Nombres polygonaux

 Nombres Oblong

 

n 1 2 3 4 5 6 7 8
Ob=n(n+1) 2 6 12 20 30 42 56 72
T=n(n+1)/2 1 3 6 10 15 21 28 36

Exemple de somme des nombres de 1 à 4:

n=4 => (5*4)/2 = 10 ; 10 est égal à 1+2+3+4

 

 

Un nombre Oblong est le produit de deux nombres entiers consécutifs s'exprime sous la forme ou   .

C'est la base de toute équation "Diophantesque"

Un nombre Oblong / 2 est = à la somme des nombre de 1 à n

C'est un nombre Polygonal Triangulaire

Introduction aux nombres triangulaires = T

le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels non nuls 

exemple pour n=4 , 1+2+3+4 = 10

 

C'est aussi un nombre oblong / 2

Exemple: pour n=4 , 4(4+1)/2 = 10

 

Formule complémentaire:

 

un nombre élevé au carré - ce nombre = nombre de rang inférieur au carré augmenté de ce nombre moins une unité

 

Exemple ci contre: 3²-3 = 2²+(3-1)

9-3=4+2=6

 

Peut être la base du petit théorème de Fermat ... ?

qui se vérifie par:

 

exemple pour n=5 : 5(5-1)=(5-1)²+4=20

 

Glossaire:

Rang: position dans la somme (exemple 6 est au rang 3);r dans la notation de Pierre de Fermat

Altitude : hauteur d'un rang (exemple 3 au troisième rang) dans ce cas = à n

Ce terme est utiliser entre autre dans la conjecture de Syracuse.

= Triangulaire

TC= Triangulaire Carré

P=Pyramidal

PC = Pyramidal Carré

 

 Nombres Triangulaires CARRES = TC

 

Animation de nombres carrés : une altitude se "plie"pour former un nouveau carré

A ne pas confondre avec un nombre polygonal triangulaire , un nombre triangulaire carré est une nième somme de  nombres impairs

 

C'est aussi la somme de 2 nombres triangulaire - n exemples : 6+6-3 = 3² , 10+10-4=4²

 

Relations A et n

A=

 

Tableau des triangulaires carrés

 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

n+n-1

=TC=

2n-1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441
n3 1 8 27 64 125 216

Ligne n+n-1 : nombres impairs de rang n = A . Exemple si n=4 le 4iéme nombre impair est 7 <=> 2x4-1

Ligne n² : = la somme des nombres impairs de 1 à n : Exemple si n=4 , 1+3+5+7 = n² = 16

Ligne n3 : Théorie de Claude-Gaspard Bachet (Voir ci-dessous) 1=13 , 23=3+5 , 33= 7+9+11 ...

 

Cubes et nombres triangulaires carrés

Dans la proposition 27 de son deuxième livre , Claude-Gaspard Bachet (Mathématicien contemporain de Pierre de Fermat) explique:

Dans la progression arithmétique des nombres impairs , 1,3,5,7, L'unité est le premier cube, la somme des deux impairs suivants  le second cube ; la somme des trois impairs suivants le troisième cube ; la somme des quatre impairs suivants , le quatrième cube , etc , à l'infini

 

Ce que je visualise dans la ligne n3 du tableau ci-dessus.

 

Fermat annote à cette proposition :

OBS de Fermat : Je rend cette proposition plus universelle. L'unité est le premier terme dans une progression quelconque de nombres polygonaux. Deux nombres consécutifs, augmentés du premier triangulaire , pris autant de fois qu'il y à d'angles dans le polygone moins quatre , font la seconde colonne ; Trois nombres consécutifs , augmentés du second triangulaire , pris autant de fois qu'il y a d'angle dans le polygone moins quatre , ferons la troisième colonne et ainsi de suite à l'infini

Ce que Emile Brassine (1) traduit pas la formule :

"Pliage" d'altitude

Nombres polygonaux et Pierre de Fermat

Selon (1) La formule originale de Diophante est : ou P désigne le nombre des angles polygonaux , Pierre de Fermat propose la formule qui est équivalente à la formule de Diophante.

