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En bleu les annotations de Diophante.

sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvées

Cette question n'a pas été annotée par Pierre de Fermat, mais l'équation abordée, , étant trés similaire à l'équation du Livre IV,Question I et II (Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée) nous détaillerons néanmoins cette question fondamentale dans l'ordre:

Livre I Question XXX On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres

On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres.

Solution. Soit p la somme des deux nombres, q leur produit. Diophante prend pour inconnue x, différence de deux nombres, et il remarque que le produit donné , d'où il déduit x. En général, Diopante ramène l'équation du second degré à la forme x²=k (1) : et pour cet effet , il fait constamment usage de cette relation algébrique qu'il énonce sur des nombres particuliers :

Cette équation est aussi égale à : que l'on peut énoncer ainsi

Théorème :

4 fois le produit de deux nombres est égale a la somme de ces deux nombres au carré moins la différence de ces deux nombres au carré

L'on peut démontrer cet équation deux deux manières différentes en utilisant les deux identités remarquables:

(a+b)²=a²+2ab+b² et (a-b)²=a²-2ab+b²

Les a² et b² disparraissent:

a²-b²=(a+b)(a-b)

Si a = (a+b) et b = (a-b) :

Cette équation permet de faire le lien entre les deux identités remarquables...

Réduction de cette équation du second degrés au premier degrés

Amusons nous avec le problème de Diophante ... Quel sont les deux nombres dont la somme est 13 et le produit et 30 ?

(Rappel x est égal à la différence des deux nombres)

Oui mais à ce point nous ne sommes pas forcement plus avancé, celà nous ramenne à connaitre la somme des deux nombres (13 dans l'exemple) et la difference des deux nombres c'est à dire 7 .....

Ce qui nous ammene à poser à quoi est égal ? C'est à dire (a+b)=13 - (a-b)= 7 ? Vous allez me répondre 6 ... Mais que représente 6?

Donc, si (13) - (7) = 6 , alors 2b = 6, b=3 et il nous est maintenant facile de déduire a = 10..(13-3=10)

"L'axiome de Diophante" :

Axiome : Equation tellement evidente qu'elle n'a pas besion d'ètre prouvée

Dans ce qui suit, je n'ai pas trouvé literallement les écrits correspondants, mais ce qui suit est issu de l'étude du livre III question XXII , des nombres rationnels largements utilisés par les mathématiciens dés Euclide (il ne connaissaient pas bien sur les nombres rééels) et les ecrits de Fermat dans son Opera Varii.Par la suite , je nommerai cette équation "L'axiome de Diophante"

Dans cet axiome qui parait très anodin (utilisant une règle simple des négatifs -(4-5) = -4+5) , peut importe la valeur de a , le deuxième terme sera toujours égal à son double:

Exemple: (10+3) - (10-3) = 13-7 = 6 ; (1000+3)-(1000-3)=1003-997 = 6 ...

Si l'on remplace a par 0 ,un modulo, ou l'infini cette équation reste toujours vrai , dans cette équation a est plus qu'une lettre dans une équation.

Exemple si j'écrit x+4 = 10 , x n'a qu'une image -> 6 ; par contre dans , x peut être n'importe quoi ... ce qui permet en fait d'écrire :

Exemple ou ou , 6 est considéré comme l'écart entre 3 et -3.

Si si nous multiplions les deux égalités par (nous remplaçons 1 par ) nous obtenons

Cette équation à deux images et

Exemple ,

Par définition, cette équation ne peut pas être une fonction... mais c'est la clef de l'informatique d'aujourd'hui... Dans un ordinateur , l'infini n'existant pas, l'on à recours au complément à deux ,(0+1)-(0-1)=2, pour définir l'infini et varier b pour varier la précision d'un nombre ...

