Inv modulaire : Etude de fonctions

Nous avons défini précédement que les inverses modulaires étaient définis par deux groupes de fonctions de type p-1 et p+1; Chaque groupe contenant deux fonctions.

Ce chapitre décrit les études de ces fonctions.(liens sur la page inverses modulaires :)

Sur la page ci dessous vous trouverez:

Les définitions

Le graphs des fonctions

Les recherches d'égalités entre les fonctions p-1

La réciprocité des fonctions de type p-1 ,

La symétrie des fonctions de type p+1

Definition

Images de a-1

Comme pour la soustraction où l'opposé d'un nombre modulo p à deux représentations possibles nègative ou positive , par exemple -2 (mod 7) = 5 (mod 7) , les inverses modulaires a-1 ont aussi deux représentation possibles (voir même 3 une autre fraction...) C.A.D  1/a , un autre entier (ou b/c).

Exemple 3-1 (mod 7) à pour représentation 1/3 (mod 7) ou 5 (mod 7) ou voir même 6/4 tel que a-1 x a  1

tel que 1/3 x 3 1 (mod 7) , ou 5 x 3 1 (mod 7) ou voir meme (6 x 3)/4 1 (mod 7) , 18 etant congru à 4 (mod 7)

 

      , (dans un premier temps , j'étudie a<p)

 

l'image: a-1 des fonctions de type "p-1" et "p+1"

 

Rappel:

 

En introduisant a dont on veut connaître l'inverse dans un modulo p , par fimod(a) et gimod(a) , l'on obtient une image x telle que a*x 1 (mod P)

 

Dans la suite de l'étude des inverses modulaire cette image x ENTIERE est aussi notée a-1 parce que 1/a est = à a-1

 

 

 

 

Graph des fonctions de type p-1

Sur l'axe des x = a sur l'axe des y =  image de f(x) et g(x)

Pour (mod 13) , p =13

en bleu (p(a-1)+1)/a en marron (p-1)/(p-a)

Sur l'axe des x = a sur l'axe des y =  image de f(x) et g(x)

Pour (mod 125) p=125

en bleu (p(a-1)+1)/a en marron (p-1)/(p-a)

Nous constatons visuellement que:

1/ Les deux fonctions sont égales à a=1 et a = p-1

2/ Ces deux fonctions semblent réciproques

3/ Entre ces deux valeurs ces fonctions tendent vers un carré.

Graph des fonctions de type p+1

(15+1)/x

(15(15-x-1)-1)/(15-x)

A droite avec les fonctions p-1

(15-1)/(15-x)

(15(x-1)+1)/x

Graph des 4 fonctions

Vous pouvez cliquer sur les zones circulaires pour voir l'égalité des équations

Égalité des deux fonctions fimod (a,p)= gimod (a,p)

 

Egalité entre les deux fonctions de type p-1 ?

suppression de -a , pa(a-1) , passage de -pa(a-1) à gauche de l'égalité

 

factorisation par pa à gauche de l'égalité

 

division par p de tous les termes

 

division par (a-1)

les deux fonctions sont égales si et seulement si a = p-1

 

Une égalité simple entre les fonctions de type P+1 semble être moins simple p(p+1)=p²a-pa²

Egalite entre fimod de type p-1 et de type p+1

 

Etude d'égalités sur a-1 type p-1

 

Le principe de ces recherches d'égalité est de donner une valeur à x et de poser l'égalité entre les deux donctions.

Égalité fimod(1)=gimod(1)

a=1

 

Pour tout P , si a=1, les fonctions fimod(a) et gimod(a) sont égales et ont pour image 1

 

Egalité fimod(p-1)=gimod(p-1)

 

cette égalité à été trouvée précédemment , cela devient donc une vérification

 

a=(p-1)

pour tout P , si a=p-1, les fonctions fimod(p-1) et gimod(p-1) sont égales et ont pout image (p-1)

a.a-1 = 1

 

Nous savons que a.a-1 est congru à 1 modulo p, mais à quoi correspond a.a-1 = 1 ?

 

 

 

pour tout p non nul

si a=1 , P=P

Simplification de a

 

 

pour tout a=

si p=1 , a=a

Réciprocité des deux fonctions de type p-1 par  

Le principe de cette recherche d'égalité est de donner à x la valeur de l'autre fonction de type p-1.

réalisons:

 

 

 

 

 

 

 

 

réalisons

 

 

 

 

 

 

 

Ces deux fonctions sont réciproques pour une valeur entière de a

L'on note que ce sont les deux fonctions qui sont réciproque l'une par rapport à l'autre ; C.A.D que l'on retrouve l'antécedent de l'une avec l'autre avec une valeur entiére.

Nous verrons que cela est différent dans l'introduction des rationnels dans les nombres modulaire (image rationnelle de ces deux fonctions)

 

Symétrie des fonctions de type p+1 par

 

Le principe de cette recherche d'égalité est de donner à x la valeur de la même fonction de type p+1.

 

réalisons:

 

 

 

 

Ces deux fonctions sont symétrique et involutives pour une valeur entière de a

 

Dans ce type de fonction a à pour image le même nombre .

Exemple pour p = 15 , f(4) à pour image 4 C.A.D (15+1)/4=4

 

 

réalisons:

P mis au même dénominateur (p-a)

 

P mis au même dénominateur (p-a)

 

Attention : signe - devant le groupe (p(p-a)-(p+1) = changement de signe

+p(p-a) et - p(p-a) s'annulent

Multiplication par l'inverse de (p+1)/(p-a)

Signe - devant (p-a)

 

 

 

 

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Patrick Stoltz le 28/12/2010 – dépôt INPI 404167-040111

pstoltz@shemath.com