nombre polygonal ,c'est à dire n, il faut retirer à ce nombre un nombre n ou un nombre n² , puis trouver ce nombre n...

 

Si pour un nombre triangulaire T ,ce nombre est facile à trouver avec la formule ,qui est , je le rappelle un cas particulier, T(n) = n(n+1)/2 c'est une autre paire de manche pour trouver n avec pentagonal.

 

Polygonaux et 2n ou 2n+1:

Si dans la formule de Diophante d'un nombre polygonal d'un nombre de coté P  nous remplaçons x par 2n ou 2n+1 selon sa parité l'on obtient pas grand chose (je vous faut grâce de mes calculs ) par contre , si dans nous remplaçons x par 2n ou 2n+1 selon sa parité alors :

donc :

 

x est impair =2n+1

x est pair =2n

mise au dénominateur commun de (2n)(2n+2)

 

Dans les deux termes divisons 2n par 2 le seul facteur commun divisible par 2

 

 

Factorisation par n :

mise au dénominateur commun de (2n-1)(2n+1)

Dans le premier terme 2(2n-1)(2n+1) le seul facteur divisible par 2 est 2

Dans le deuxième terme (2n)(2n-1)(P-4) , ignorant (p-4) le seul facteur divisible par 2 est 2n

 

donc:

Factorisation par 2n-1

Au vu de ces formules leurs intérêt ne saute pas immédiatement aux yeux pourtant nous pouvons dors et déjà écrire :

 

Premières conclusions

Si un nombre NP est un nombre polygonal alors NP-1 est le produit de deux nombres, quelque soit son nombre de cotés P

Et donc aussi : Sauf si n=1 , NP-1 n'est pas premier

Il nous suffit donc , pour trouver le produit de ces deux nombre de retrancher 1 à n'importe quel nombre polygonal , par exemple 36 -1 = 35 = 7*5  (36 étant un nombre polygonal de 4 cotés)

La somme de deux polygonaux sera égale à ab+cd+2 , la somme de trois polygonaux sera égale à ab+cd+ef+3 ...

 

Simplification:

Si pour un polygone de 4 coté cette representation est pratique ,le terme (P-4)(2n+1) ou (P-4)(n) étant égale a zéro , elle n'est pas ,pour ma part, representative des autres polygones entre autre pour P=3 au quel cas (P-4) sera négatif,  et puis cet équation est compliquée et il est très difficile d'en trouver des points communs

 

Distribution de (P-4)(2n+1)=P(2n+1)-4(2n+1)

un peu d'ordre:

 

distribution de P dans P(2n+1)

factorisation par 2n

Distribution de (P-4)(n)=Pn-4n

un peu d'ordre

 

 

 

factorisation par n

Tout d'abord examinons le résultat selon la valeur de P

 

Polygonal d'un nombre impair =>2n+1

Polygonal d'un nombre pair =>2n

P=2

n(0+2)+1 = 2n+1

(2n-1)(1)+1=2n

P=3

n(2n+3)+1

(2n-1)(n+1)+1

P=4

n(4n+4)+1 = 4(n)(n+1)+1

(2n-1)(2n+1)+1 = 2n²

P=5

n(6n+5)+1

(2n-1)(3n+1)+1

P=6

n(8n+6)+1

(2n-1)(4n+1)+1

 

Mise en relation avec une factorielles de Fermat:

Observation de Fermat sur l'étude du problème de Diophante (question 4): Etant donné un nombre polygonal trouver le coté:

 

Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre;

La multiplication du triangulaire, par le nombre qui le suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du pyramidal;

Le produit du pyramidal, par le nombre suivant de la progression, donne le quadruple du triangulo--triangulaire, et ainsi à l'infini par une méthode générale et uniforme; et je ne pense pas qu'on puisse donner sur les nombres un théorème plus beau et plus général, je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la demonstration à la marge (1)

 

Ce que j'ai  traduit par : ;  :   et la formule générale expression confirmée par la lettre de Pierre de Fermat à Roberval du 4 Novembre 1636 ou l'on trouve l'expression suivante ....

