Préambule des inverses modulaires (mod  N) - introduction des divisions dans les modulos de N

Préambule , objectifs

Les nombres en l'arithmétique modulaire ne disposent que des opérations +,-,* pour des nombres entiers, la division n'étant définie comme impossible , ou éventuellement possible avec un modulo premier, les nombres modulaires ne disposants plus que de l'addition et la soustraction pour les réels.

Pour définir une division modulaire , nous  cherchons en premier à multiplier un inverse ce qui nous permettra de chercher un paramètre au lieu de deux.

Exemple a/b nous oblige à chercher a et b (mod p) alors que a * 1/b nous permet de chercher uniquement b (mod p)

Comme il n'est pas possible de diviser un nombre entier en arithmétique modulaire , il nous est donc impossible de manipuler des équations avec les congruences.

Il nous importe donc de trouver une égalité avec un seul paramètre pour pouvoir manipuler les termes de cette équation avec les 4 opérateurs.

Voir toutes les explications détaillées au chapitre précédent.

Selon mes recherches sur le sujet, à l'heure actuelle, un inverse modulaire est défini par l'égalité suivante :

• ax − 1 = qm ( car m divise ax-1 ) ,ce qui oblige à chercher q et m
• x est un inverse si le négatif de la somme de m est égale à la somme des négatifs de m ou ou 
• Un inverse modulaire est defini par l'égalité 1/a  = a/a² = a²/a³ .... modulo p

Sommaire et liens de l'étude détaillée:

Les 4 fonctions pour les divisions par la recherche de l'inverse d'un nombre entier modulaire (1/n) (chapitre précédent)

Programme de calculs modulaire .

Définition des inverses modulaires , 1/a (mod p) , études de fonctions

• Les définitions

• Le graphs des fonctions

• Les recherches d'égalités entre les fonctions p-1

• La réciprocité des fonctions de type p-1 ,

• La symétrie des fonctions de type p+1

Etude de ces fonctions pour des nombres entiers et rationnels (division modulaire de type b/a (mod p)

Etude des puissances de 1/n (mod p)

     Les Inverse modulaire et racine n^ièmes modulaires

     A quelle puissance faut t'il élever un nombre pourqu'il se termine par ce même nombre? ..... C.A.D 2ⁿ = ......2 , 3ⁿ = .....3 etc

    Les fonctions récurentes de type (p-1)   &

Etude de l'indice k, P.G.C.D. , Coéficient de Bézoud

Etude du petit théorème de Fermat par multiplication/division

Resumé des fonctions

J'ai défini au chapitre précédent 2 fonctions et leurs complèments que je nomerais les fonctions de type "p-1" et les fonctions de type "p+1".

Ces 4 fonctions ont pour but de trouver un inverse modulaire entier < à P de type 1/a

Fonctions des "p - 1" et  leurs équivalents en terme de congruence

Comme p-1  -1 et p-a -a ,l'équivalent de cette fonction est:

ou

L'équivalent est:

Fonctions des "p + 1"

L'équivalent est:

ou

L'équivalent est:

Matrices des a^-1 (de p=7 à p=14)