Pour générer un triangle rectangle nous pouvons utiliser l'equation de Diophante :
Nota: (x²-y²)² = [(x+y)(x-y)]² = (SD)²
Si nous prenons x et y pair alors nous obtiendons pair² + pair² = pair² que nous pourons donc diviser par 4 , puis par 4 pour finalement obtenir un impair²+pair²=impair ² . (2xy sera toujours pair)
Exemple: x=8 y=10 => (10²-8²)² + (2*10*8)² = (10²+8²)² => 36² + 160² = 164²
diviser par 4 = 18²+80²=82² . Divisé par 4 = 9²+40²=41²
En remplaçant donc x et y par une valeur paire et une autre impaire... (et une calculatrice) nous obtenons directement impair²+pair²=impair² :
(S*D)² + 4x²y² = Z²
Exemples : x=2 y=3 => (3²-2²)² + (2*3*2)² =(3²+2²)² => 5² + 12² = 13²
(3²-2²)² = [(3+2)(3-2)]² = (S*D)²
S=somme de 2 nombres entiers
D= Différence de 2 nombres entiers
4 est un carré = 2²
Une hypoténuse :
1Z=x²+y²
Générer une hypoténuse à partir de 2 nombres impairs
Si dans la formule de Diophante nous utilisons pour x et y deux valeurs impaires :
Alors nous pouvons considérer que la plus grande de ces deux valeurs est une Somme de deux nombres et que la plus petite est la Différence de ces deux mêmes nombres C.A.D x=S et y=D:
S² - D²= (x'+y')²-(x'-y')² = [ (x'+y' + x'-y')(x'+y' - (x'-y') ) ] = 2x'2y' = 4x'y'
S²+D² = (2Z)² = 4Z² = (2x'²+2y'²)² = 4(x'²+y'²)²
Exemples : avec x et y impairs tout les deux et donc considerés comme une somme et une différence de 2 autres nombres entiers x' et y'
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X²-Y²=(x+y)(x-y)
S=x+y D=x-y
D positif si x > y
S et D impairs
Deux hypoténuses :
2Z = S²+D² = 2x²+2y²
|
x=S= |
y=D= |
x'=(S+D)/2 |
y'=(S-D)/2 |
(2x'2y')² |
(2SD)² |
(S²+D²)²=(2Z)² |
4Z²=4(x²+y²)² |
|
7 |
3 |
7+3/2=5 |
7-3/2=2 |
(2*5*2*2)²= 40² + |
(2*7*3)²= 42² |
(7²+3²)²= = (2*29)² |
=4(5²+2²)² =4(29)² |
|
13 |
1 |
13+1/2=7 |
13-1/2=6 |
(2*7*2*6)²= 168² = (4*42)² |
(2*13*1)²= 26² |
(13²+1²)²= (2*85)² |
=4(7²+6²)² =10(17)² |
|
5 |
3 |
5+3/2=4 |
5-3/2=1 |
(2*4*2*1)²= 16² = (4*4)² |
(2*5*3)²= 30² |
(5²+3²)²= (2*17)² |
=4(4²+1²)² =4(17)² |
|
21 |
15 |
21+15/2=18 |
21-15/2=3 |
4²(18*3)²= 4²(54)² |
(2*21*15)²= 4(315)² |
(21²+15²)² 3²(7²+5²)² |
=4(18²+3²)²= 4(333)² |
(2SD)² = S et D impairs donc (2SD)² n'est divisible que par 4
(2Z)² = Z impair (parce que S et D impairs S² et D² impairs ) donc 4Z² n'est divisible que par 4
(2x'2y')² = (4x'y')² = 4²(x'y')²
En utilisant dans la formule de Diophante 2 nombres impairs nous serons sûr que x' ou y' sera impair
Division par 4
soit 
divisé par 4 alors:
Z²=4(x'y')² + SD²=Z²
Divisibilité d'un triplet pythagoricien par 3
Un autre avantage d'utiliser 2 nombres impairs dans la formule de diophante et d'en déduire aussi une divisibibite par 3
Observation de Fermat : 21 n'est pas une hypothenuse parce que le tiers de 21 n'est pas divisiblue par 2
Nous pouvons dors et déjà affirmer que dans n'importe quel triplet pythagoricien (premier?) au moins un des 2 cotés est DIVISIBLE PAR 3
Soit SD = (X+Y)(X-Y) =X²-Y² si S et D non divisible par 3 alors X ou Y sera divisible par 3
Si S ou D divisible par 3 alors 2x=(S+D) ET 2y=(S-D) seront NON DIVISIBLE PAR 3
Exemples : 3²+4²=5² , 5² + 12² = 13² , 39²+52²=65² , 20²+21² = 29² ....
Voir démo dans le chapitre divisibilité de SD