Tableau des nombres Polygonaux pour n et P nombre de coté

Pour p=3 le nombre obtenu est un nombre triangulaire (C.A.D )

Pour p=4 le nombre obtenu est un carré

 

 

Nombres de cotés du polygone

x

<=>

P=2

P=3

P=4

P=5

P=6

P=7

P=8

P=9

P=10

1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 10 16 22 28 34 40 46 52
5 15 25 35 45 55 65 75 85
6 21 36 51 66 81 96 111 126
7 28 49 70 91 112 133 154 175
8 36 64 92 120 148 176 204 232
9 45 81 117 153 189 225 261 297
10 55 100 145 190 235 280 325 370
11 66 121 176 231 286 341 396 451
12 78 144 210 276 342 408 474 540
13 91 169 247 325 403 481 559 637
14 105 196 287 378 469 560 651 742
15 120 225 330 435 540 645 750 855
16 136 256 376 496 616 736 856 976
17 153 289 425 561 697 833 969 1105

18

171 324 477 630 783 936 1089 1242
19 190 361 532 703 874 1045 1216 1387

 

Tableau obtenu avec la formule :

 

Il nous faut donc transformer le Tableau précedent des deux produits +1 pour qu'il "ressemble" à la factorielle ci dessus , par exemple pour P=4,le produit de deux nombres d'un carré impair -1 étant égal à n(4n+4) est aussi = à 2n(2n+2) , donc x=2n  

 

 

Polygonal d'un nombre impair =>2n+1

=

Polygonal d'un nombre pair =>2n

 

Produit :

=

Produit :

=

P=3

n(2n+3)+1

(2n-1)(n+1)+1

P=4

n(4n+4)+1

=

(2n-1)(2n+1)+1

=

P=5

n(6n+5)+1

(2n-1)(3n+1)+1

P=6

n(8n+6)+1

(2n-1)(4n+1)+1

Exemple :

Trouvons le coté du Pentagonal (p=5) = 145 , 145 -1 =144 , que l'on multiplie par 6 ce qui sera égal 144*6 = 864 = 27*32 = (30-3)(30+2) , 2n=10 , n=5

 

Problématique 1 , choisir quelle fonction appliquée: Si pour un carré nous trouvons très facilement si il est issu d'un nombre de type 2n ou 2n+1 (antécédent d'un nombre 2n ou 2n+1avec p=4), le carré d'un nombre ,de type 2n, étant pair et le carré d'un nombre impair ,de type 2n+1 étant impair , par exemple le carré de 2*3+1=5 ,impair, 7²=49 , le carré de 6,6² pair, =36 pair ;ce qui nous permet de choisir la bonne somme du tableau si dessus . Ce n'est pas le cas d'autres polygonaux , triangulaires, pentagonaux ....

 

Problématique 2 , choisir les deux "bon" facteurs : Pour un carré nous trouvons le coté facilement, et pour un nombre triangulaire c'est , en appliquant la formule simplifiée (n)(n+1)/2 , il est facile d'en extrapoler les deux facteurs consécutifs (exemple T(5)15 , *2 = 30 = 5*6), l'on voit que cela est une autre paire de manche pour un pentagonal ...

Exemple : trouver le coté d'un pentagonal (P=5) = 145 - 1 = 144 *6 = 12*12*6 = (3*3*3)(4*4*2)=27*32 = (6*5-3)(6*5+2) , n=5 vraiment pas facile

 

Pour résoudre ces deux problématiques , utilisons le théorème des deux extrêmes:

rappel : appliquons au tableau en modifiant a et b de telle sorte que -ab soit égal au diviseur :

 

Soit x est un polygonal de coté p, trouver le coté

 

 

Polygonal d'un nombre impair =>2n+1

 

Polygonal d'un nombre pair =>2n

 

 

dividende

=

 

=

P=3

 

 

P=4

16n²+16n=

(4n)²+2*4n*2+2²-2²

4²n²-2²=

(*)

 

P=5

6²n²+30n=

36n²+30n+6-6

36n²-6n-6=

36n²-6n-6

P=6

8²n²+48n=

8²n²+48n+8-8

 

8²n²-16n-8=

8²n²-2*8n+1-1

 

