somme difference N

Une des bases de l'étude des nombres de l'Arithmética de Diophante (question 30 du livre 1) est la somme et la difference de 2 nombres  , la somme et la différence de 2 carrés etc etc...

Somme et différence de deux nombres

S est la somme de 2 nombres : X et Y et D leurs différence

S=(x+y) et D=(x-y)

 S+D=(x+y)+(x-y)

S-D=(x+y)-(x-y)

S+D=x+y+x-y

les "Y" s"annulent

S+D=2x

S-D=x+y-x+y

les "X" s"annulent

S-D=2y

Exemple : 13 est une somme de 2 nombres S  ; 3 est une difference de 2 nombres D

X=(13+3)/2 = 8 : Y=(13-3)/2 = 5

vérification:

S=X+Y=8+5 = 13 , D=X-Y = 8-5=3

Autre exemple 15 est une somme S ; 6 est une différence D

S=15 et D = 6 : X = 21/2 et Y = 9/2 , S=X+Y = 21/2+9/2 = 30/2 = 15 , D=X-Y = 21/2-9/2 = 12*2 = 6

SxD=(x+y)(x-y)

Soit SxD = (x+y)(x-y) = x²-y²; x=(S+D)/2 et y = (S-D)/2

par exemple (7)(3)=21 ; x=(7+3)/2 = 5 ; y = (7-3)/2 =>

7*3 = (5+2)(5-2)=5²-2²=21

SxD =(x+y)(x-y) = x²-y² pour trouver la valeur de x nous devons appliquer x=(S+D)/2 et y = (S-D)/2 donc:

Rappel

 

a²-b²=(a+b)(a-b)

=> SD=X²-Y²

Nous notons aussi que:

S+D > S-D

S-D est toujours positif

Donc Y est toujours plus petit que X ; SD = X²-Y² et Y²< X²

Le produit de la somme et la différence de deux nombres est égal au carré du plus grand de ces 2 nombres au carré moins le plus petit au carré

Et aussi

Tout nombre N = SD est compris entre deux carrés entiers ou fractionnaires

Exemple N=90 =  S=15 et D = 6  : X = (21/2)²(Y = 9/2)²  

SD + Y² = X²

Puisque SxD = (x+y)(x-y) = x²-y² (et que y<x) donc SxD = (x+y)(x-y) + y² = x²

Exemple : 5 = SD = 5*1 , y sera égal à 2 c'est à dire (5-1)/2 d'où l'on déduit que 5*1 + 2² = 3²

Nous pouvons vérifier que x = (S+D)/2 = (5+1)/2 = 3

Autre exemple : SxD = 5*2 => y=(5-2)/2 = 3/2 => S*D=10 + (3/2)² = 7²/2² est un carré x²

Nous pouvons vérifier que x = (S+D)/2 = (5+2)/2 = 7/2 ; S=x+y = 7/2+3/2 = 5 D= 7/2-3/2=2

SD + 2Y² = X²+Y²=Z

Puisque SxD = (x+y)(x-y) = x²-y² donc SxD = (x+y)(x-y) + 2y² = x²+y²

Exemple   : 5 = SD = 5*1 , 5*1 + 2*2² = 3²+2²=13

Exemple   : 21 = SD = 3*7 = y sera égal à 2 c'est à dire (7-3)/2 d'où l'on déduit que 3*7 + 2*2² = 5²+2² = 29

Rappel : Z est une somme de deux carrés dont l'hypoténuse =

Divisibilité de SD

S et D non divisible par 3

Soit SD = (X+Y)(X-Y) =X²-Y² si S et D non divisible par 3 alors X ou Y sera divisible par 3

Démonstration:

Soit N un nombre entier alors je peux l'exprimer sous la forme 3n , 3n+1 ou 3n+2  ; Exemple : 7 = 3(2)+1

SxD

(3a+1)(3b+1)

(3a+1)(3b+2)

(3a+2)(3b+2)

2x=(S+D)

3(a+b)+2

2 (mod 3)

3(a+b)+3

0 (mod 3)

3(a+b)+4

1 (mod 3)

2y=(S-D)

3(a-b)+0

0 (mod 3)

3(a-b)+1

1 (mod 3)

3(a-b)+0

0 (mod 3)

Exemples :

SxD

 4*7

1*19

 4*5

1*11

 5*11

2*17

2x=(S+D)

4+7;1+19

112 (mod 3)

202 (mod 3)

9 0 (mod 3)

12 0 (mod 3)

16 1 (mod 3)

19 1 (mod 3)

2y=(S-D)

7-4;19-1

3 0 (mod 3)

18 0 (mod 3)

1 1 (mod 3)

10 1 (mod 3)

6 0 (mod 3)

15 0 (mod 3)

Que signifie :

 N 0 (mod p)

Si nous divisons N par p le reste de la division EUCLIDIENNE est 0

exemples:

le reste de 12 / 3 = 0 ,

sera noté : 12 0 (mod 3)

le reste de 11 / 3 = 2 ,

sera noté : 11 2 (mod 3)

(9+2=11)

ou 11 -1 (mod 3)

(11=12-1)

Dans l'arithmétique modu-laire seul le reste compte

Plus de précisions sur:

S et D divisible par 3 :

Si S et D est divisible par 3 alors il existe FORCEMENT un autre produit où S ou D n'est pas divisible par 3

soit 3x*3y = 3*3*x*y = 3²xy que l'on peut étendre à : 3ax*3by = 3(a+b)xy => 3(a+b)x 0 (mod 3)

Exemples :

SxD

3*6 = 9*2 = 18

3*36 = 3*9*4 = 27*4

3132*4=33*4

81=34*1

2x=(S+D)

9+2 = 11

3(3)+2  2 (mod 3)

27+4 = 31

3(9)+3(1)+11 (mod 3)

81+1=82

3(27)+3(0)+11 (mod 3)

2y=(S-D)

9-2 = 7

3(2)+2  1 (mod 3)

27-4 = 23

3(9)-[3(1)+1] -1 (mod 3)

81-1=80

3(27)-3(0)+1-1 (mod 3)

S ou D divisible par 3 :

Si S ou D divisible par 3 alors 2x=(S+D) ET 2y=(S-D) seront NON DIVISIBLE PAR 3

Si 3(a)[3(b)+1] ou 3(a)[3(b)+2] alors 2x= 3(a)+[3(b)+1] ou 3(a) + [3(b)+2] et 2y =  3(a)-[3(b)+1] ou 3(a) - [3(b)+2]    (voir exemples ci-dessus)

2x2y = S²-D² =(S+D)(S-D)

Dans ce chapitre nous traitons de l'inverse de 4SD=x²-y² C.A.D 4xy = S²-D²

Dans le Livre I question 30 , Diophante utilise l'équation:     

qui est aussi égale à :  4xy=(x+y)²-(y-y)² = S²-D² que l'on peut énoncer par:

4 fois le produit de deux nombres est égal à la somme de ces deux nombres au carré moins la différence de ces deux nombres au carré

Rappel : (S+D)=2x et (S-D)=2y donc (S+D)(S-D)=2x*2y

Vérification:

suppression de la parenthèse

Détails:

 

Vidéo sur le sujet :

 

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