Préambule.

Il faut noter que dans cette étude nous obtenons des inverses "primaire" , d'autres inverses (en modifiant k sont possibles).

Exemple: 1/5 5 (mod 24) est aussi une solution pour 1/5 5 (mod 12)  et pour tous les nombres que divisent 24 ... (12,6,4,3...)

Formules générales de k

Selon la définition des classes des nombre modulaires , nous savons que si a r (mod kp)

Mais aussi:

Si a r (mod kp) alors a r (mod k) ou a r (mod p)

Exemple:a=26;p=7;r=5;k=3 => 7 = (26-5)/3 <=> 3 = (26-5)/7

C.A.D si 26 5 (mod 3x7) alors 26 5 (mod 7) et 26 5 (mod 3) CAD 26 2 (mod 3)

L'on note que si r < k ou p  l'image de r ne change pas ( dans l'exemple 5 reste 5 et ne devient pas 2); Dans le cas d'inverses modulaires , le reste ne change jamais (toujours égal à 1) puisque toujours inférieur à p et k

(a-r)/p=k <=> (a-r)/k=p

Exemple:a=26;p=7;r=5;k=3

 7 = (26-5)/3

 3 = (26-5)/7

Formules générales de k et inverses modulaires

Nous avons étudié K dans une forme a*a^-1 1 (mod p) , mais à quoi correspond K (indice de la classe) dans la forme rationnelle  ?.

Selon l'égalité a*a^-1 = kp +1 en divisant par a l'on obtient

.

Exemple:  g_imod(5,11) , image entière,  

Exemple:  f_imod(5,11) , image rationnelle

L'on note aussi que

ce qui implique que dans un système d'inverses modulaires :

si kp+10 (mod a) , par ajout de -1 de chaque coté => kp -1 (mod a)

si a^-1 est une image entière alors kp +1 est divisible par a

PGCD étendu et Coefficient de Bezoud

Les coefficients de Bezoud representent le PGDC étendu d'un nombre sous la forme d'une équation ax + by = pgcd (a,b) voir détails sur PGCD étendus

Si a et b sont premiers entre eux alors ax + by =1. Si x est l'inverse modulaire de a modulo b alors

(a=a,a^-1=x,b=k,p=p)

Ce qui confirme que:

1/Exemple avec des entiers , pgcd entre 33 et 50

(a=33 , p = 50)

Avec la fontion , l'on obtient 1/33 47 (mod 50)

47 x 33 = 1551

Si l'on recherche k par la formule générale

k=(1551-1)/50 ; k= 31

47x33 + (-50x31) = 1

L'indice (-kp)

Pour qu'un inverse modulaire soit considéré comme indice k alors l'inverse modulaire doit etre à -1 ou à -a^-1

Dans l'exemple ci dessus, si l'on recherche 1/50 mod 33 par les inverses modulaires, 50 étant congru à 17 modulo 33 => 1/17 2 mod 33

-2 31 mod 33

Raprochement des coefficients de bezoud et les inverses modulaires

Si l'on assimile la formule de type "p+1", à , alors les coéficients de Bezoud se résument à : Par combien de fois faut t'il multiplier P pour que a^-1 soit entier ?