Le petit théorème : Définition officielle
En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l'arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire.
Il s'énonce comme suit. Si n est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier, alors n p-1 -1 est un multiple de p. Le corollaire de ce théorème est que, pour tout n entier et p nombre premier, alors n p - n est un multiple de p.
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Il doit son nom à Pierre de Fermat (1601 - 1665) qui l'énonce la première fois le 18 octobre 1640.
Objection / précision
L'on peut lire selon les différentes publications sur le petit théorème de Fermat soit :
Exemple : 43-1 - 1 = 16 - 1 = 15 divisible par 3 (=5)
ou
Exemple : 43 - 4 = 64 - 4 = 60 divisible par 3 (=20)
L'on peut penser que si l'on factorise n p - n par n ,l'on obtient:
n[n p-1 -1] mais la congruence devient fausse !!!!.
Un simple exemple : 10 5-1 -1 = 10000-1 = 9999 est non divisible par 5
Que signifie :
Si nous divisons n par p le reste de la division est 0
exemple:
le reste de 12 / 4 = 0 ,
sera noté : 12 
0 (mod p)
Plus de précisions sur:
C'est pour cela que la démonstration qui suit s'applique à la formule telle qu'elle a été énoncée par Fermat :
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Le petit théorème : Démonstration selon Pierre de Fermat
Propriétés de la formule des poly-polygonaux qui seront utilisées
Soit la formule 
et que nous développons le numérateur alors nous obtiendrons une expression de forme :
(exp signifie exposant , ! signifie factorielle)
Par exemple :
Dans une lettre adressée par Pierre de Fermat à Roberval le 4 Novembre 1636 on trouve l'expression suivante :
Cette expression est aussi utilisée par Fermat dans son théorème sur les poly-polygonaux.
Si l'on développe le numérateur, on obtiendra un certain nombre de n7 , un certain nombre de n6 .... et un certain nombre de n1 C.A.D n
Le développement exact est égal à :
Notation n! = Factorielle n
au lieu d'écrire 1x2x3x4... n , l'on note n!
Exemple : 1x2x3x4 , se note 4! et est égal à 24
Si l'on considère que Fermat a développé ce théorème pour toutes les puissances de n, il est bien sur totalement exclu , pour trouver tous les indices (exemple ci-dessus 1,21,175,735,1634,1764,720), que Fermat ai procédé un calcul manuel.
Trouver chaque indice est fastidieux (voir le simplificateur d'equation de ce site) ; Néanmoins nous pouvons trouver très facilement la somme de ces indices.
Programme PC
Le programme pour développer ce type d'expression est accessible sur :
Comment trouver la somme des indices?
Soit ,si nous remplaçons n par 1 (n=1) alors nous obtenons:
La somme des indices sera égale à la factorielle du dénominateur
Pour l'exemple ci dessus n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6) si n=1 alors = 1(2)(3)(4)(5)(6)(7) = 7! = 5040 et bien égal à 1,21,175,735,1634,1764,720
Autres propriétés du développement du numérateur:
Soit : 
=
Le PREMIER exposant = le nombre de facteurs 1p
Le PREMIER indice est égal à 1
Le DERNIER indice = factorielle -1 du nombre de facteurs.
4+1764+720=5040, 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 =720
Exemple:
nota n = 1n
Nombre de facteurs du numérateur=4
Le premier développement =
1n*1n*1n*1n = 1n4
L'exposant de n = nb facteurs
L'indice de n = 1
Le dernier développement =
1n*1*2*3 = 6n = (4-1)! = 3!
Démonstration du petit théorème de Fermat
Nombres premiers et factorielle
Si un nombre est premier , c'est à dire divisible que par lui même ou par 1, alors seul le dernier facteur de la factorielle est divisible par ce nombre.
Exemple , 7 est premier, alors 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 seul le dernier facteur : 7 est divisible par 7 (ou par 1), et non pas les autres facteurs : 2,3,4,5,6 (l'on obtient soit un décimal soit un réel)
L'on en déduit aussi que si un nombre est premier alors sa factorielle moins 1 n'est pas divisible par ce nombre., 2 x 3 x 4 x 5 x 6 n'est pas divisible par 7.
