L'arithmetica Diophante

Etude détaillée de l'Arithmética de Diophante

 

Différenciation  des notes dans cette étude:

 

En bleu les annotations

de Diophante.

En vert les annotations de Fermat.

En bleu marine

Emile Brassine

Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvés avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

Livre I Question 30 On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres

On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres.

Solution. Soit p la somme des deux nombres, q leur produit. Diophante prend pour inconnue x, différence de deux nombres, et il remarque que le produit donné    , d'où il déduit x. En général, Diopante ramène l'équation du second degré à la forme x²=k: et pour cet effet , il fait constamment usage de cette relation algébrique qu'il énonce sur des nombres particuliers :

Cette équation est détaillée sur la page 

 

En résumé : 

La différence de deux nombres x et y au carré implique qu' il existe au moins deux autres nombres tel que leurs somme divisè par 2 au carré = le produit de ces deux autres nombres

Exemple X= 7,Y= 2 ; a=7/2 , b=2/2=1 => 

Nous voyons aussi :

fleche_animee Le lien de cette équation et les nombres d'or

fleche_animee Le lien de cette équation et les nombres premiers

fleche_animee a.b à différentes puissances

Nous retrouverons cette équation sous sa forme   entre autre dans le livre III question XXII et dans la théorie très importante de Fermat des hypoténuses de forme 4n+1

Livre II Question IX Diviser un carré donné en deux autres carrés

Exemple. Soit 16 le carré donné , j'appellerai N² et 16-N² les carrés cherchés, il reste à trouver N, de telle sorte que 16-N² soit un carré. Je pose 16-N² = (2n-4)² d'o'ù n = 16/5

C'est sur cette question que Pierre de Fermat à posé son grand théorème :

Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrièmes puissance quelconque en deux puissances de même nom au dessus de la deuxième puissance, est une chose impossible, et j'en ai assurément trouvé l'admirable démonstration, la marge trop exiguë ne la contiendrait pas.

Livre III Question 4 :

Trouver 3 nombres tels , que le carré de leur somme étant soustrait de chacun d'eux , les restes soient des carrés

En préambule à la question 22 , nous essayerons de comprendre la méthode et la mise en équation des questions de Diophante:

Livre III, Question 22 :

Trouver quatre nombres tels, que le carré de leur somme, augmenté ou diminué successivement de chacun d'eux, donne pour résultat un carré.

Dans cette question Fermat introduit une hypoténuse première de la forme 4n+1 , qu'il évoque aussi dans la question 12 du livre V

 

Il évoque aussi des puissances > à 2

Livre IV,Question I et II Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée

Question I Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée.

Solution. Nombre donné 370, nombre des cotés des cubes 10.

Un des cubes sera (N+5)3 , l'autre (5-N)3 , leur somme 30N² + 250 = 370 ; d'oû N=2; coté du premier cube 7, cotè du second 3.

 

Question II   Trouver deux nombres dont la différence soit égale à un nombre donné, et dont la différence des cubes soit aussi donnée.

Solution: différence des nombres 6, Différence de leurs cubes 504. Le premier nombre sera N+3 , le second N-3; la difference de leurs cubes 18N²+54 = 504 , N=5; coté des cubes 8 et 2

En extrapolant l'équation de Fermat :       

 au carré au lieu de cube l'on trouve l'équation suivante :

 

Livre V , Question 7 et 8 : Trouver trois triangles rectangles de même aire

Dans ces 2 questions   Diophante et Fermat utilisent l'équation           pour trouver des triangles rectangles de même aire par l'utilisation d'un triangle "de base" , composé des lettres d et b , qu'ils utilisent de manière différente.

Ces mêmes lettres , (d et b) sont aussi utilisées dans l'Opéra Varia de Fermat comme étant des coèficients de X et Y d'un Triangle rectangle (Noté d.X et b.Y)

 

Pour compléter l'étude de la question du livre III Question 22 dans laquelle je pense que Fermat procéde à une integration (calcul de surface d'une fonction), j'ai décider d'étudier cette question pour comprendre comment Fermat calcule les surfaces de triangles rectangle

Exemple ci contre : le triangle de base de base 5 et hauteur 2 (ayant donc une hypoténuse au carré de 29 ) forme un nouveau triangle rectangle de base Y = (d+b) = 7 et X = (d-b) =3 dont l'hypoténuse au carré égale 7² + 3² = 58  , le double de la première hypoténuse

Livre V , Question 12

Diviser l'unité en deux parties telles que la somme de chaque partie et N soit un carré

Solution. Soit le nombre donné 6 , chaque partie de l'unité plus 6 doit étre un carré ; la somme des deux carrés égale donc 13. Je désignerai par 2 +11N le coté du premier carré , et par 3-9N Le coté du second : la somme des carrés vaut 13 ou 202N² -10N+13=13; d'où N=5/101 les cotés des carrés seront 257/101 , 258/101 , si de ces carrés nous otons 6, il restera pour les segments de l'unité 5358 / 10201 et 4843 / 10201 ...

 

Etude sur la page :  

 

Dans cette question , E. Brassine explique :

...d'aprés Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²), par la suite (4n+1)/k²= x'² + y'² ; or le quotien du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un thèorème de Fermat.

Le quotient du premier membre est donc 4n+1 , E.Brassine nous explique qu'il est la somme de deux carres sans toutefois expliquer pourquoi ; par contre il nous donne une indication précieuse : K=1

 

Fermat fait encore référence à une hypoténuse de type 4n+1 , somme de deux carrés (4n+1 = x²+y²) . Certains aspects de ce théorème est détaillé dans le chapitre du  théorème des hypoténuses 4n+1 = somme de deux carrés

 

Livre V  , Question 24 : Trouver 3 carrés tels que le produit qu'ils forment, augmenté d'un quelconque d'entre eux , fasse un carré

L'on y trouve une note à mon sens trés importante: Fermat rajoute la question suivante :

... Trouver un triangle rectangle dont la base et l'hypoténuse réunis soit le quadruple de la hauteur :

 

Livre Les nombres polygonaux

Etude détaillée :  

arithmetica Livre Polygonaux

Dans ce livre TRES IMPORTANT , Diophante aborde les progressions arithmétiques , les équations du second degrés et les nombres polygonaux.

 

Sur ce livre Fermat a écrit beaucoup de théorèmes sur les nombres polygonaux

Notes et recherches perso

Différence du signe multiplier entre . et x

 

Equations relatives à mon étude sur l'arithmetica et nombres triangulaires (mise au propre de mes brouillons ....

 

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