2³²

2³³

2³⁴

2³⁵

2³⁶

1

En extrapolant le petit théorème de Fermat et la démonstration de Euler de ce théorème (par le principe ci-dessus:)

Pour p (impair), l'on peut logiquement conjecturer:

Exemple:

2⁴ 5 (mod 11)

2⁵ 5*2 (mod 11) => 2⁵ 5*2¹ (mod 11) => 2⁵ 10 (mod 11)

2⁶ 5*2*2 (mod 11) => 2⁶ 5*2² (mod 11)=> 2⁶ 9 (mod 11)

2⁷ 5*2*2*2 (mod 11) => 2⁷ 5*2³ (mod 11)=> 2⁷ 7 (mod 11)

2⁸ 5*2*2*2*2 (mod 11) => 2⁸ 5*2⁴ (mod 11)=> 2⁸ 3 (mod 11)

puisque 2⁴ 5 (mod 11)

2⁸ 5*2⁴ (mod 11) => 2⁸ 5*5 (mod 11)  => 2⁸ 5² (mod 11)

Cas particuliers:

Exemple:

2⁵ 13 (mod 19)

2¹⁵ 13³ (mod 19) => 13³ 12 (mod 11) => 2¹⁵ 12 (mod 11)

Extrapolation par la division modulaire

Exemple:

2⁴ 3 (mod 13)  , => => 27 1 (mod 13)

Trouver un nombre si premier par "découpe" modulaire

Afin de trouver une modularité positive pas trop importante , je choisi l'exposant suivant :

Partie entière de log base 2 de (P) + 1

exemples:

p		b=
7	3	23 1 (mod 7)
13	4	24 3 (mod 13)
19	5	25 13 (mod 19)
37	6	26 27 (mod 37)

Puis je calcule x, nombres de n' contenus dans n^p

donc si:

et par emplacement des valeurs n' et x

exemples:

p		x=
7	3	=2
13	4	=3
19	5	=3
37	6	=6

Exemple:

pour p=7 =>n'=3 , x=2

2³ 1 mod(7) => 2 ^3*2 1² mod(7)

comme 2 ^7-1 1 mod (7) alors 7 est premier

L'on note que dans cet exemple n'.x est = à n-1, ce qui n'est toujours pas le cas!!!

Le reste de la différence de p-n'.x est egale à:

ou

exemple pour p=19: le reste de 19-(5*3)

19 4 (mod 5*3)

si 2 => 2 ^5*3.2⁴ = 2¹⁹

2⁵ 13 mod 19 => 2¹⁹ 13 ³.2^{4 (mod 19)}

13 ³ = 2197 12 (mod 19)

=> 12*16 =192 2 (mod 19)

Conjecture:

selon le petit théorème de Fermat:

si alors P est premier

si

Ce théorème est mis en application sur , génération de nombres premiers quasi instantané!!!

Ce programme montre que pour 341,561,645,1105 ... la réciproque du petit théorème de Fermat ne peut être appliquée...