(*) si a+b = 0 alors on ne peut extrapoler ab

 

Exemple : quel est le triangulaire de 15 (P=3) ,c'est à dire juqsu'a quel nombre on ajoute pour obtenir 15 (1+2+3 ...?): 15*2=30 = 5*6 le plus petit facteur est un impair, jusque là rien d'extraordinaire puisque avec la formule x(x+1)/2 = T , x(x+1)=2T on arrive au même resultat

 

Autre exemple : cherchons maintenant la valeur du coté d'un pentagonal (P=5) = 145 (qui est égal au produit de 2 nombres/6) donc 6*145=6*5*29=29*30 , le plus petit terme étant impair alors il est issu de , donc 30=6*5 , donc 2n=10 !!!!

 

Notez que pour resoudre la problématique N°2 nous avons choisi la sequence (6n-1)(6n) parce qu'un des deux facteur est divisible par 6 ; en effet (6n+2)(6n+3) n'est pas divisible par 6.

 

Les Hypoténuses première de type 4n+1 = (Somme de 2 polygonaux de 4 cotés)

 

J'ai entrepris depuis de nombreuses années d'étudier et de détailler  toutes les notes de Pierre de Fermat sur l'Arithmética ; Il s'avère que ses annotations les plus récurrentes ne sont pas , comme on pourrait s'y attendre , son petit Théorème, les nombres polygonaux, ou les triangles de Pascal  mais sont relatives à son théorème dit : "des deux carrés".

Ce théorème est cité entre autre dans le Livre III question 22  (L3Q22) en ces termes :

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Dans le Livre V question 12 (L5Q12),

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1.

Emile Brassine ajoute : D'après Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²), par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotient du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un théorème de Fermat.

 

On remarque qu'une hypothénuse premiére de la forme 4n+1 EST elle même COMPOSEE  de deux carrés ( si k=1 alors 4n +1 = 1²(x'² + y'²) )

 

Par exemple , 13 étant de forme 4n+1 , alors il est lui même composé de 2 carrés

 

J'en conclus que Fermat son théoréme des hypothénuses 4n+1, s'est représenté une autre image d'une hypothénuse ,autre que la formule .

 

Calcul de la somme de 2 carrés , Hypothénuse première (k=1) a² + b² = c de forme 4n+1

 

IMPORTANT , Dans ce paragraphe , nous étudions les hypothénuses premières de type a² + b² = Z (la racine carré de Z n'étant ni entière , ni factionnaire puisque Z est premier ) et non pas une hypothénuse première carrée de type a² + b² = Z² , exemple 3² + 2² = 13 et non pas 5² + 12 ² = 13²

Pierre de Fermat notait a²+b²=Z²

(et non pas C²)

Rappel:

si x 0 (mod) 2 alors

si x 0 (mod) 2 alors

 

Une hypothénuse est la racine carré de la somme de deux carrés  , a²+b²  le premier carré impaire prend la forme 4(n)(n+1)+1 et le second paire prend la forme 4n² (ou vise et versa pour a paire et b impair ).

En effet , comme l'hypothénuse est une hypothénure première alors si a et b étaient impaires , c'est à dire de la forme 4(n)(n+1)+1 alors nous aurions 4(n)(n+1)+1+4(n+)(n+1)+1 , serait égal à 4(n)(n+1)+4(n+)(n+1)+2 , cette hypothénuse serait divisible par 2. (bien sur si a et b pair alors l'hypothénuse serait divisible par 4)

Si nous exprimons  a²+b² => a² + (a+)² alors

 

ou

Je note n' pour ne pas confondre le n de 4(n)+1

 

Ceci vous paraissant confus , prenons un exemple 29 = 2² +5². si n'=1 => 29= 4(n')+4(n'+1)(n'+1+1)+1 , 29 = 4(1) + 4(2)(3)+1 , les deux premiers termes étant obligatoirement divisible par 4 alors une hypothénuse première a la forme 4(n)+1

Si nous factorisons les deux premiers termes de 29 = 4(1) + 4(2)(3)+1 alors 29 = 4(1+2 x 3)+1 , 29 = 4(7) +1

