L'Axiome de Diophante (*)

A partir de bon nombres de question de l'Arithmética et plus particulièrement de la question 30 du livre 1 , j'en ai extrait une autre question plus simple , qui aurait du être la première question.

(*)Axiome : Equation tellement evidente qu'elle n'a pas besoin d'être prouvée

Livre 1 question 0

On donne une somme et une différence de deux nombres, trouver ces 2 nombres

Exemple: Si je vous donne 13 est une somme de deux nombres et 5 une différence de ces deux même nombres alors :

13 = (9+4) et 5 = (9-4)

Livre 1 Question 30

On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres.

Comment trouver ces deux nombres ?

Soit S = une somme et D une différence il existe un nombre A = S+D et B = S -D

Dans notre exemple: S=13 , D=5 donc A=13+5 = 18 et B=13-5 = 8

S=(x+y) et D=(x-y)
A=S+D	B=S-D
A=(x+y)+(x-y)	B=(x+y)-(x-y)

Trouver X et Y

Trouver X

Trouver Y

A = S+D = (x+y)+(x-y)

Enlevons les parenthèses

S+D=x+y+x-y

les "Y" s"annulent

x + x = 2x

S+D=2x

B = S-D = (x+y)-(x-y)

Enlevons les parenthèses

S-D=x+y-x+y

les "X" s"annulent

y + y = 2y

S-D=2y

ou 2x = S+D

ou 2y=S-D

Donc si je reprend mon exemple 13 une somme, 5 une différence alors : X=(13+5)/2 = 9 ,Y(13-5)/2 = 4

Autre exemple : 5 est une somme 4 une différence : x=9/2 y=1/2 => S=(9/2+1/2)/2=5 D= (9/2-1/2)/2=4

L'axiome de Diophante

A partir de la question 0 l'on s'aperçoit que l'on peut affirmer que:

Tout nombre entier > 2 est composé d'au moins une somme S entière + une différence D entière.

=S+D

S est la somme de 2 nombres : x+y

D est la différence de ces 2 MEME nombres : x-y

donc : formule sur N l'axiome de Dophante

important :

D 0 si x<>y

Pourquoi N>2

Si N=1 alors x=y=1/2

N= S+D

S= (1/2 + 1/2) + D = 1+0

SI N=2 alors x=y=1

N= S+D

S=(1+1) + (1-1) = 2+0

Exemples

4=3+1

x=(3+1)/2 =2 y=(3-1)/2=1

4=(2+1)+(2-1)

13=9+4

X=13/2 Y=5/2