Les inverses modulaires

Préambule des inverses modulaires (mod  ) - introduction des divisions dans les modulos de

Préambule , objectifs

 

Les nombres en l'arithmétique modulaire ne disposent que des opérations +,-,* pour des nombres entiers, la division n'étant définie comme impossible , ou éventuellement possible avec un modulo premier, les nombres modulaires ne disposants plus que de l'addition et la soustraction pour les réels.

 

Pour définir une division modulaire , nous  cherchons en premier à multiplier un inverse ce qui nous permettra de chercher un paramètre au lieu de deux.

Exemple a/b nous oblige à chercher a et b (mod p) alors que a * 1/b nous permet de chercher uniquement b (mod p)

 

Comme il n'est pas possible de diviser un nombre entier en arithmétique modulaire , il nous est donc impossible de manipuler des équations avec les congruences.

Il nous importe donc de trouver une égalité avec un seul paramètre pour pouvoir manipuler les termes de cette équation avec les 4 opérateurs.

 

Voir toutes les explications détaillées au chapitre précédent.

 

Selon mes recherches sur le sujet, à l'heure actuelle, un inverse modulaire est défini par l'égalité suivante :

  • ax − 1 = qm ( car m divise ax-1 ) ,ce qui oblige à chercher q et m
  • x est un inverse si le négatif de la somme de m est égale à la somme des négatifs de m ou ou 
  • Un inverse modulaire est defini par l'égalité 1/a  = a/a2 = a2/a3 .... modulo p

 

Sommaire et liens de l'étude détaillée:

 

Les 4 fonctions pour les divisions par la recherche de l'inverse d'un nombre entier modulaire (1/n) (chapitre précédent)

Programme de calculs modulaire .

Définition des inverses modulaires , 1/a (mod p) , études de fonctions

Etude de ces fonctions pour des nombres entiers et rationnels (division modulaire de type b/a (mod p)

Etude des puissances de 1/n (mod p)

     Les Inverse modulaire et racine nièmes modulaires

     A quelle puissance faut t'il élever un nombre pourqu'il se termine par ce même nombre? ..... C.A.D 2n = ......2 , 3n = .....3 etc

    Les fonctions récurentes de type (p-1)   &

Etude de l'indice k, P.G.C.D. , Coéficient de Bézoud

Etude du petit théorème de Fermat par multiplication/division

 

Resumé des fonctions

J'ai défini au chapitre précédent 2 fonctions et leurs complèments que je nomerais les fonctions de type "p-1" et les fonctions de type "p+1".

Ces 4 fonctions ont pour but de trouver un inverse modulaire entier < à P de type 1/a

 

Fonctions des "p - 1" et  leurs équivalents en terme de congruence

 

Comme p-1  -1 et p-a -a ,l'équivalent de cette fonction est:

ou

L'équivalent est:

 

 

Fonctions des "p + 1"

 

L'équivalent est:

 

ou

L'équivalent est:

 

 

Nota 1: Selon la topologie des rectangles vu au chapitre précédent, ces équivalences justifieraient l'emploi de quatre fonctions pour définir le même inverse 1/a.

Nota 2: Il est possible , voir probable , qu'il existe d'autres fonctions pour définir un inverse négatif du type -1/a , exemple

Votre réaction

 

Matrices des a-1 (de p=7 à p=14)

 

 

mod 7

mod 8

mod 9

mod 10

1/

type p-1

type p+1

type p-1

type p+1

type p-1

type p+1

type p-1

type p+1

2

6 /5

4

4

27 /5

7 /6

9 /2

9 /2

39 /6

8 /7

5

5

53 /7

9 /8

11 /2

11 /2

69 /8

3

6 /4

5

8 /3

5

7 /5

17 /3

3

31 /5

8 /6

19 /3

10 /3

44 /6

9 /7

7

11 /3

59 /7

4

2

22 /4

2

13 /3

7 /4

25 /4

9 /4

23 /4

8 /5

7

10 /4

7

9 /6

31 /4

11 /4

49 /6

5

3

29 /5

8 /5

3

7 /3

33 /5

9 /5

5

2

37 /5

2

26 /4

9 /5

41 /5

11 /5

39 /5

6

6

6

8 /6

6

7 /2

41 /6

9 /6

7 /2

8 /3

46 /6

10 /6

17 /3

9 /4

51 /6

11 /6

29 /4

7

6

43 /7

8 /7

6

7

7

9 /7

7

4

55 /7

10 /7

4

3

61 /7

11 /7

19 /3

8

7

57 /8

9 /8

7

8

8

10 /8

8

9 /2

71 /8

11 /8

9 /2

9

8

73 /9

10 /9

8

9

9

11 /9

9

10

9

91 /10

11 /10

9

 

 

 

mod 11

mod 12

mod 13

mod 14

 

type p-1

type p+1

type p-1

type p+1

type p-1

type p+1

type p-1

type p+1

2

10 /9

6

6

87 /9

11 /10

13 /2

13 /2

107 /10

12 /11

7

7

129 /11

13 /12

15 /2

15 /2

153 /12

3

10 /8

23 /3

4

76 /8

11 /9

25 /3

13 /3

95 /9

12 /10

9

14 /3

116 /10

13 /11

29 /3

5

139 /11

4

10 /7

34 /4

3

65 /7

11 /8

37 /4

13 /4

83 /8

12 /9

10

14 /4

103 /9

13 /10

43 /4

15 /4

125 /10

5

10 /6

9

12 /5

9

11 /7

49 /5

13 /5

71 /7

12 /8

53 /5

14 /5

90 /8

13 /9

57 /5

3

111 /9

6

2

56 /6

2

43 /5

11 /6

61 /6

13 /6

59 /6

12 /7

11

14 /6

11

13 /8

71 /6

15 /6

97 /8

7

10 /4

67 /7

12 /7

8

11 /5

73 /7

13 /7

47 /5

2

79 /7

2

64 /6

13 /7

85 /7

15 /7

83 /7

8

10 /3

78 /8

12 /8

7

11 /4

85 /8

13 /8

35 /4

12 /5

92 /8

14 /8

51 /5

13 /6

99 /8

15 /8

69 /6

9

5

89 /9

12 /9

5

11 /3

97 /9

13 /9

23 /3

3

105 /9

14 /9

38 /4

13 /5

113 /9

15 /9

11

10

10

10

12 /10

10

11 /2

109 /10

13 /10

11 /2

4

118 /10

14 /10

25 /3

13 /4

127 /10

15 /10

41 /4

11

10

111 /11

12 /11

10

11

11

13 /11

11

6

131 /11

14 /11

6

13 /3

141 /11

15 /11

9

12

11

133 /12

13 /12

11

12

12

14 /12

12

13 /2

155 /12

15 /12

13 /2

13

12

157 /13

14 /13

12

13

13

15 /13

13

14

13

183 /14

15 /14

13

 

Pour visualiser jusqu'à 50 utilisez : Calculatrice modulaire(schemath.com/calc_mod.html)

 

Les inverses modulairesInv modulaire : Etude de fonctionsDiv modulaire: Etudes des rationnelsInv modulaire: Etudes des puissancesDiv modulaire : PCDD-k-BezoudDiv modulaire: Etude Nombres premiers
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Patrick Stoltz le 27/12/2010 – dépôt INPI 390953 290710 du 23/08/2010 publié sur schemath 07/2010

 

pstoltz@shemath.com