L'équation de Diophante (x²+y²)²=(x²-y²)²+4x²y²

L'équation 4xy=(x+y)²-(x-y)²

Dans le Livre I question 30 , Diophante utilise l'équation:     

qui est aussi égale à :   que l'on peut énoncer par:

 

4 fois le produit de deux nombres est égal à la somme de ces deux nombres au carré moins la différence de ces deux nombres au carré

 

Vidéo sur le sujet :

L'équation de Diophante (x²+y²)²= (x²-y²)² + 4x²y²

Dans le Livre III question 22 relative aux hypoténuses E.Brassine nous explique :

Une formule générale sans cesse employée par Diophante est : (x²-y²)²+(2xy)²=(x²+y²)² ...

 

Cette formule lui permettait (et permet toujours) de "générer" n'importe quelle hypoténuse entière; Mais en l'état la formule (x²-y²)²+(2xy)²=(x²+y²)² est une conjecture pas un théorème...

 

Exemple

Equation de Diophante (x²+y²)² = (x²-y²)²+4x²y²

Prenons x=3 y = 2

(3²-2²)² + (2*3*2)² = (3²+2²)²

5²+12²=13²

Rappel

Nous avions vu dans le tutos sur les hypoténuses que:

La somme de deux carrés = une surface Z qui est soit un carré , soit un rectangle:

Le coté de cette surface Z mesure :

Si la surface Z est un rectangle racine de Zest un réel (et donc inconnu de Fermat et diophante)

Si la surface Z est un carré racine de Z=z' , le coté du carré Z, est un entier (ou une fraction)

Et cela suppose que z'²-base² = hauteur² et est un carré ,et vice versa.

Pour plus de commodité je noterai : base²+hauteur²= Z² , Z = le coté de Z²

 

Schéma n°1

Exemple : base = 52 , hauteur 39

52²+39² = 4225 = 65² , z' = 65

Z²=(x²+y²)²

Examinons la Formule de Diophante :

Equation de Diophante (x²+y²)² = (x²-y²)²+4x²y²

Et plus particulièrement .... = (x²+y²)²  

 

Par cette formule Diophante sous entend que Z² est en fait composé de deux autres carrés que nous appellerons x² et y² , c'est à dire Z² = (x²+y²)² et que le coté Z serait donc lui même composé de 2 carrés = x²+y².

C'est le principe même de la descente infinie et je vais l'utiliser , comme Fermat la décrit dans sa note du Livre VI question 20

 

Si l'aire d'un triangle ETAIT un carré , on donnerait deux quatrièmes puissances dont la différence serait un carré.

 

Schéma n°2

Les cotés des 3 carrés jaunes = Z,ht,base sont des entiers (ou des fractions)

L'aire du triangle rouge du Schéma n°2 est base*ht /2 , Fermat se demande si cette surface est un possible carré , c'est à dire (b²h²)/2² est possible.

Puisque Z²-H²=B² ou Z²-B²=H² ,il pose : Z4 - H4 est t'il égal à B4 , (ou Z4-B4=H4) ce qui donnerait l'aire h²b² (divisible par 4)

 

Soit l'identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b) si a=z² et b=h² alors (selon schema N°3 Z4-h4)

 

Le premier facteur de (z²+h²)(z²-h²) , (z²+h²) est aussi égal à (z²-h²+2h²) donc:

 

Hors nous connaissons la valeur de Z²-h² = b² (puisque b²+h²=Z²) donc

 

Si nous distribuons b² alors :

 

Si Z4 - h4 = b4 + 2h2b2 alors (-h4 à gauche devient +h4 à droite de l'expression) Z4 = b4 + 2h2b2+h4

 

Soit l'identité remarquable x²+2xy+y²=(x+y)² si x=b² et y=h²

 

Schéma n°3

Schéma n°4 Z4- h4

Descente infinie

Z4=b4+2h2b2+h4

Selon le schema N°5  nous obtenons exactement le même résultat si nous faisons Z4 - b4

conclusions:

fleche_animee Si b²+h² EST un carré alors z4=(b²+h²)2  , cette surface = b4+h4 + 2b2h2 et non pas Z4=b4+h4,tout seul

Par exemple 12²+5²=13² donc 134=(12²+5²)² = 124+54+2*12252

 

Sur le schema N°4  Z²=h²+ b² , b² est le coté du rectangle b²x(b²+2h²) , b²x(b²+2h²) N'EST PAS UN CARRE

 

Sur le schema N°5  Z²=b² +h² , h² est le coté du rectangle h²x(h²+2b²) , h²x(h²+2b²) N'EST PAS UN CARRE

 

 

Schéma n°5 Z4-b4

fleche_animee Si b²+h² N'EST PAS un carré alors Z2=(d²+b²)2,la somme de 2 AUTRES CARRES

Par exemple 5²+2²=29 donc 29²=(5²+2²)² => 54 + 2*5²2² + 24 = 625+200+16=29²

fleche_animee Dans tous les cas Z4 - h4 , Z2- h4 ,ou Z4 - b4 , Z2- b4 ne sont pas des carrés

Schéma n°6 : Z4 = b4+2(b2h2)+h4

Principe de la descente infinie de Pierre de Fermat

Descente infinie 4

 

Comment celà est t'il possible ?

Sur le schéma N°6  on s'aperçoit que la longueur des cotés de h4 et b4 , h² et b² sont plus grands que la longueur z² !!!!

Pourtant, si h²=5² et b² = 12², z² devrait mesurer 25+144 = 169 = 13²

 

Tout simplement parce que Z4 est un parallélépipède rectangle d'EPAISSEUR DIFFERENTE

 

En fait , sur le schéma N°6  nous remettons à plat le volume z4 en un carré de surface = h4 + b4 + 2 x h² x b² de même épaisseur

Exemple avec Z2=(d²+b²)2

Soit le célèbre carré 3²+4²=5² n sur le schéma N°2 ci dessous:

Z²=5² , ht=3 base=4 : la longueur Z=5 et NON PAS 3+4 = 7 parce que 5² = la somme de deux AUTRES carrés 2²+1² et Z² = 24+14 + 2*2²1² = 16+1+8=25=5²

Z²=(b²-h²)²+4b²h²

Puisse que (b²+h²)²-b² ou (b²+h²)² -h² he sont pas des carrés , essayons de proposer à ht² et base² de nouvelles valeurs.

Si B²>H² alors:

remettons un peu d'ordre:

Factorisation du deuxième terme par 4h²

b²-h²+h²=b²

Ainsi nous obtenons Z² = la somme de 2 carrés : (b²-h²)² et 4h²b² dont les cotés égalent  b²-h² et 2hb

 

 

Schéma n°2

Z²=(b²+h²)²

Ht² = (b²-h²)² ou 4h²b²

Base² = 4h²b² ou (b²-h²)²

Si x²+y² est un carré alors x²=b² , y²=h² sinon x²=d² , y²=b²

 

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