En cours de rédaction

Resumé du chapitre précédent

Dans l'ensemble des nombres entiers il n'existe pas deux ensemble unique de nombres entiers ,pair ou impair, mais quatre sous-ensemble de nombres bien distincts:

Ce principe simple et logique est la base de toutes les théories de Pierre de Fermat

Pour palier à cela Pierre de Fermat choisi donc d'adopter une seule forme pour un nombre impair = 4n+1 ou 4n-1

Exemples : 7 ne peut être représenté que par 4(2)-1 , 13 = 4(3)+1

Chapitre précédent :

Pourquoi se limiter à 4 sous-ensemble ? Si l'on continue dans la séquence : 4n+3 ,4n+4,4n+5  .... l'indice 4,5... de 4n+4 ,4n+5 est supérieur au facteur 4 de n C.A.D 4n+4 = 4(n+1) , 4n+ 5 = 4(n+1) +1 ...

Définition de 4n et 4n+2

Dans le chapitre précédent nous avons défini 4n+1 , 4n-1 mais pas la différence entre 4n et 4n+2 :

Un nombre de la forme 4n est toujours divisible par 4 par contre 4n+2 n'est divisible que par 2

4n + 2 1/2 (mod 4) signifie divisible par 2 et non pas 4 

4n-1 ou 4n+3 ?

Pierre de Fermat évoque dans tous ces écrits la forme 4n-1 au lieu de 4n+3 , par exemple :

Fermat à sa lettre à Roberval : ... j'ai autrefois démontré qu'un nombre moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire (4n-1) n'est ni un carré ni composé de deux carrés ...

Mais cette représentation , même si elle est juste, représente quelques défauts:

Si N =  4(n) -1 alors si n = 0 alors -1 est négatif (la séquence de N commence à zéro C.A.D 4(0) + 0)

Dans la progréssion arithmétique : :

L'indice 0,1,2,-1,0 décroit de 2 à -1 pour de nouveau croître à 0

n r (mod -1) signifie autre chose que le négatif (opposé) de 1 C.A.D -1  (les nombres négatifs faisant leurs apparition en Europe environ à la naissance de Fermat et n'apparaissent pas dans ses écrits)

Par contre il est plus facile de tête de différencier les deux , si N= 4n+1  , on ôte 1 est divisible par 4  , si N=4n-1 , on ajoute 1 est divisible par 4

Exemple 4n-1 : N = 11 , 11 + 1 =12 est divisible par 4 = 4(3) - 1 ; par contre 11-1 = 10 est divisible par 2 et non pas par 4

Exemple 4n+1 : N = 25 , 25-1 = 24 est divisible par 4 = 4(6) + 1 ; par contre 25+1 est divisible par 2 et non pas par 4

4n+1 ou 4n+3

Soit un nombre impair de forme 4n+1 ou 4n+3 représenté par :

Si S = 4n-1 , la différence entre 2n - (2n-1) est aussi = à 1...

En résumé :

Si je retire 1 à un nombre impair , ce nombre est divisible par 4 ou par 2...

Reste juste pour N premier ou non

4n-1 est t'il vraiment égal a 4n+3 ?

Soit la série :

Nous définisons que 4n+2 est un nombre pair compris entre 4n+1 et 4n+3 mais 4n est compris entre quoi et quoi ?

Soit nous considérons que 4n est compris entre 4n-1 et 4n+1 mais , encore une fois, dans le cas où   

N=4(0)-1, N = -1 NEGATIF (d'oû le complément à deux en informatique)

Soit nous poursuivons la série , et définir N en plus de 4 formes ce qui ne me convient pas non plus

Dans cette série l'indice 4 et l'indice 5 deviennent supérieur ou égal au facteur = 4 de n , donc :

(d'oû 3²+4² = 5²)

Nous devons donc définir que c'est 4(n+1) c'est à dire 4n+4 qui est compris entre 4n+3 (= 4(n+1) - 1) et 4n+5 (= 4(n+1) +1)

4(n+1) = 4 si n=0

En résumé : 4n+3 est l'impair suivant l'impair 4n-1 de forme 4n-1 (exemple 7 est l'impair suivant 3 de forme 4(2)-1 )

Il ne faut pas confondre un nombre de FORME 4n-1 et sa valeur 4(n-1)+3 , en clair 4n+3 est l'impair suivant 4n-1 par contre 4(n-1)+3 = 4n-1