Matrice des polygonaux selon Fermat / Diophante

 

Nombres de cotés du polygone

n=r

<=>

P=2

P=3

P=4

P=5

P=6

P=7

P=8

P=9

P=10

1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 10 16 22 28 34 40 46 52
5 15 25 35 45 55 65 75 85
6 21 36 51 66 81 96 111 126
7 28 49 70 91 112 133 154 175
8 36 64 92 120 148 176 204 232
9 45 81 117 153 189 225 261 297
10 55 100 145 190 235 280 325 370
11 66 121 176 231 286 341 396 451
12 78 144 210 276 342 408 474 540
13 91 169 247 325 403 481 559 637
14 105 196 287 378 469 560 651 742
15 120 225 330 435 540 645 750 855
16 136 256 376 496 616 736 856 976
17 153 289 425 561 697 833 969 1105

18

171 324 477 630 783 936 1089 1242
19 190 361 532 703 874 1045 1216 1387

L'on note que dans ce tableau le rang r = n se lisent dans la colonne P=2

Les nombres triangulaires T se lisent dans la colonne P=3 ;

n² = r² se lisent dans la colonne P=4

 

Cas particulier P=2 :

Dans la formule si P=2 alors

La première colonne du tableau (P=2) = n =r

 

Cas particulier P=3 :

Dans la formule si P=3 alors :

Développement de n(n-1)

si P=3

La colonne T (P=3) , triangulaire est égale à un oblong / 2 = somme de n.

La somme du triangulaire avec celui qui le suit égale le carré du nombre du triangulaire suivant (ce théorème est inspiré du paragraphe "coté des nombres polygonaux" )

Démonstration :

 

  (ci-contre)

Exemple : si l'on cherche 103 dans la colonne T (P=3) en face de n=10 vous lisez 55, en face de n-1 = 9 vous lisez 45 => 55²-45²=1000=103

 

Cas particulier P=4 :

 

Dans la formule si P=4 alors cette colonne est égale à n²

Remarque  sur les colonnes P=2 , P=3 , P=4

Selon la formule abordée précédemment l'on en déduit que : 2x(P=3) =  (P=4) n² + P=2 (n) => 2T=n²+n

Exemple pour n=5 , 2x15 = 5²+5

 

Résumé important:

= Somme de 1 à n  Triangulaire

<=> Colonne (P=3)

= Somme de 1 à (n-1)   -1

<=> Nombre triangulaire précédent

Equivalence des deux formules:

Pour prouver que ces deux formules sont identiques posons l' égalité:

N et N² d'un coté , le reste de l'autre

Qui après factorisation des termes de droite et de gauche nous donne :

 

P disparaît (P-P), -2 +4 = 2

Ces deux formules sont donc égale

Formule des cubes de  Claude-Gaspard Bachet (ci-dessus) et formule de Fermat

 

A première vue , il est difficile de voir l'intérêt du point de vue arithmétique de cette formule , et le lien entre triangulaires carrés et triangulaires. Dans cette section , grâce à cette formule, nous allons faire un premier rapprochement en démontrant la formule des cubes de Bachet (voir chapitre précédent) et la formule de Fermat/Diophante.

 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n+n-1

=

2n-1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
1   9     36       100         225
n3 1 8 27 64 125

 

Bachet explique que le 1er nombre impair est le 1er cube (n=1=n3), la somme des 2 suivants le deuxième cube (3+5=23), la somme des trois suivants 33 , (7+9+11=27=33)... par ce moyen comment trouver par exemple le cube de 10 ! , il faut trouver le rang du premier impair à additionner et du dernier terme où arrêter cette somme...

Hors, la somme totale des termes correspond à un carré ( n² sur le tableau).

Donc , au lieu de prendre la somme des nombres impairs d'un certain rang à un autre, il suffit de prendre la somme totale des nombres impairs jusqu'au plus grand terme , moins la somme totale de 1 jusqu'au plus petit terme.

