Nombres Oblong

nombre oblong

La suite des 4 premiers nombres pairs = 2+4+6+8 = 20

Un nombre Oblong est le produit de deux nombres entiers consécutifs s'exprime sous la forme n(n+1) = n²+n

C'est la base de toute équation "Diophantesque"

Ce nombre est égal à la somme des nombres pairs de 1 à n

n	1	2	3	4	5	6	7
2n=	2	4	6	8	10	12	14
*Oblong=n(n+1)*	2	6	12	20	30	42	56

Glossaire:

Rang = r : position dans la somme, r dans la notation de Pierre de Fermat

exemple ci-contre : 6 est au rang 2

Altitude = A : hauteur d'un rang (exemple 4 au 2éme rang)

Le terme de "Altitude" est utilisé entre autre dans la conjecture de Syracuse

Nombres triangulaires = T

nombres triangulaire

La suite des 6 premiers nombres entiers = 1+2+3+4+5+6 = 21

Un nombre triangulaire T(n) est le produit de deux nombres entiers consécutifs divisé par 2

Il s'exprime sous la forme T(n):

Ce nombre T(n) est égal à la somme des nombres de 1 à n

le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls

exemple n=4 => T(4) = 1+2+3+4 = 10 est aussi égal à 4(4+1) / 2 = 20/2 = 10

Altitude=A=n	1	2	3	4	5	6	7	8
T=n(n+1)/2	1	3	6	10	15	21	28	36

Nombres Triangulaires CARRE = TC(n)

nombres triangulaire carré

Un nombre triangulaire CARRE TC(n) est un nombre polygonal de base carré.TC(n) est la n^ième somme de nombres impairs

Il s'exprime sous la forme TC(n):

Exemple si r=n=4 : 2(1)-1 + 2(2)-1 + 2(3)-1 + 2(4)-1 = 4² => 1+3+5+7 = 4²

Rang = n	1	2	3	4	5	6	7	8
A = 2r -1	1	3	5	7	9	11	13	15
TC(r) =n²	1	4	9	16	25	36	49	64

Observations

Cette valeur est nommée Altitude

Un nombre impair 2n-1 = n-1 + n C'est a dire un nombre entier de rang=n plus le rang inférieur n-1

TC(n) = T(n-1)+T(n) ;Un Triangulaire carré est la somme d'un triangulaire de rang inferieur n-1 + un triangulaire de rang n, par exemple si n=3

TC(3) = 3² = 9

Rang = n ,le rang suivant = r+1

Cette notion est trés subtile et merite un éclaircissement

Si je prend par exemple 3² et que j'ajoute 2(3)-1 = 5 => 3² + 5 = 14 et non pas 16= 4² tout simplement parce que 2(r=3)-1 égale le "2n-1" du MEME rang

Pour obtenir le carré n² suivant il faut ajouter 2(n+1)-1 . 3² + 2(4)-1 = 9 + 7 = 16 = 4²

n² + 2(n+1)-1 = (n+1)²

en simplifiant : 2(n-1)-1 = 2n+2-1 = 2n+1

n²+2n+1 = (n+1)²

Particulatité T(n) et TC(n)

La somme d'un nombre triangulaire T(n) et de celui qui le suit T(n+1) est égal au triangulaire carré suivant TC(n+1) => T(n) + T(n+1) = TC(n+1) = (n+1)²

somme 2 triangulaires consécutifs

Démonstration:

Développement

Regroupement

Division et identité remarquable

La conjecture de Gaspard Bachet

Les nombres Polygonaux

Définition:

Un nombre polygonal est la somme d'une progression de nombres entiers "arrangés" en polygones.

Précédement avec les nombres triangulaires T et les triangulaires carrés TC , nous avons vu des nombres polygonaux de 3 et de 4 cotés.

Représentation graphique:

Depuis l'antiquité les nombres polygonaux étaient figurés par des cailloux ou des graines disposés en polygones.

L'on trouve sur internet de voir ces nombres polygonaux plutôt figurés par des points ou des billes .

Je suggère plutôt (schéma ci-contre) de disposer plusieurs petits polygones en un grand polygone de coté n.

Par cette disposition vous constaterez que les cotés des petits polygones sont parallèle au coté du grand polygone.

