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Puissances modulo p et inverses modulaires |
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1/Egalité évidente, pour tout p non divisible par a si
Exemple 23 1 (mod 7) , 24 1*2 (mod 7), 25 2*2 (mod 7)...
Voir tableau des modulos de puissances de 2 ci -dessous
2/Les inverses modulaires et les puissances: |
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Exemple spectaculaire:
34 81 (mod 100) ,par gimod(3,100) => 1/3 67 (mod 100) 33 81*67 (mod 100) => 33 5427 (mod 100) => 542727 (mod 100) 32 27*67 (mod 100) => 33 1809 (mod 100) => 1809 9 (mod 100) 31 9*67 (mod 100) => 33 603 (mod 100) => 603 3 (mod 100) 30 3*67 (mod 100) => 30 201 (mod 100) => 201 1 (mod 100) 3-1 1*67 (mod 100) => 3-1 67 (mod 100) L'on note que dans l'expression a b (mod k.p) pour ces puissances k=k*3
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3/ inverses modulaires et fractionsEn considérant l'égalité l'on obtient une nouvelle vision des inverses modulaires
Exemple . ou aussi
Le carré d'un nombre (7² dans l'exemple) peut être représenté par la fraction de ce nombre / inverse modulaire de ce nombre. Inverse modulaire et racine nièmes modulairesGrâce à la double vision d'un nombre (C.A.D une fraction et un nombre entier représenté par a-1) l'om peut extraire modulo n une racine
La racine niéme de a est égal à a 1/n qui est égal à a puissance sa representation entiére d'un inverse modulaire exemple : (125 7 = 476837158203125)
Petite enigme amusante:A quel puissance faut t'il élever un nombre pourqu'il se termine par ce même nombre? ..... C.A.D 2n = ......2 , 3n = .....3 etc
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Lecture de la matrice des puissances de 2
Tableau des restes des puissances de 2 (mod p) par pour open office =MOD(cellule_du_dessus*2;p) L'on observe: Pour les nombres impairs: Soit une série répétitive , Soit des séries répétitive ou unique (et de ce fait les modulos contiennent tout n) Pour les nombres pairs: Si divisible par 4 les modulos "tombent" à 0 Lecture de cette matrice - déplacement (vertical) 2n+1 2n-1
Les Fonctions récurrentes sur fimod(a,p) et les puissances
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[Les inverses modulaires] [Inv modulaire : Etude de fonctions] [Div modulaire: Etudes des rationnels] [Inv modulaire: Etudes des puissances] [Div modulaire : PCDD-k-Bezoud] [Div modulaire: Etude Nombres premiers] Patrick Stoltz le 10/01/2011 – dépôt INPI en cours-
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