Ce qui correspond dans les nombres triangulaires carré à un certain carré moins un autre carré.

Exemple : le cube de 4 (égal à 13+15+17+19) est aussi égal à 10² (=1+3+5+...19) - 6² (=1+3+5+...11)=64=43

 

Comment trouver ces deux carrés ?

Le rang du plus grand carré est égal à une certaine somme des nombres impairs jusqu'à ce plus grand carré.

Exemple pour le cube de 5 , pour trouver le nombres de nombres impairs qu'il faut pour arriver jusqu'à ce plus grand carré, il faut ajouter 1 nombre impair = 13 + 2 nombres impairs = 23 + 3 nombres impairs = 33 , 4 impairs pour 43 et 5 impairs pour 53. ce qui fait 1+2+3+4+5 =15 nombres impairs <=> la somme de 15 nombres impairs = 15².

Ce qui correspond à la colonne T5 (P=3) du tableau des polygonaux de la formule de Fermat/Diophante = pour n=5

Dans notre exemple le plus grand carré sera donc égal à la somme de 5(5+1)/2 = 15 nombres impairs = 15²

Même raisonnement pour le plus petit carré qui sera égal à la somme de 4(4+1)/2 = 10 nombres impairs = 10²

Le nombre d'impairs qu'il faut pour ce petit carré est aussi égal à

pour n=5

 

Dans l'exemple  53 = 15²-10²

 

Demonstration de la conjecture des cubes de Claude-Gaspard Bachet par la  formule de Diophante / Fermat

Grace à mes précédentes observations et déductions , il s'agit maintenant de prouver mathématiquement mes dires !  

Si  

double développements:

 

Introduction: Observation de Fermat sur le Livre de Diophante - Des nombres polygonaux question VI

Trouver le rang d'un triangulaire: Méthode "classique"

Trouver le rang d'un triangulaire carré est facile, n=(TC+1)/2, mais trouver le rang d'un triangulaire est un peu plus difficile. par exemple le rang d'un TC=105 = 53 =(105+1)/2 =>(105= 1+3+5+7...53) mais quel est le rang (si il existe) d'un triangulaire d'une valeur = 105 ?

Fermat dans de début de son observation de la question 6 du livre de Diophante sur les nombres polygonaux nous donne un indice:

Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre; ...

Puisque nous pouvons en déduire que 2T est le produit de deux facteurs presque égaux n et (n+1), c'est à dire légèrement supérieur au carré de n..Il suffit donc de prendre la valeur entière de  , valeur juste inférieure à n(n+1) ; n(n+1) > n².

Exemple : trouver le rang d'un triangulaire =15 : Multiplions ce nombre par x 2 , 15 x 2 =30 , puis faisons sa racine carrée = 5.47722... et prenons sa partie entière

  .

Nous pouvons déduire que :

 

Dans la question 5 des nombres polygonaux : on donne le coté du nombre polygonal , trouver ce nombre , Emille Brassine nous fait observer que trouver n revient à la résolution d'une équation du second degrés

 

Cotés des nombres polygonaux : Introduction à  

 

Observation de Fermat sur l'étude du problème de Diophante (question 4): Etant donné un nombre polygonal trouver le coté

Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre;

La multiplication du triangulaire, par le nombre qui le suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du pyramidal;

Le produit du pyramidal, par le nombre suivant de la progression, donne le quadruple du triangulo--triangulaire, et ainsi à l'infini par une méthode générale et uniforme; et je ne pense pas qu'on puisse donner sur les nombres un théorème plus beau et plus général, je n'ai ni le loisir ni la convenance d'insérer la demonstration à la marge (1)

Ce que je traduit par : ;  :  

 

Qui par déduction donne l'expression suivante :

 

On retrouve dans les notes du 4 Novembre 1636 de Fermat à Roberval l'expression suivante Ce qui est bien le quadruple du Triangulo-triangulaire , car divisé par 1.2.3 , et non pas 1.2.3.4 

 

Matrice des "cotés" de nombres polygonaux

1!

2! ( )

 3! (P)

4!(TT)

5!