P = le nombre de coté des polygones

n = le nombre d'éléments polygonaux par coté

nombres polygonaux

Les nombres polygonaux et Diophante

Le livre "les nombres polygonaux" de Diophante , dont il ne reste que quelques fragments, contient quelques propositions sur les progressions arithmétiques et les nombres polygonaux, notamment :

Question IV , livre des polygonaux : Considérons la somme des termes de la progression arithmétique commençant par 1 , si on fait k = (P-2) , on voit que cette somme sera un nombre polygonal , et que le nombre d'angles sera la raison de la progression plus 2

La formule d'une somme de termes commençant par 1 :

Livre de Diophante sur les progressions arithmétiques et nombres polygonaux :

si K= (P-2) alors l'on obtient la formule des Polygonaux :

Tableau des nombres polygonaux

	P=Nombres de cotés du polygone
P=2 <=> n	P=3 <=> T(n)	P=4 <=> TC(n)	P=5	P=6	P=7	P=8
1	1	1	1	1	1	1
2	3	4	5	6	7	8
3	6	9	12	15	18	21
4	10	16	22	28	34	40
5	15	25	35	45	55	65
6	21	36	51	66	81	96
7	28	49	70	91	112	133
8	36	64	92	120	148	176
9	45	81	117	153	189	225
10	55	100	145	190	235	280
11	66	121	176	231	286	341
12	78	144	210	276	342	408
13	91	169	247	325	403	481
14	105	196	287	378	469	560
15	120	225	330	435	540	645
16	136	256	376	496	616	736
17	153	289	425	561	697	833
18	171	324	477	630	783	936
19	190	361	532	703	874	1045

Exemple du schéma ci dessus & tableau:

Pentagone : colonne P = 5

en rouge n=2 est composé de 5 éléments (petits pentagones)

en bleu n=3 est composé de 12 éléments

Hexagone : colonne P = 6

en rouge n=2 est composé de 6 éléments (petits hexagones)

en bleu n=3 est composé de 15 éléments

Cas particulier P=2 :

Dans la formule si P=2 :

La première colonne du tableau (P=2) = n =r

Cas particulier P=3 :

Dans la formule si P=3 :

Développement de n(n-1)

si P=3

La colonne T (P=3) , est bien un triangulaire

Cas particulier P=4 :

si P=4 => = TC(n)

Les nombres polygonaux et Fermat

en marge du théorème de Gaspard Bachet Pierre de Fermat propose une autre formule pour les nombres polygonaux :

OBS de Fermat : Je rend cette proposition plus universelle. L'unité est le premier terme dans une progression quelconque de nombres polygonaux. Deux nombres consécutifs, augmentés du premier triangulaire , pris autant de fois qu'il y à d'angles dans le polygone moins quatre , font la seconde colonne ; Trois nombres consécutifs , augmentés du second triangulaire , pris autant de fois qu'il y a d'angle dans le polygone moins quatre , ferons la troisième colonne et ainsi de suite à l'infini

Ce que Emile Brassine (1) traduit pas la formule :

Equivalence des deux formules :

Pour prouver que la formule originale de Diophante est équivalente à celle de Pierre de Fermat posons l'égalité .

N et N² d'un coté , le reste de l'autre

Qui après factorisation des termes de droite et de gauche nous donne :

P disparaît (P-P), -2 +4 = 2

Ces deux formules sont donc égale

Standardisation de la formule des nombres polygonaux

Afin de standardiser et trouver la logique de la formule des nombres polygonaux dans la formule n + T(n-1)(P-2) , n= T(n)-T(n-1) donc

-T(n-1) = -1*(T(n-1) si l'on factorise alors :

Rappel

donc

Nombre polygonaux et relation de récurrence

Nous remarquons que la formule: est une fonction ,nommons la Fp(n,P), qui renvoie une somme selon un n donné, par exemple si P=5 et n = 3 => Fp(3,5) a pour image 12 .

Résumé

Le polygonal(n+1) suivant de coté P égal ce polygonal (n) + n(P-2)+1

Fp(n+1,P)=Fp(n,P)+n(P-2)+1

Relation de récurrence:

u(0)=1 ; u(n+1)=u(n)+n(P-2)+1

Particularité:

Si P=3 =>u(n+1)=u(n)+(n+1)

Exemple T(3) = 6 + (3+1) = 10 = T(4)

Si P=4 =>u(n+1)=u(n)+(2n+1)

TC(3) = 9 + (2*3+1) = 16 = TC(4)

Sur le pentagonal ci contre le pentagonal n=3 est composé de 12 éléments . (que je figure par 12 petits pentagones)

C'est à dire 1 élément = Fp(1,5) + 4 éléments =Fp(2,5) = 5 + 7 éléments = Fp(3,5) = 12

Ce qui serait intéressant se serait de savoir combien il faut que j'ajoute d'éléments pour obtenir le pentagonal suivant au lieu de calculer Fp(4,5)-Fp(3,5)

Donc posons l'égalité: