Représentation de N pair

Soit N un nombre entier , soit il est pair soit il est impair; Si il est pair alors nous pouvons le représenter sous la forme 2 fois n C.A.D 2n.

Par exemple 6  = 2*3 ,n= 3 et peut se représenter par 2(3), 12 = 2(6)

Hors, n peut être aussi pair, ce qui signifie que si N est pair alors il est égal à 2*2*2... fois un nombre impair c'est à dire 2^{puissance quelque chose} fois un nombre impair

Exemples:

Dans ce dernier exemple notez que 8 = 8*1 et que 1 est un nombre impair

Progression des nombres entiers

Soit N un nombre impair alors il peut prendre 2 formes : 2n+1 ou 2n-1

par exemple : 11 = 2(5)+1 ou 2(6)-1; Notez que 2n+1 = n+(n+1) , 2n-1 = (n-1) + n

N impair peut aussi être représenté par 2n+1 ou [2(n-1)+1]

Somme des nombres impairs = N²

Si la définition de N² ,la relation de récurrence de la somme des nombres impairs !

c'est à dire: 2(1)-1 + 2(2)-1 + 2(3)-1...2(n)-1 = n²

Cette expression peut être aussi traduite par 2n - 1 = n(n+1)-n = n²+n-n = n²

Exemple : 5² = 2(1)-1 + 2(2)-1 + 2(3)-1 + 2(4)-1 + 2(5)-1 => 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Hors si 5² est le cinquième carré, 2(1)-1 =1² le premier carré est aussi égal à 1 le premier nombre impair

Hors 1² peut être = à [2(1)-1]² mais aussi à [2(1)-1]^p Mais aussi si n = 0 (2n-1)² = (-1)² ...

Donc Fermat défini un nombre et un nombre suivant et non pas un nombre et son précèdent ,2n+1 = n + (n+1)  , notamment :

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre; ...

Détails sur les triangulaires carrés:

Donc il nous faut éliminer 1 de cette séquence. Nous pourrions faire   2n+1 mais dans ce cas ou  2² devient le premier carré ou il faut commencer la séquence à zéro [1=2(0)+1]

exemple 4²:

Cette expression se traduit par: 1+ (n)(n+1) + n = (n+1)² , vérifié par développement  1 + (n²+n) + n = n²+2n+1=(n+1)²

exemple n=3 => 1 + 3(4) + 3 = 1+12+3 = 16 = 4²

Progression arithmétique sans changer la parité de n (n pair ou impair) 

Soit : n² un carré n alors n² + [2(n+0)+1] + [2(n+1)+1] + [2(n+2)+1] ...  [2(n+a)+1] = (n+a)²

Si cette séquence commence par 2² ou 1² ou (-1)² elle reste ,pour le moment, vrai

Exemples:

Dans cette progression si l'on ajoute à n² un seul [2(n+a)+1] ,la parité de n dans (n)² change et si l'on ajoute deux nombres impairs [2(n+a)+1] C.A.D  [2(n+a)+1] + [2(n+a+1)+1] alors la parité de n dans (n)² ne change pas.

Donc si , dans la progression de n²  , l'on le veut pas modifier la parité de n alors:

n²+[2(n)+1]+[2(n+1)+1] = (n+2)² =>n² +(2n+1)+(2n+2+1) = (n+2)² => n²+(2n+1)+(2n+3)=(n+2)²

Exemples:

L'on retrouve cette idée dans le Livre 5 question 7 de Diophante : n²+n+1 = (n-2)²

Trouver deux nombres tels, que si on ajoute leur produits avec la somme des carrés des deux, le résultat un carré.

Solution, Premier nombre 1 , second N, il faut que N² + N + 1² soit un carré. On l'égale à (N-2)² , d'ou N = 3/5

(2n-1) ou (2n+1) ?

A ce stade nous somme à une progression 1, pair ,impair, pair, impair... nous pourrions oublier les impairs 2n-1 mais ce serait une grave erreur ...