6!

7!

 

2

6

24

120

720

5040

n=1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

3

6

10

15

21

28

36

4

10

20

35

56

84

120

5

15

35

70

126

210

330

6

21

56

126

252

462

792

7

28

84

210

462

924

1716

8

36

120

330

792

1716

3432

9

45

165

495

1287

3003

6435

10

55

220

715

2002

5005

11440

11

66

286

1001

3003

8008

19448

12

78

364

1365

4368

12376

31824

13

91

455

1820

6188

18564

50388

14

105

560

2380

8568

27132

77520

15

120

680

3060

11628

38760

116280

16

136

816

3876

15504

54264

170544

17

153

969

4845

20349

74613

245157

18

171

1140

5985

26334

100947

346104

19

190

1330

7315

33649

134596

480700

20

210

1540

8855

42504

177100

657800

21

231

1771

10626

53130

230230

888030

22

253

2024

12650

65780

296010

1184040

Colonne T =

Colonne P =

 

Colonne TT =

...

L'égalité colonne /ligne est développée dans :

 

Expression d'équivalence "cotés" de Fermat / triangle de Pascal

Remarques sur cette matrice

Un nombre de ce tableau est trouvé par la somme du nombre trouvé  à [n-1,"!"] + [n,"!"-1]

Exemple : Le Triangulo-Triangulaire 35 ; Ligne n=4 , colonne 4! est égale à 15 [Ligne n=4-1=3, colonne 4!) + 20 (ligne n=4 , colonne 4-1=3!]

Un nombre de la colonne T (2!) est égal à la somme de n

Un nombre de la colonne P (3!) est égal à la somme de c'est à dire de tous les nombres triangulaires

Un nombre de la colonne TT (4!) est égal à la somme de P

Remarque: La colonne 1! n'existe pas car = 0!

Remarques sur la différence de la matrice des "cotés de nombres polygonaux" et "nombres polygonaux" (3! et P=4)

A partir de la colonne P, cette matrice diffère de la matrice des nombres polygonaux:

Dans la matrice des nombres polygonaux , la 3ème colonne (P=4) égale un carré = somme de deux nombres triangulaires

Dans cette matrice la colonne P égale la somme de tous les triangulaires précédents.

Donc:

Exemple : P(6)=56 ; P(4)=20 =>56-20 = 36 = 6²

 

Equivalence aux triangles de Pascal

En bleu foncé : indices du triangle de Pascal pour n=4

En bleu clair : indices du triangle de Pascal pour n=6

 

Triangle de Pascal :


i=0

1

2

3

4

5

6

7

8

n=0

1

0

 

 

 





1

1

1

0







2

1

2

1

0






3

1

3

3

1

0





4

1

4

6

4

1

0




5

1

5

10

10

5

1

0



6

1

6

15

20

15

6

1

0


7

1

7

21

35

35

21

7

1

0

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

 

 

Un nombre du triangle de Pascal est trouvé par la somme du nombre trouvé  à [n-1,i] + [n-1,i-1]

Une ligne n de ces nombre est aussi égale aux nombres trouvés dans un développement (x+y)n

exemple: (x+y)4 = 1x4 + 4x3y1 + 6x2y2 + 4x2y3 + 1y4

 

nota: à partir de 1654 Fermat et Pascal échangeaient bon nombres de correspondances principalement sur le "problème (statistique) des partis de jeux"

 

Trouver le rang d'un triangulaire : méthode du "crible" de Pierre de Fermat

Nous avons lu cette matrice  en colonne et en travers, sans toutefois bien comprendre ce qu'est qu'un coté d'un Polygonal et pourquoi Fermat est aussi content de lui ... Mais si nous lisons les lignes de cette matrice, tout devient clair... et génial!