Axiome de Diophante et arithmetique modulaire

Dans l'équation : a = a et peut ètre n'importe quel nombre et peut donc ètre remplacé par mod p

C'est la base de l'arithmétique modulaire et surtout de la soustraction modulaire

Exemple : peut importe l'heure , k heure + 5 - (k heure -5) = 10 minutes .

Division de (a+b)-(a-b)=2b par b

Les mathématiciens de l'antiquité (comme nous le prouve la définition du nombre d'or par Euclide IIIéme siècle AV J.C) faisaient la "raison" des nombres (le rapport d'une une unité sur une autre) ce qui abouti aux nombres rationnels.

Si nous divisons par b.... il se produit un événement qui sort du cadre des mathématiques...

Si nous divisons les deux termes de l'équation , la relation reste vrai ,égale à 2.

Si nous divisons b par b , la relation reste encore vrai (ce qui est déjà plus curieux) encore égale à 2.

Si nous divisons par b la relation devient fausse, elle reste égale à 2b.

et surtout

Il serait plus juste mathématiquement de remplacer par

Exemple si je prend une simple fraction :

Si par contre , je divise une seule des deux fractions le résultat ne sera pas le même : et tout deux différents de 5.

Si je prend maintenant "l'axiome de Diophante" avec 12 et 3 :

Je divise donc par 3 les deux termes :

Si par contre je divise seulement 12 :

Et si je divise seulement 3 :

Le 0 devient un nombre:

Dans la vidéo ci contre outre l'écart de 2 à chaque marche, si je me situe entre la marche -1 et +1 alors la marche 0 à une réalité physique differente de rien.

Si nous supprimont la marche numéro 0 ,si je me trouve au rez de chaussée alors je me trouverai sur la marche -1!!!!

Dans un ascensseur le bouton 0 existe , c'est le rez de chaussée.

Donc cet écart de 2 existe même entre le rez de chaussé (0) , la première marche (+1) et la première marche de la cave (-1)

En binaire,le 0 à aussi un état physique: C'est le complèment à un.

Vidéo (YouTubes) introduction à l'axiome de Diophante

Si le zéro à l'espace d'une unité alors le mécanisme de numérotation n'est plus le même: , l'espace des nombres devient

Complément d'information sur la page l'arithmétique modulaire

Vidéo youtubes suite

Axiome de Diophante et nombre d'or

Dans son "éléments de géométrie" , Euclide à défini le nombre d'or comme étant le rapport (la raison) de , qui abouti en faisant le produit en croix à

, l'une des solutions de cette équation du second degrés est : .

Faisons exactement la même chose avec "l'axiome de Diophante"

Je trouve remarquable de trouver directement, par "l'axiome de Diophante" une valeur à x sans résolution du second degrés..

Remplaçons x par sa valeur

Ces deux nombres sont bien égaux (=1.6180....)

Appliquons le produit en croix pour vérifier:

L'inverse du nombre d'or

Si x= y alors x/y = 1 ou y/x =1 donc:

Cet équation resemble beaucoup à la version simplifiée de l'équation de la résolution d'une équation du second degrés....

(1) Source : Le nombre d'or par Fernando Combalan Collection le monde est mathématique

Opposé du nombre d'or

si x=y alors x-y=0

Mais aussi (Fermat utilise cet artifice dans le livre iV question 1et2)

Cette section est à approfondir, vous pouvez me laisser vos commentaires sur pstoltz@schemath.com

Démonstration du nombre d'or

Inverse du nombre d'or par Fermat

Si la solution du nombre d'or n(n-1) = 1 est parce que nous avons utilisé la relation 4(2n)(2n-1)+1 = (4n-1)² , Fermat nous donne une autre solution pour un carré impair :4(2n)(2n+1)+1 = (4n+1)² .Nous pouvons donc aussi chercher n(n+1)=1