 

après factorisation :

ou

 

conclusion : si a²+b² est premier alors il prend la forme 4(n) +1

 

Nous démontrons  en partie ce théorème sans toutefois trouver comment Pierre de Fermat l'a trouvé, et que je vais démontrer au chapitre suivant:

 

Congruité de la somme de deux carrés :

 

Introduction:

Les pistes pour calculer des hypothénuses ou hypothénuses carrés sont innombrables , diophante et Fermat ,au debut de son étude, s'appuient sur l'expression (a²-b²)² + (2ab)² = (a²+b²)² . puis Fermat choisi une autre piste :

dans le Livre V question 12 (L5Q12),concernant les hypothénuses 4n+1

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1. (4n-1)

congruité de z= a²+b² = 4n+1 divisé par 4n-1 ... z-1 divisible par 4

OBS. DE FERMAT livre V question 12 : Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

Phase très mystérieuse exprimant la congruité de z par 3 ... et études sur les factorielles ci dessus ..... Donc je pense que toutes les théories de Fermat ont pour base factorielles et arithmétique modulaire

 

Si pour p>3 , p²-1 est divisible par 24 alors à quoi est congru a² + b² premier ?

 

Soit z=4n+1 une hypothénuse premiére alors 4n ou 4n-1 est divisible par 3 .En effet si z² = (a²+b²)² alors (4n + 1)² = (4n+1-1)(4n+1+1) + 1 = (4n)(4n+2) +1. Si 4n+2 0 mod 3

alors 4n+2 - 3 = 4n-1 est aussi 0 mod 3 (rappel n0 mod 3 signifie n est divisible par 3 , le reste =0)

 

4n  0 mod 3

4n-1  0 mod 3

si 4n 0 mod 3 alors n 0 mod 3

 

 

factorisation par n/3

 

 

on note que donc

 

 

si n 0 mod 3 alors  

 

si 4n-1 0 mod 3 alors [3n+(n-1)] 0 mod 3 , 3n  0  mod 3 donc (n-1) 0  mod 3

 

 

 

 

puis que (n-1) 0  mod 3 alors par factorisation de (n-1) /3

 

si n 0 mod 3 alors

 

Il y a un moyen plus rapide de prouver cette équation , mais le + 5 a une énorme importance, est une constante dans le nombre d'or et l'on observe que dans a²+b² premier a² ou b² l'un ou l'autre est divisible par 3,4 ou 5 .... ce qu'il me faudra démonter

 

 

 Arithmética Livre IV Question 31 Théorème fondamental de Fermat sur les nombres polygonaux

Dans la question 31 du livre IV Fermat fait l'observation suivante:

OBS DE FERMAT. Bien plus , j'ai découvert le premier une proposition très belle et très générale, savoir ; que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires; carré ou composé de deux , de trois ou de quatre carrés ; pentagones ou composé de deux , trois , quatre ou cinq pentagones, et ainsi de suite à l'infini, on peut énoncer cette merveilleuse proposition pour les hexagones , les heptagones , et généralement pour les polygones quelconques, d'après le nombre de leurs angles. Mais il ne convient pas de placer ici sa démonstration qui est déduite de plusieurs mystères les plus variés et les plus abstrus des nombres , car nous avons résolu de destiner à cet objet un Livre complet, et d'étendre merveilleusement dans cette partie l'arithmétique au delà de ses anciennes limites connues.

Fermat n'a jamais écris ce livre et aujourd'hui encore on (source wikipédia) lui reproche de ne pas avoir démontrer ce théorème ..... mais il est suffisamment important pour Fermat pour qu'il envisage d'écrire un livre !..

L'histoire n'a retenue que la décomposition d'un nombre en 1,2,3 ou 4 carré ,mais ,en fait, un carré n'est qu'un cas particulier (somme de 2 carrés de la forme 4n+1) parmis tous les polygones ...(voir le chapitre sur : soit un polygone trouer le coté)

 

 

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Patrick Stoltz , La clef de Fermat :  première publication du 5 mars 2015 / contact (ou coup de main) sur Twitter ou Email : pstoltz@shemath.com

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