En effet, nous observons que la colonne est égale à la ligne n=3 à partir de     (3) , la colonne P est égale à la ligne N=4 à partir de P (4) ... etc ; 

Par exemple le triangulaire 21 est dans la colonne           , mais aussi dans la ligne n=3 , à la colonne 5! , (C'est à dire la colonne n-1) , =   

Dans la deuxième équation , si le nombre cherché est un triangulaire alors n = 3

Cette deuxième équation transforme un polygonal en un crible , (me faisant penser aussi au crible d' Euclide dans la recherche des nombres premiers.); nous pouvons maintenant trouver la valeur de n pout un triangulaire .... ah, vous n'avez pas encore trouvé comment ? sans calculatrice ? sans racine carré ? et sans lire la matrice ci-dessus ?...

Exemple : trouver n de  (n) = 28:

Si 28 est un triangulaire , dans la formule , nous remplaçons n par 3 , ce qui donne : jusqu'à ce que cette formule égale 28:

Il suffit de multiplier les fractions correspondantes jusqu'a obtenir ce résultat , et de compter combien de fois nous avons réaliser cette opération

 

3

= 3 x

4

= 6 x

5

= 10 x

6

= 15 x

7

= 21 x

8

= 28

/

/

/

/

/

/

1

2

3

4

5

6

 

Ce nous donne 6 fractions multipliées ,nombre auquel il faut ajouter 1 puisque la colonne est à n-1 (matrice [n,n-1]) ;donc (6+1) = 28

Je remarque que le nombre 2 (du 2+i) de cette formule est égale à la différence de P dans la formule des polygonaux de Fermat (n² + .... x P-4 ) et Diophante (n+ ....x P-2)

Suite de cette étude sur la page "Clef de Fermat"

Divisibilité de n(n+1)(n+2)...

Pourquoi cette serie est divisible par sa factorielle?

 

Dans la formule des cotés des polygones de Fermat, l'on constate que n(n+1)(N+2)... est toujours divisible par la factorielle du nombre de facteurs.

Par exemple la factorisation de 3 nombres consécutifs est toujours divisible par 6 (1x2x3 = factorielle 3), de 4 nombres consécutifs est toujours divisible par 24 (4!)...

Je n'ai pas de démonstration mathématique satisfaisante mais une solution logique à proposer

 

Soit la serie suivante:

DivisIble par 2 (en gras)

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Divisible par 3 (en gras)

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

Dans la ligne Divisible par 2, un nombre sur 2 est divisible par 2.

Dans la ligne Divisible par 3, un nombre sur 3 est divisible par 3.

 

Donc si l'on multiplie 3 nombres consécutifs, dans cette série de facteurs, au moins un nombre (ou 2) sera divisible par 2 et au moins un nombre sera divisible par 3.

 

L'on peut dors et déjà dire que : La multiplication de trois nombres consécutifs sont divisible par 6, 4 nombres par 24 ...

 

Nombres de nombres divisibles et nombres premiers:

 

Si dans une série de 3 nombres , cette série contient 2 nombres premiers alors obligatoirement le 3eme nombre est forcement divisible par 6

Exemple 11,12,13 , 12 est le nombre non premier divisible par 6.

 

Polygonaux et Arithmética

Les nombres triangulaires et triangles de cotés a et b

 

Fermat nous dit:

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre; ...

Le petit hic , c'est que cela nous oblige à travailler sur deux rangs simultanés , le rang = n et le rang = n+1 ; T r*r+1 ; c'est à dire deux lignes simultanées ... , mais aussi la différence du 2éme facteur avec le premier facteur pour n pair , c'est à dire n 0 (mod 2) est positive alors que pour n impair cette même différence est négative.

n     0 (mod 2 ) signifie n le reste de la division de n  par 2 =0 , c'est à dire n est pair.

n     1 (mod 2 ) signifie que le reste de la division de n par 2 =1, n est impair   

Si vous n'êtes pas familier avec la notation de l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien pour un petit rappel

n a  b

a*b =(n)

1 1 1 1
2 1 3 3
3 2 3 6
4 2 5 10
5 3 5 15
6 3 7 21
7 4 7 28
8 4 9 36
9 5 9 45
10 5 11 55
11 6 11 66
12 6 13 78
13 7 13 91
14 7 15 105
15 8 15 120
16 8 17 136
17 9 17 153
18 9 19 171
19 10 19 190
20 10 21 210
21 11 21 231
22 11 23 253
23 12 23 276
24 12 25 300
25 13 25 325
26 13 27 351
27 14 27 378

