Fermat-Carré impair

 Extrapolation à partir d'un carré impair, découpage par n

 

Découpage par n:

 

Calcul de c (fc(n)

Calcul de a (fa(n)

factorisation

factorisation

 

factorisation

factorisation

 

verification

C² – A² = B²

(c+a)(c-a)

B²=(fc(n)+fa(n))(fc(n)-fa(n))

B² = ((n²-1)/2 +1 + (n²-1)/2 )((n²-1)/2 +1 - (n²-1)/2 )

B² = ((n²-1)/2 +2/2 + (n²-1)/2 )((n²-1)/2 +2/2 - (n²-1)/2 )

(n²-1)/2 + (n²-1)/2 = 2(n²-1)/2 , Elimination de (n²-1)/2

B² = (2(n²-1)/2 +2/2 )(+2/2 )

B² = (2(n²-1)+2/2 )

B² = (2((n²-1)+1)/2 )

B² = (n²-1)+1

B²=n²

Matrice

N C B (ou A) A (ou B) B²+A²
3 5 4 3 25 16 9 25
5 13 12 5 169 144 25 169
7 25 24 7 625 576 49 625
9 41 40 9 1681 1600 81 1681
11 61 60 11 3721 3600 121 3721
13 85 84 13 7225 7056 169 7225
15 113 112 15 12769 12544 225 12769
17 145 144 17 21025 20736 289 21025
19 181 180 19 32761 32400 361 32761
21 221 220 21 48841 48400 441 48841
23 265 264 23 70225 69696 529 70225
25 313 312 25 97969 97344 625 97969
27 365 364 27 133225 132496 729 133225
29 421 420 29 177241 176400 841 177241
31 481 480 31 231361 230400 961 231361
33 545 544 33 297025 295936 1089 297025
35 613 612 35 375769 374544 1225 375769
37 685 684 37 469225 467856 1369 469225
39 761 760 39 579121 577600 1521 579121
41 841 840 41 707281 705600 1681 707281
43 925 924 43 855625 853776 1849 855625
45 1013 1012 45 1026169 1024144 2025 1026169
47 1105 1104 47 1221025 1218816 2209 1221025
49 1201 1200 49 1442401 1440000 2401 1442401
51 1301 1300 51 1692601 1690000 2601 1692601
53 1405 1404 53 1974025 1971216 2809 1974025
55 1513 1512 55 2289169 2286144 3025 2289169

 

TOUT carré impair est la double somme de deux carrés : x²=2Z

Introduction:

Dans ce chapitre nous étudions les nombres impairs car , tout carré pair étant divisible par 4 jusqu'a obtention d'un carré impair de la forme 4(n)(n+1)+1.

J'avais (topologie des carrés impairs) expliqué qu'avec tout nombre impair , l'on pouvait trouver l'hypothénuse correspondante pas la fonction sans toutefois trouver la relation de cette fonction et les travaux de Fermat

 

Multiple de carrés impairs:

 

Soit x un nombre impair quelquonque ,il est le multiple d'au moins deux nombres impair même si il est premier : par exemple 15 = 3*5 mais aussi 13 (nombre premier) = 13*1. Donc X=X*1

Nous en déduisons donc que tout carré impair et le multiple d'au moins deux carrés impair : 15² = 3² x 5² mais aussi 15² = 15² x 1².Donc :

 

 

exemple : si 15² = 3²5² , 15² est aussi = 15²*1² et donc égal à [14*16+1]*1

Si x est le produit d'au moins deux nombre impair quelconque alors

 

15² = 5²*3² =[(4x6)+1]x[(2x4)+1] =(24+1)(8+1)=5²*3²=225 , 21²=7²*3² = [(6x8)+1]x[(2x4)+1]=(48+1)(8+1)

Somme des Facteurs x² * 1² :

 

Si  la somme des deux facteurs est égale à :

exemple 15=3*5 est aussi égal à 15*1 , donc 15²+1² = [(15-1)(15+1)+1]+1²=14*16+2 ,  = 4(7x8)+2

 

Avec cette équation il est très difficile de prouver qu'elle est égale à 2Z examinons maintenant (2n+1)²....

 

Somme des facteurs (2n+1)² * 1² :

 

D'une part :

D'autre part : si X est impair alors ,

 

Donc

 

est une hypothénuse :

Je ne vous fait pas l'injure de vous rappeler que a²+2ab+b² = (a+b)²

Soit xy impair alors x²+y² = 2Z

 

soit X et Y deux nombres impairs alors il exite deux nombres a,b tel que :

 

Exemple : 21 = 3*7 , a=(7+3)/2=5 , b=(7-3)/2=2

 

x²+y²=2(a²+b²) :

 

 

 

 

 

 

 

Relation avec 4n+1 premier ou comment Fermat a trouvé ce théorème , premières conclusions:

 

Si donc le coté d'un carré est premier c'est à dire de forme (2n+1)*1 seulement alors (2n+1)²+1² = 2(n)(n+1)+1 , comme n ou n+1 est divisible par 2 alors :

 

 

Exemple: si x=5 alors 5²+1=26 / 2 = 13 ; si x=5 = (2*2+1) , n=2 ; 2(2)(3)+1 = 13 = 4(2/2)(2+1)+1 =4(1)(3)+1 = 4(3)+1 est donc de type 4n+1

 

Pour le moment , je prouve que si le coté est premier alors 2Z est de type 4n+1 mais nous n'avons pas encore vu que certains coté non premiers peuvent aussi aboutir à une hypothénuse première :

OBS. DE FERMAT livre V question 12 : Le nombre 21 ne peut pas être divisé en fraction en deux carrés, nous pouvons facilement démontrer cela , et plus généralement, que tout nombre dont le tiers n'est pas lui même divisible par trois, ne peut être décomposé en deux carrés , ni entiers ni fractionnaires.

Par exemple 21 n'est pas une hypothénuse mais le coté du triangle 21²+20²=29²

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Patrick Stoltz le 19/02/2009 – dépôt INPI n°: 343319 -

patrick.stoltz@cegetel.net