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Si p premier (p-1)! |
Bien sûr : p! 0 (mod p)
n 0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n par p = 0
n 
0 (mod p ) signifie que le reste de la division de n par p est différent de 0
Regroupement des indices de n en 3 termes : p! = a+b+c
Regroupons la somme totale (p!) des indices de n issus du développement de n(n+1)(n+2).... en 3 termes A+B+C = p!:
Le PREMIER terme A est égal à 1
Le TROISIÈME terme C est égal à (p-1)!
Le DEUXIÈME terme B = p! - 1 - (p-1)! = p! - [ (p-1)! + 1 ]
|
p! = |
||||||
|
1 |
+ |
p!-[(p-1)!+1] |
+ |
(p-1)! |
= |
p! |
|
exemple : 5! = 120 |
||||||
|
1 |
+ |
5!-(4!+1) |
+ |
4! |
= |
1x2x3x4x5 |
|
1 |
+ |
120-25=95 |
+ |
24 |
= |
120 |
Rappel
la somme totale des indices de n = factorielle diviseur
Table de factorielles
|
2!= |
1x2 |
= 2 |
|
3!= |
1x2x3 |
= 6 |
|
4!= |
1x2x3x4 |
= 24 |
|
5!= |
1x2x3x4x5 |
= 120 |
|
6!= |
1x2x3x4x5x6 |
= 720 |
|
7!= |
1x2x3x4x5x6x7 |
= 5040 |
Si p est premier:
Soit p! = (A+B+C) = 1 + p!-[(p-1)!+1] + (p-1)! Si p est premier , p! divisible par p , (p-1)! n'est pas divisible par p , et 1 n'est pas divisible par p
|
p! |
||||||
|
1 |
+ |
p!-[(p-1)!+1] |
+ |
(p-1)! |
= |
p! |
|
1 |
+ |
(p-1)! |
= |
1+(p-1)! |
||
Si l'on s'intéresse qu'à la somme du premier terme = 1 et du troisième terme = (p-1)! dont la somme est divisible par p alors (p-1)! est un nombre qui, ajouté à 1, est divisible par p. Cette expression est une addition modulaire qui se note :
|
|
N.B : Du coup , le DEUXIÈME terme = p! - [ (p-1)! + 1 ] 0 (mod p)
Dans A+B+C , si B n'était pas divisible par p , A+C étant divisible par p , A+B+C ne serait pas divisible par p
|
exemple : A+B+C = 7! = 5040 |
||||
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1er terme=A |
+ |
3éme terme =C |
= |
A+C |
|
1 |
+ |
(7-1)!=6! |
= |
1x2x3x4x5x6+1 |
|
1 |
+ |
720 |
= |
721 |
|
1 |
+ |
(721-1) |
= |
721/7 (=103) |
Le deuxième terme = 5040 - 721 = 4319 divisé par 7 = 617
Puissance de 1 (identité de 1)
Dans beaucoup de théories sur les nombres nous retrouvons trés souvent le problème suivant:
Tout nombre élevé à une puissance ( 
1) est différent de lui même sauf 1.
Par exemple 32 = 9 alors que 1=10,1=11,1*1=12,1*1*1=13,1*1*1*1=14....1n = 1
Ce qui se traduit par : 1+(p-1)! 0 (mod p) = 1x+(p-1)! 0 (mod p) , qui veut dire que l'égalité reste toujours vrai pour n'importe quelle puissance de 1.
|
Nous pouvons dire :
Et pourquoi pas :
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Multiplication de 1+(p-1)! par n
Nous venons de démontrer que : Soit le développement de n(n+1)(n+2)...(n+p-1) = [1np]+[anp-1+bnp-2+...]+[(p-1)!n] ,si p premier alors :
L'indice de n du premier terme 1np = 1 plus l'indice de n du dernier terme (p-1)!n = (p-1)! est divisible par p .