Soit x(x+1)=1 remplaçons x par 2n

4(2n)(2n+1)+1 = (4n+1)²

Vérification , (x)(x+1)=1 , x = 2n =

(a+b)(a-b)=a²-b²

Cette 2em valeur est l'inverse de la première x =1

Plus de détails sur Fermat_clef n°3

L'équation fondamentale

Nous allons observer dans ce chapitre si les mécanismes de divisions s'appliquent aussi dans cette équation

Division de (a+b)²-(a-b)²=4ab par b ou a

Si l'on divise par b, et non pas par b² l'on obtient une conjecture trés surprenante ,

ce qui reste néanmoins logique puisque le premier terme égale le second, mais néanmoins surprenant car la division porte sur le +b et -b au lieu de (a+b) et (a-b)

Ci dessous, dans quelques tableaux, le mécanisme de cette équation (Formules données pour Open Office):

	Formule =(PUISSANCE($A3+B$2;2)-PUISSANCE($A3-B$2;2))
	b=1	b=2	b=3	b=4	b=5	b=6	b=7
a=2	8	16	24	32	40	48	56
a=3	12	24	36	48	60	72	84
...4	16	32	48	64	80	96	112
5	20	40	60	80	100	120	140
6	24	48	72	96	120	144	168
7	28	56	84	112	140	168	196
8	32	64	96	128	160	192	224
9	36	72	108	144	180	216	252
10	40	80	120	160	200	240	280

La première colonne ,b=1, correspond donc à

Remarquez que si a=b alors le deuxiéme terme disparait ,(2a)² , ou (2b)² - 0² est bien égal à 2² a x a ou 2² b x b. Mais il existe aussi une deuxième solution :

	formule = (PUISSANCE($A3+B$2;2)-PUISSANCE($A3-B$2;2))//B$2
	b=1	b=2	b=3	b=4
a=2	8	8	8	8
a=3	12	12	12	12
...4	16	16	16	16
5	20	20	20	20
6	24	24	24	24
7	28	28	28	28
8	32	32	32	32
9	36	36	36	36
10	40	40	40	40

L'on remarque que dans la collone en bleu ,si a=(b+1) alors

Exemple dans la colonne b=3, a=(3+1)=4 : 7²-1=48 divisé par 3 = 16 bien égal 4*4 ou 12+4

En divisant (a+b)²-(a-b)² par b , ou chaque terme par b , l'on obtient 4a, qui est égal à

(a+1)²-(a-1)².

Si ab est un nombre premier (p) alors ce produit devient un nombre premier fois 1 (4ab => 4px1) et il n'existe qu'une seule solution

	formule = (PUISSANCE($A3+B$2;2)-PUISSANCE($A3-B$2;2))/$A3
	1	2	3	4	5
2	4	8	12	16	20
3	4	8	12	16	20
4	4	8	12	16	20
5	4	8	12	16	20
6	4	8	12	16	20
7	4	8	12	16	20
8	4	8	12	16	20
9	4	8	12	16	20
10	4	8	12	16	20

Division par a ... = 4b.

Mais si , par exemple la somme de deux nombres au carré , moins la difference de deux nombres au carré est égale à un multiple de 4, est ce (1+b)²-(1-b)² qui a été appliqué ou (a+1)²-(a-1)² ?

L'on note que pour des puissances pair il n'y a pas de changement mais quel est l'impact pour des puissances impaires?

=(PUISSANCE(($A3+B$2)/RACINE(B$2);2))-(PUISSANCE(($A3-B$2)/RACINE(B$2);2))
	1	2	3	4
2	8	8	8	8
3	12	12	12	12
4	16	16	16	16
5	20	20	20	20
6	24	24	24	24
7	28	28	28	28
8	32	32	32	32
9	36	36	36	36
10	40	40	40	40

Puisque dans cette formule, nous n'intégrons pas b dans la fraction TOTALE au carré, c'est a dire , (a+b)² / b - (a-b)² au lieu de ( (a+b) / b)² - ... alors c'est que nous pouvons inclure au dénominateur dans la fraction TOTALE sa racine carré.

