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Livre V , Question 7 : N² + N + 1 soit un carré
Trouver deux nombres tels, que si on ajoute leur produits avec la somme des carrés des deux, le résultat un carré.
Solution, Premier nombre 1 , second N, il faut que N² + N + 1² soit un carré. On l'égale à (N-2)² , d'ou N = 3/5
 Cette question pose une autre question trés interressante :
Nous avons tous appris que a² + 2ab + b² est un carré égal à (a+b)² mais est ce que a² + ab + b² peut aussi faire un carré?
Pourquoi (N-2)² , pourquoi, en ajoutant N à N² + 1² , égaler à un carré plus petit?
Parce que n²+2n+1 = (n+1)² donc n²+n+ 1 sera un carré plus petit
calcul de N :
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n * 1 = n
Elimination des n² , 1 passe à droite (4-1=3)
-4n passe à gauche =4n + n = 5n
Ce qui donne :
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Vérification :
=
=
Observation :
n²+n+1=(n-2)² = n(n+1)+1 = (n-2)²
Puisque a²-b² = (a+b)(a-b)
n(n+1) = (n-2)²-1 => n(n+1)=(n-1)(n-3)
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Si je multiplie cette équation par 5² nous obtenons :
9+15+25=49 =>7²
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Généralisation de cette formule:
Est t'il possible d'obtenir d'autres nombres tel que x²+ x*y + y² soit un carré ?
Si l'on remplace le 2 de (n-2) par a, l'on obtient
n² s'élimine , +1 à droite
-2na à gauche
Factorisation les termes de gauche par n
Division de a²-1 par (2a+1)
Nota : a doit être > 1 sinon 0/2a+1 serait impossible (d'où le (n-2)² de Diophante)
donc, si je remplace, dans n² + n +1 = (n-a)² ,
n par sa valeur :
mise au même dénominateur :
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Tableau des couples possibles pour x²+xy+y²
| a |
X=a²-1 |
Y=2a+1 |
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| 2 |
3 |
5 |
7 |
| 3 |
8 |
7 |
13 |
| 4 |
15 |
9 |
21 |
| 5 |
24 |
11 |
31 |
| 6 |
35 |
13 |
43 |
| 7 |
48 |
15 |
57 |
| 8 |
63 |
17 |
73 |
| 9 |
80 |
19 |
91 |
| 10 |
99 |
21 |
111 |
La valeur de a est > 1 (pour a=1 le resultat est 3²)
a²-1 = (a+1)(a-1)
La colonne =
a(a+1)+1
X+Y précédents = au X suivant
par exemple 3+5 = 8 , 8+7 = 15 ....
(n-a)²
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Multiplication de chaque terme par (2n+1)²
Si l'on multiplie tous les termes de cette équation par (2n+1)² alors nous obtenons:
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X²+XY+Y² (ou vice-versa Y²*YX*X²)
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X²=
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X*Y
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Y²
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=
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(a²-1)² ou (a-1)(a+1)
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(a-1)(a+1)(2a+1)
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(2a+1)²
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[a(a+1)+1]²
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Et les premières valeurs possibles dans le tableau ci-dessus
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