arithmetica V Q7

En bleu les annotations de Diophante.

En vert les annotations de Fermat.

En bleu marine Emile Brassine

Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvés avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

 

Livre V , Question 7 : N² + N + 1 soit un carré

Trouver deux nombres tels, que si on ajoute leur produits avec la somme des carrés des deux, le résultat un carré.

Solution, Premier nombre 1 , second N, il faut que N² + N + 1² soit un carré. On l'égale à (N-2)² , d'ou N = 3/5

Cette question pose une autre question trés interressante :

Nous avons tous appris que a² + 2ab + b² est un carré égal à (a+b)² mais  est ce que a² + ab + b² peut aussi faire un carré?

Pourquoi (N-2)² , pourquoi, en ajoutant N à N² + 1² , égaler à un carré plus petit?

Parce que n²+2n+1 = (n+1)² donc n²+n+ 1 sera un carré plus petit

calcul de N :

n * 1 = n

Elimination des n² , 1 passe à droite (4-1=3)

-4n passe à gauche =4n + n = 5n

Ce qui donne :

Vérification :

=

=

Observation :

n²+n+1=(n-2)² =  n(n+1)+1 = (n-2)²

Puisque a²-b² = (a+b)(a-b)

n(n+1) = (n-2)²-1 => n(n+1)=(n-1)(n-3)

Si je multiplie cette équation par 5² nous obtenons :

9+15+25=49 =>7²

 

Généralisation de cette formule:

Est t'il possible d'obtenir d'autres nombres tel que x²+ x*y + y² soit un carré ?

Si l'on remplace le 2 de (n-2) par a, l'on obtient

n² s'élimine , +1 à droite

-2na à gauche

Factorisation les termes de gauche par n

Division de a²-1 par (2a+1)

 

 

Nota : a  doit être > 1 sinon 0/2a+1 serait impossible (d'où le (n-2)² de Diophante)

donc, si je remplace, dans n² + n +1 = (n-a)² ,

n par sa valeur  :

 

mise au même dénominateur :

Tableau des couples possibles pour x²+xy+y²

a X=a²-1 Y=2a+1

2 3 5 7
3 8 7 13
4 15 9 21
5 24 11 31
6 35 13 43
7 48 15 57
8 63 17 73
9 80 19 91
10 99 21 111

La valeur de a est > 1 (pour a=1 le resultat est 3²)

a²-1 = (a+1)(a-1)

La colonne =

a(a+1)+1

X+Y précédents = au X suivant

par exemple 3+5 = 8 , 8+7 = 15 ....

(n-a)²

Multiplication de chaque terme par (2n+1)²

Si l'on multiplie tous les termes de cette équation par (2n+1)² alors nous obtenons:

X²+XY+Y² (ou vice-versa Y²*YX*X²)

X²=

X*Y

  =

(a²-1)² ou (a-1)(a+1)

(a-1)(a+1)(2a+1)

(2a+1)²

[a(a+1)+1]²

Et les premières valeurs possibles dans le tableau ci-dessus

 

 

L'arithmetica DiophanteTutorielsBonusContact & Réseaux