Div modulaire: Etudes des rationnels

Soit a , x,b,c < p pour tout p ,

Nous utiliserons pour cette etude la multiplication et addition , car nous n'avons pas encore défini a,x € Q

Matrices des a-1 (de p=5 à p=15)

 

1/a
mod 5
mod 6
mod 7
mod 8
mod 9
mod 10
mod 11
mod 12
mod 13
mod 14
mod 15
1/2
4 /3
3
5 /4
7 /2
6 /5
4
7 /6
9 /2
8 /7
5
9 /8
11 /2
10 /9
6
11 /10
13 /2
12 /11
7
13 /12
15 /2
14 /13
8
1/3
2
11 /3
5 /3
13 /3
6 /4
5
7 /5
17 /3
8 /6
19 /3
9 /7
7
10 /8
23 /3
11 /9
25 /3
12 /10
9
13 /11
29 /3
14 /12
31 /3
1/4
4
4
5 /2
19 /4
2
22 /4
7 /4
25 /4
8 /5
7
9 /6
31 /4
10 /7
34 /4
11 /8
37 /4
12 /9
10
13 /10
43 /4
14 /11
46 /4
1/5
4
21 /5
5
5
3
29 /5
7 /3
33 /5
2
37 /5
9 /5
41 /5
10 /6
9
11 /7
49 /5
12 /8
53 /5
13 /9
57 /5
14 /10
61 /5
1/6


5
31 /6
6
6
7 /2
41 /6
8 /3
46 /6
9 /4
51 /6
2
56 /6
11 /6
61 /6
12 /7
11
13 /8
71 /6
14 /9
76 /6
1/7




6
43 /7
7
7
4
55 /7
3
61 /7
10 /4
67 /7
11 /5
73 /7
2
79 /7
13 /7
85 /7
14 /8
13
1/8






7
57 /8
8
8
9 /2
71 /8
10 /3
78 /8
11 /4
85 /8
12 /5
92 /8
13 /6
99 /8
2
106 /8
1/9








8
73 /9
9
9
5
89 /9
11 /3
97 /9
3
105 /9
13 /5
113 /9
14 /6
121 /9
1/10










9
91 /10
10
10
11 /2
109 /10
4
118 /10
13 /4
127 /10
14 /5
136 /10
1/11






a-1
a-1




10
111 /11
11
11
6
131 /11
13 /3
141 /11
14 /4
151 /11
1/12














11
133 /12
12
12
13 /2
155 /12
14 /3
166 /12
1/13
















12
157 /13
13
13
7
181 /13
1/14


















13
183 /14
14
14
1/15




















14
211 /15

L'on constate

1/la réciprocité des deux fonctions (pour p premier ou non) pour leurs valeurs entières. Exemple 1/7 3 (mod 10) <=> 1/3 7 (mod 10)

2/ pour (p-1) les deux fonctions ont la même image (prouvé au chapitre précédent)

 

Calculatrice modulaire

Trouver des valeurs entières pour a-1

 

fimod((p+1)/2) = 2

(réciproque de la fonction ci contre) P impair

 

 

 

 

gimod(2)=(p+1)/2

 

 

 

Si P est impair alors gimod(2,p) 

 

gimod((p-2)=(p-1)/2

(réciproque de la fonction ci contre) P impair

 

 

 

 

Si P est impair alors fimod(p-2,p) 

 

gimod((p-1)/2)=(p-2)

 

 

 

 

 

 

 

Si P est impair alors gimod((p-1)/2,p) 

 Généralisation de a-1

 

 

f(a,p) et g(a,p) ont pour images deux solutions rationnelles vérifiant la congruence de l'inverse d'un nombre.

(Un inverse modulaire entier n'étant qu'un rationnel divisé par 1)

1/ Rappel a.a-1 congru 1

Dans la démonstration des inverses modulaires nous avions ax 1 (mod p) , x = a-1auquel nous ajoutions (p-1) pour obtenir une égalité.

donc  

 

Si l'image de fimod(a,p) et gimod(a,p) n'est pas un entier alors un inverse modulaire à pour image une nouvelle division modulaire

Si une image d'une fonction est un rationnel alors , selon la réciprocité d'un inverse, il devient une multiplication d'un inverse

 

1/Congruence sur c

si , par multiplication par a de part et d'autre de cette congruence (donc a/a 1 (mod p)  

Si l'on multiplie de part et d'autre de la congruence par a alors les dividendes images de fimod(a) ou gimod(a)  sont congrus au diviseur

Attention : ab est modulo P et non pas modulo c (dans le cas ou c=(p_a)

Exemple:

(3.11+7=40)

de plus l'on note l'image particulière de gimod(a) ou b est directement congru à 1

si , l'expression p(x)+1 est toujours congrue à 1 , et c = a

2/Congruence sur b

par multiplication par c :

si , par multiplication par c de part et d'autre de cette congruence :

exemple:

ce qui par multiplication par a

(4x7 congru 10)

L'on note que comme 1/4 10/7 donc 7*1/4 7*10/7

7/4 est bien congru a 10 par la multiplication des inverses

 

Relation de récurrence sur les divisions modulaires

 

si l'imagefimod(a,p) et gimod(a,p) n'est pas entière alors un inverse modulaire à pour image une nouvelle division modulaire de la forme

 

Recurrence pour fimod(a,p)

Recurrence pour gimod(a,p)

Récurrence 0:

Récurrence 1:                  

(p-(p-a)) = a

Récurrence 2:                

Récurrence 3:                

...

 

L'on peut donc généraliser cette récurrence par:

 

ce qui produit le théorème suivant:

par multiplication par a

 

par la division modulaire et un exposant pair:

 

Récurrence 0:

Récurrence 1:

 

 

 

 

 

 

 

L'on peut donc généraliser cette récurrence par:

 

 

ce qui produit la conjecture suivante:

par la division modulaire:

 

par la division modulaire et un exposant impair:

multiplication par (p-a)

(p-a) = -a

 

par la division modulaire et un exposant impair:

 

Calculatrice modulaire

Les inverses modulairesInv modulaire : Etude de fonctionsDiv modulaire: Etudes des rationnelsInv modulaire: Etudes des puissancesDiv modulaire : PCDD-k-BezoudDiv modulaire: Etude Nombres premiers

 

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Patrick Stoltz le 29/12/2010 – dépôt INPI 404167 040111

pstoltz@shemath.com