Programmations des colonnes a et b

 

Colonne a, le plus petit facteur (B=n)

(3ème ligne de mon tableur open office) :

=SI (MOD(B3;2)=1;(B3+1)/2;B3/2)

 

Colonne b ,le plus grand facteur :

=SI (MOD(B3;2)=1;B3;B3+1)

 

N pair

N impair

a=

b=

a=

b=

b-a=

b-a=

b+a=

b+a=

 

Tableau résumé des 2 facteurs de , n<>1, a<b

Par référence à la formule de Pierre de Fermat   citée dans sa lettre son observation des  "coté des nombres polygonaux" et dans la divisibilité de cette formule (étendue a n!)  ...j'en déduit que Fermat a aussi considéré que si n(n+1) est divisible par 2 ,c'est à dire  n(n+1) 0 (mod 2) , alors au moins un des deux facteur est divisible par 2 :

 

Ce qui implique que :

 

Exemple 1:  puisque n=14 est pair alors

 

Exemple 2: puisque  n+1=16 est pair alors

 

Notez que Dans l'exemple 2 : 16 esu au moins divisible par 2, mais aussi par 4 , 8 , 16...

Le plus petit terme se trouve à gauche du produit (ce qui n'est pas le cas du tableau ci contre ),(n+1)/2 < n ...

 

Ecart entre les deux facteurs :

 

Pour pouvoir ranger les termes du facteur du plus petit au plus grand ,et expliquer entre autre les calculs des colonnes du tableau ci-contre, il nous faut voir l'écart entre les deux facteurs , ce qui nous permettra de comparer la somme des deux facteur d'un triangulaire.

Nous savons aussi qu'une des spécificité de l'arithmétique de Pierre de Fermat est l'étude du différentiel ...

a=plus petit facteur , b=plus grand facteur

a=plus petit facteur , b=plus grand facteur

Si N pair ,

Calcul de l'écart entre  et

 

=

 

ATTENTION + 1 est l'écart entre  et auquel il faut retrancher 1 pour l'écart entre N et donc :

a =  , b=

 

Exemple 1 :

L'écart entre n=14 et =7 est bien égal à 7.

a = = 7 , b=(14+1)=15

Si N impair , N > 1,

Calcul de l'écart entre et

 

=

 

L'ecart entre   et

 

a = , b= 

 

Exemple 2 :

L'écart entre 15 et 8 =>

a =  b=n=15 = 8+7

 a+b =

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Nous pouvons aussi déduire que :

 

 

 

Pour (n) =a*b, n pair, (a+b)-1 est divisible par 3

Visualisation de (6)=7(6/2)=3x7 = 21 , a=6/2=3 , b=6+1=7

a+b-1 = 3+7-1=9 divisé par 3= , bien que, dans cet exemple,  (6) soit lui aussi divisible par 3

(6) = 2a²+a <=> 2*3²+3=21

Pour (n) =a*b, n impair, (a+b)+1 est divisible par 3

Visualisation de (5)=5x(6/2)=3x5 = 15 , a=(5+1)/2=3 , b=5

a+b+1 = 3+5+1=9 divisible par 3 , bien que , dans cet exemple,  (5) soit lui aussi divisible par 3

(5) = 2a²-a <=> 2*3²-3=18-3=15

 

(1) source:Oeuvres mathématiques et de l'arithmétique de diophante par E.Brassine (XIX éme siècle) aux éditions Jacques Gabay

Accueil

 

L'arithmetica DiophanteNombres polygonauxLa clef de FermatN premiers Petit Théoreme. Arithmétique modulaireCarrés topologiquesBoite A outilsAvis / Contact

Patrick Stoltz le 19/02/2009 – MAJ le 8/07/2010-13/01/2015

pstoltz@shemath.com