1+(p-1)! 0 (mod p) = 1* [1+(p-1)!] 0 (mod p)
Connaître à quoi correspond 1:
Si nous multiplions 1*[1+(p-1)!] 0 (mod p) par n , nous obtenons n[1+(p-1)!] 0 (mod pn)
par exemple 1 + 720 = 721 divisible par 7 , si n=10 alors 10+7200 = 7210 divisible par 7 et divisible par 10 donc divisible par 70. Nous pouvons donc en déduire que si p est premier alors n+n(p-1)! 0 (mod np) , n+n(p-1)! 0 (mod n) et surtout :
|
=
|
Pour p premier , soit le développement de n(n+1)(n+2)(n+p-1) , le dernier terme (p-1)!n + n sera divisible par p
Exemple , dans le dernier terme de 1n5+10n4+35n3+50n2+24n , 24n + n = 25n est divisible par 5
Conclusion
Si p premier, n(n+1)(n+2)(n+p-1) = 1np+....+(p-1)!n , 1np +(p-1)!n 0 (mod p)
si au dernier terme (p-1)!n j'ajoute n et je retranche au premier terme n.
|
1er terme |
+ |
Dernier terme |
= |
divisible par p |
|
np |
+ |
(p-1)!n |
= |
1np + (p-1)!n |
|
np- n (mod p) |
+ |
(p-1)!n+n vu précédemment |
= |
1np-n + (p-1)!n+n |
Le premier terme np moins n , revient à ajouter un n au dernier terme de l'addition du développement de n(n+1)(n+2)...
|
si n+n(p-1)!
|
Video youtubes
Conjecture des nombres premiers en corollaire du petit théorème de Fermat
Nombre premier de Mersenne
si 
alors 
est-il premier?
non : ne fonctionne pas par exemple pour 211
Nombre premier et petit théorème
En corolaire du petit théorème de Fermat, a=2; si le reste (équivalence informatique: modulo(dividende/diviseur) ou résidu) de a n-a/a = 0 alors n est premier (sinon n n'est pas premier) Exemple: le reste de 25-2/5 <=> (32-2)/5 est = à 0
Ce n'est qu'une conjecture car il faut pouvoir le démontrer (*),2 n dépassant vite les capacités de calculs des calculateurs classique...
Il est trés important de considerer dans cette conjecture que seule une puissance de 2, sépare bien les nombres entiers en 2 ensembles de nombres , premiers et non premiers
Se lit : si le reste de 2n-2 / n est différent de 0
(*) Le professeur Henry Cohen de l'université de Bordeaux note "On ne peut rien conclure si 2n-1 -1 est divisible par n, mais il est assez probable dans ce cas que n soit premier)
Histoire des nombres Edition Tallandier 2007, paragraphe l'intrigue des nombres premiersI
En effet, cette conjecture semble ne pas étre vrai pour (n< 1000) 341,561,645 !!!:
Commentaires
le petit théorème de Fermat n'isole pas les nombres non premiers:
Exemples :
a=3 n=6 , 6 n'étant pas premier , le reste de 36-3/3 devrait étre <> 0
nb: 3 tout comme 2 est premier...
|
n |
36 |
36-3 |
726/6 |
Reste |
|
6 |
729 |
726 |
121 |
0 |
pour a=5 , n=10
| n | 510 | 510 -5 | 510 -5/5 | Reste |
|
10 |
9765625 |
9765620 |
976562 |
0 |
Il semblerai pour tout n/a = 2 ... CQFD
pour a= 4 c'est pire...
|
n |
4n |
4n-4 |
4n-4/4 |
r |
|
2 |
16 |
12 |
6 |
0 |
|
3 |
64 |
60 |
20 |
0 |
|
4 |
256 |
252 |
63 |
0 |
|
5 |
1024 |
1020 |
204 |
0 |
|
6 |
4096 |
4092 |
682 |
0 |
|
7 |
16384 |
16380 |
2340 |
0 |
Suite de cette étude
Petit truc sur nombre premiers
si l'on veut savoir si un nombre est divisible par un autre de tête il suffit:
si il est pair : le diviser par 2
si il est impair: lui ôter une mesure (<- comme l'aurait écrit Fermat....)
Cet algorithme est issue d'un traitement binaire simple et du PGCD
exemple;
221 est-il divisible par 7?
221-7=214
214/2=107
107-7=100
50/2=27
27-7=20
20/2=10
10/2=5
221 n'est pas divisible par 7
(31*7 reste 4)
91 est t-il divisible par 7?
91-7=84
84/2=42
42/2=21
21-7=14
14-7=7
Patrick Stoltz le 18/10/2009 maj 2014/2020