Graph des fonctions de type p-1
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Sur l'axe des x = a sur l'axe des y = image de f(x) et g(x)
Pour (mod 13) , p =13
en bleu (p(a-1)+1)/a en marron (p-1)/(p-a)
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Sur l'axe des x = a sur l'axe des y = image de f(x) et g(x)
Pour (mod 125) p=125
en bleu (p(a-1)+1)/a en marron (p-1)/(p-a)
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Nous constatons visuellement que:
1/ Les deux fonctions sont égales à a=1 et a = p-1
2/ Ces deux fonctions semblent réciproques
3/ Entre ces deux valeurs ces fonctions tendent vers un carré.
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Graph des fonctions de type p+1
(15+1)/x
(15(15-x-1)-1)/(15-x)
A droite avec les fonctions p-1
(15-1)/(15-x)
(15(x-1)+1)/x
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Graph des 4 fonctions
Vous pouvez cliquer sur les zones circulaires pour voir l'égalité des équations
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Égalité des deux fonctions fimod (a,p)= gimod (a,p)
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Egalité entre les deux fonctions de type p-1 ?
suppression de -a , pa(a-1) , passage de -pa(a-1) à gauche de l'égalité
factorisation par pa à gauche de l'égalité
division par p de tous les termes
division par (a-1)
les deux fonctions sont égales si et seulement si a = p-1
Une égalité simple entre les fonctions de type P+1 semble être moins simple p(p+1)=p²a-pa²
Egalite entre fimod de type p-1 et de type p+1
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Etude d'égalités sur a-1 type p-1
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Le principe de ces recherches d'égalité est de donner une valeur à x et de poser l'égalité entre les deux donctions.
Égalité fimod(1)=gimod(1)
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a=1
Pour tout P , si a=1, les fonctions fimod(a) et gimod(a) sont égales et ont pour image 1
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Egalité fimod(p-1)=gimod(p-1)
cette égalité à été trouvée précédemment , cela devient donc une vérification
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a=(p-1)
pour tout P , si a=p-1, les fonctions fimod(p-1) et gimod(p-1) sont égales et ont pout image (p-1)
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a.a-1 = 1
Nous savons que a.a-1 est congru à 1 modulo p, mais à quoi correspond a.a-1 = 1 ?
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pour tout p non nul
si a=1 , P=P
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Simplification de a
pour tout a=
si p=1 , a=a
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Réciprocité des deux fonctions de type p-1 par
Le principe de cette recherche d'égalité est de donner à x la valeur de l'autre fonction de type p-1.
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Ces deux fonctions sont réciproques pour une valeur entière de a
L'on note que ce sont les deux fonctions qui sont réciproque l'une par rapport à l'autre ; C.A.D que l'on retrouve l'antécedent de l'une avec l'autre avec une valeur entiére.
Nous verrons que cela est différent dans l'introduction des rationnels dans les nombres modulaire (image rationnelle de ces deux fonctions)
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Symétrie des fonctions de type p+1 par
Le principe de cette recherche d'égalité est de donner à x la valeur de la même fonction de type p+1.
réalisons:
Ces deux fonctions sont symétrique et involutives pour une valeur entière de a
Dans ce type de fonction a à pour image le même nombre .
Exemple pour p = 15 , f(4) à pour image 4 C.A.D (15+1)/4=4
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réalisons:
P mis au même dénominateur (p-a)
P mis au même dénominateur (p-a)
Attention : signe - devant le groupe (p(p-a)-(p+1) = changement de signe
+p(p-a) et - p(p-a) s'annulent
Multiplication par l'inverse de (p+1)/(p-a)
Signe - devant (p-a)
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