L'équation fondamentale ,les nombres premiers et carrés topologiques impairs (*)

Dans dans le Livre III, Question XXII (ainsi que dans son petit théorème) , Fermat introduit (pour la première fois dans l'arithmetica ?) la notion de nombres premiers et de différentes possibilités d'hypothénuse, ce qui a orienter mes recherches pour poser ce premier thérème évident:

Si a (ou b) est un nombre premier (p) alors 4ab devient 4p => et n'admet qu'une solution

Notez que dans la première expression 4p n'etant pas un carré 4p, p+1,p-1 n'est pas un triangle rectangle entier.

Division par 4

Dans ces deux équations, nous remarquons que le 4 ne change pas , 4p = (p+1)² -... et 4p² = (p²+1)²-... donc dans les deux cas :

Création d'un nouveau carré

4p² étant un carré de coté 2p .

Un des cotés d'un triangle rectangle à pour hypothénuse

L'autre coté de ce carré .

Si nous faisons la racine carré entre 4p² et l'hypothénuse ,

, le deuxième coté étant égal à

Notons que 2p+(p²+1) = (p²+1)²

Rapport de , élévations à toutes puissances,nb possibilités

En préambule à la Question XXII du LIivre III (Trouver 4 nombres tels que le carré de leur somme, augmenté ou diminué de chacun donne un carré) nous examinons le comportement à toutes puissances du facteur de 4, du nombre de possibilités d'hypothénuses, et de l'impact d'un nombre premier dans un triangle rectangle.

Par extention du théorème précedent , si nous remplaçons p par ab (et divisé par 4) nous obtenons le même résultat mais avec au moins deux solutions.

si et si alors

N à toutes puissances

Notez que cette égalite ne représente pas un triangle rectangle entier , 4n n'étant pas un carré sauf si n=4 (ou une puissance de 4).avec une seule solution

D'autre part si n=1 , 4 est aussi un carré mais le deuxieme terme (n-1)² est égal à 0.

Si l'égalité demeure vraie 0 ne peux pas ètre un coté d'un triangle. (4 = 2² -0²)

mais aussi si n=a*b

Si n n'est pas premier alors il existe au moins un autre solution.

Pour tout nombre n il existe au moins un .....

N est premier

Si n est premier alors il n'exite qu'une seule solution

Notez également que cette égalité ne représente pas un triangle rectangle

...

Pour tout nombre premier p il existe un seul et unique ....

Rapport (raison) de l'expression

Comme dédini par Fermat dans le premier chapitre de son Opera varia

mais aussi

	=(PUISSANCE(($A3B$2)+1;2)-PUISSANCE(($A3B$2)-1;2))/4
a\b	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	16	20

n	4n²	(n²+1)²-(n²-1)²	4n³	(n³+1)²-(n³-1)²	4n⁴	(n⁴+1)²-(n⁴-1)²
1	4	4	4	4	4	4
2	16	16	32	32	64	64
3	36	36	108	108	324	324
4	64	64	256	256	1024	1024
5	100	100	500	500	2500	2500
6	144	144	864	864	5184	5184
7	196	196	1372	1372	9604	9604
8	256	256	2048	2048	16384	16384
9	324	324	2916	2916	26244	26244
10	400	400	4000	4000	40000	40000
11	484	484	5324	5324	58564	58564
12	576	576	6912	6912	82944	82944
13	676	676	8788	8788	114244	114244
14	784	784	10976	10976	153664	153664
15	900	900	13500	13500	202500	202500
16	1024	1024	16384	16384	262144	262144
17	1156	1156	19652	19652	334084	334084
18	1296	1296	23328	23328	419904	419904

Matrice de 4n2, 4n3 et 4n4 et leurs équivalences

Equation du second degrés par Diophante

(1) Si j'interprète bien la note de Brassine l'équation équivalente serait ... a étudier ...