Outre [2(0)-1]² = [2(0)+1] , (2n-1)(2n-1) = (2n-1)² et (2n+1)(2n+1) ,  (2n+1)(2n-1) =4n² -1

et aussi:

(2n+1)(2n-1) = (2n+1)[2(n-1)+1] = 4(n-1)n + 2(n-1) + 2n +1 =4(n-1)n + 4n - 1 = 4(n-1)n+4(n-1)+3

Nous y reviendrons...

Voyons maintenant:

Notez que 4n²-4n+1 = 4n² - (4n-1) et 4n²+4n+1 = 4n² + (4n+1)

(2n-1)² = [2(n-1)+1]² = 4(n-1)²+4(n-1)+1 et après factorisation par 4(n-1) = 4(n-1)[(n-1)+4] +1 = 4(n-1)(n+3)+1

Progression 2n-1 => 2n =>2n+1 => 2n+2 => 2n+3

Si l'on considère donc à ce stade que 2n-1 n'est pas égal à 2n+1 alors nous avons ,en fait, N en progression unique :

Progression rapide:

Comme précédemment nous avons regrouper la somme de 2  somme de deux nombres impairs 2n+1 c'est à dire 2n+1+2n+3 = 4n+4 pour sauter vers le carré d'une même parité, alors il faut regrouper 4 nombres impairs consécutifs à ajouter à un carré pour 'sauter' au nombre entier du même 'type'.

C.A.D (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + (2n+7) = 8n+ 16 = 8n+4² donc

Vérification strictement numérique : 1n² + 8n + 4² = 1n² + 2(nx4) + 4²

Pour tout n cette formule reste toujours vraie

Récurrence sur cette formule (introduction de l'arithmétique modulaire dans N)

Puisque de (n)² plus (quelque chose) = (n+4)² alors nous pouvons remplacer n par son 'type' (forme), en arithmétique 'type' se dit forme.

2n ,2n+1,2n+2,2n+3 => 4n , 4n+1, 4n+2 ,4n+3

Puisque dans l'équation, (n) ²+ (8n+4²) = (n+4)²  , n évolue de 4 en 4 et que dans 2n-1 , 2n , 2n+1 , 2n est en commun alors donnons une nouvelle équivalence aux formes de n , c'est à dire un sous ensemble de n

Ce qui donne pour N la progression suivante:

Du point de vue strictement numérique cette série de nombre reste toujours juste mais cela change tout pour l'aspect arithmétique....

Premiers acquis , Petit avant goût

Tous ces points seront développés par la suite en détails...

Différenciation de (2n-1)² et (2n+1)²

En reprenant la formule précédente de (2n-1)² et (2n+1)² = 4n(n+1)+1 nous pouvons maintenant donner un signe à n

Différenciation des formes des nombres pair

Soit les deux formes données maintenant aux nombres pair alors:

Différenciation de -1 et +1 ... (-n)² et (n)²

Ne pas confondre (2n+1)² , (2n-1)² avec [-(2n+1)]² ,  [-(2n-1)]²

Puisque dans 4(0)+1 = 1 alors 4(0)-1 = -1 vérifier par 1-(-1)=2

Ce sujet est au coeur du complément à deux en binaire

Et plus généralement dans la  différence (-n)² et n²

Plus généralement Pierre de Fermat utilisera impair² / 4n+1 ou 4n-1

Ce sujet est au coeur des équations du second degrés...

Différenciation entre 1 et 1^p

Soit 1 = 4/4  alors

1 =  ou   1² = ou 1³ = ...

Ce sujet représente plusieurs pages rédigées par Pierre de Fermat

Et bien plus encore (séparation de l'unité en deux , Z premier = 4n+1; nombres polygonaux...)

Conclusion

Dans l'ensemble des nombres entiers il n'existe pas deux ensemble unique de nombres entiers ,pair ou impair, mais quatre sous-ensemble de nombres bien distincts

Ce principe simple et logique est la base de toutes les théories de Pierre de Fermat

Suite en cours de rédaction...