Table d'égalité et de comparaison

Pour comparer un nombre impair de forme 4n-1 et 4n+1 alors il faut donner aux deux formes la même valeur (la même classe) :

Et pour convertir un 4n+3 dans sa forme 4n-1 et un 4n+5 en sa forme 4n+1

Exemple :

Résumé

Entre chaque forme équivalente le nombre pair est divisible par 4 et non pas par 2

Multiplication de deux nombres impairs

Multiplication de 2 nombres impairs de même type : (4n+1)² ou (4n-1)²

Soit un nombre impair de la forme 4n+1 ou  4n-1 ou 4n+3 (4n+3 est l'impair suivant 4n-1 )

Dans sa forme (4n+1)² => 4(2n)(2n+1)+1 nous pouvons écrire : 4 fois le produit d'un nombre pair suivi du nombre impair qui le suit + 1 est égal à (4n+1)² . 

Exemple (4(5)+1)² = (2(5)+2(5)+1)² = (10+11)² = 4(10)(11)+1 = 10*44+1 = 441 = 21²

Dans cet exemple l'on note que 21 est un nombre non premier , Notez aussi avec quelle facilité nous pouvons calculer de tête certains carrés

1² => Sous cette forme (+1 x +1) = 1² = (-1 x -1) = 1² , l'incide reste le même

Multiplication de 2 nombres impairs de même type avec la table de conversion : (4n+3)² ou (4n+5)²

Multiplication de 2 nombres impairs de type différents (4n-1)(4n +1)

Soit (4n +1) (4n -1) ou vise-versa

Dans ce cas nous ne pouvons pas différencier +1 x -1 = -(-1x1)² ou -(1x-1)² parce que dans ce cas le plus grand , 4n+1 multiplié par le plus petit 4n-1 est égal a l'inverse ,    (4n -1)(4n+1)

En distribuant 4n-1 dans 4n+1 =>  (4n -1)(4n+1) =  (4n -1)4n + (4n -1)

Plus loin :

Si nous distribuons 4n+1 dans 4n-1 , nous obtiendrons un dilemme:

4n+1x4n + 4n+1 x -1  ou vous posez (4n+1)x4n + (4n+1) x -1 ? dans le premier cas vous obtenez:

4n+1x4n + 4n+1 x -1 =  4²n²+4n + 4n -1 = 4²n²+8n-1  et dans le second:

(4n+1)x4n + (4n+1) x -1 = 4²n²+4n - (4n +1) =  4²n²+4n - 4n -1 = 4²n² - 1

Donc en utilisant la conversion

Extrait de lettres de Fermat

Extrait d'une Lettre de Fermat à Roberval:

Fermat à sa lettre à Roberval : ... j'ai autrefois démontré qu'un nombre moindre de l'unité qu'un multiple du quaternaire (4n-1) n'est ni un carré ni composé de deux carrés ...

...Si un nombre est divisé par le plus grand carré qui le mesure (divise) , et que le quotient se trouve mesuré (divisible) par un nombre premier moindre de l'unité d'un quaternaire (4n-1) , le nombre donné n'est ni un carré, ni composé de deux carrés , ni en entier ni en fractions. Exemple soit donné 84 ; le plus grand carré qui le mesure est 4 , le quotient 21 , lequel est mesuré par 3 ou bien par 7 moindres de l'unité qu'un multiple de 4 (de forme 4n-1) , je dis que 84 n'est ni un carré ni composé de deux carrés , ni en entiers, ni en fractions...

4n-1 n'est pas un carré , la piste du livre5 question 12

Diviser l'unité en deux parties telles que la somme de chaque partie et d'un nombre donné soit un carré.

le nombre donné est 6 , et il faut produire 2 carrés 6+1/2+m et 6+1/2-m...

C'est à partir de cette question que Fermat à élaborer cette nouvelle arithmétique

...Mais voici ce que j'ai découvert depuis sur le sujet de la proposition 12 du livre Véme de Diophante ; en quoi j'ai suppléé ce que Bachet avoue n'avoir su ...

Je reviendrai en détail sur la séparation d'un carré en 2 carrés (descente infinie) , mais je vous en livre le résumé;

donc 4n+1 peut être décomposé en :  

OBS DE FERMAT. Cette limitation est vraie et générale , puisqu'elle exclut tous les nombres inutiles ; il faut que le nombre donné ne soit pas impair et que le quotient de son double , augmenté d'une unité par le plus grand carré qui le mesure , ne puisse être divisé par aucun nombre premier égal à un multiple de 4 diminué de 1