En bleu les annotations de Diophante.	En marron italique les annotations de Bachet	En vert les annotations de Fermat.	En bleu marine Emile Brassine
Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvées avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

Dans ce Livre sur les nombres polygonaux de Diophante dont il ne reste que quelques fragments Diophante aborde :

Dans les Questions N°1,N°2 et N°3: Les progressions arithmétiques

Dans la Question N°4 Diophante raproche les progressions arithmétiques et les nombres polygonaux

Dans la question N°5 , N°6 et N°7 les nombres polygonaux et les équations du second degrés

Les progressions arithmétique

Définition

Une progression arithmétique est une suite de nombres dont la différence d'un nombre de cette suite et du nombre précédent est constante.

Cette différence est appelée: Raison Exemple : 10,20,30,40 , 40-30 = 10 , 30-20 = 10 .... la raison =10

Cette séquence 10,20,30,40 comporte 4 éléments , le premier élément = 1*raison , le deuxiéme = 2*raison ..... n*raison est la valeur du n^ième élément

Dans mon exemple le 7éme élément de ma progression arithmétique vaudra 70 C.A.D 7*raison

La somme de cette séquence sera = raison(1+2+3+4) ... , comme la raison est un facteur commun à tous les éléments de cette séquence alors la raison sera appelée k:

Raison = k

Nous verrons par la suite que dans une équation du second degrés an²+bn+c=0 k=a...

Debut de séquence = 0

Soit la séquence exemple 10,20,30,40 , le premier élément = 10 (=1*k) est bien = à la raison - l'élément précèdent qui est zéro !!!

Donc il faut bien considérer le début de cette séquence comme étant égale à zéro C.A.D 0,10,20,30,40 comportant maintenant 5 éléments , chaque élément de cette séquence étant égale à (n-1)K , par exemple le 3ême élément: 20 = (3-1)*10

Début de séquence = a

Ce suget est abordé par Diophante dans la question I et II de son livre sur les nombres polygonaux

Question II livre des polygonaux : Si cinq nombres a,a+k...a+4k sont en progression arithmétique, l'excès du plus grand sur le plus petit , ou 4k, est un multiple de k exprimé par le nombre de termes moins 1

Diophante nous dit : le 5 éme élément = a+(5-1)K par exemple: a=3 , k=7 => 3,10,17,24,31 le 4éme = 3+ (4-1)*7=24

Théorème

Toute progression arithmétique de n éléments commence par un nombre a et est composée = a+(n-1)k

Question I livre des polygonaux : Si trois nombres a,a+k,a+2k sont en progression arithmétique , 8 fois le produit du plus grand par le moyen plus le carré du plus petit est un carré dont le coté est la somme du plus grand et du double du moyen.

Là on rentre dans du plus dur !!! On remarque la difficulté qu'a pu rencontrer Diophante sans la notation algébrique pour faire ses mathématiques !!!

En clair Diophante pose :

Soit a,a+k,a+2k

Examinons à quoi egale 8(a+2k)(a+k)

4xy=(x+y)²-(x-y)² , x=(a+2k) , y=(2a+2k)

Je note aussi un équivalence interressante:

Si je remplace a par n et k = 1 alors :

Exemple d'une progression arithmétique de n=5 éléments pour k=3

rappel K=la raison de la progression

Chaque élément = a + (n-1)k

le premier = a + (1-1)k = a+0k = a

Début de séquence = a = 1

Dans la suite des questions posées par Diophante dans la question III,IV...Diophante s'intéresse plus particulièrement aux progressions arithmétiques commençant par 1

Question III , livre des polygonaux : Dans une progression arithmétique commençant par 1 et d'un nombre de termes quelconques , la somme de tous les termes par 8 fois la raison , plus le carré de la raison diminué de 2 est un carré.

Soit 1,k... 1+(n-1)k, la somme sera et

Là vous allez me dire que c'est franchement imbuvable, je vais vous démontrer par la suite, pas à pas, que non !!!

Somme d'une progression arithmétique commençant par 1

Reprenons les propos de E.brassine : soit 1,k.... 1+(n-1)k en fait E.Brassine aurait dû écrire 1,1+k ...1+(n-1)k et si la progression commence par 1, chaque terme = 1 + (n-1)K , pour être plus précis nous pouvons écrire 1+ 0K , 1+1k ... 1+(n-1)k

Rappel :

Formule de la somme des nombres de 1 à n

Exemple: Somme des nombres de 1 à 5 =

5*6/2 = 15 = 1+2+3+4+5

Plus de détails sur :

Si nous ajoutons tous les éléments nous obtenons (1+0k)+(1+1k)+(1+2K)+.... ,si je sépare les "1" des (n-1)k = (1+1+1..) + (0+1k+2k ...) , si je factorise tous les termes multiples de k alors => (1+1+1..) + (0+1+2)K

La somme de tous les "1" = n . La somme de tous les multiples de k est la somme des nombres jusqu'à (n-1)K

Si l'on applique la formule (détaillée ci-contre) n(n+1)/2 en remplaçant n par (n-1) alors = (n-1)(n-1+1)k/2 =(n-1)nk/2

donc nous pouvons écrire:

La somme d'une progression arithmétique qui commence par 1 =

Démonstration d'une double somme d'une P.A. commençant par 1 formant un rectangle de coté: n * (2+(n -1)k)

Égalité des deux formules :

, factorisation par n du numérateur =>

Progression arithmétique et Nombres Polygonaux

Question IV , livre des polygonaux : Considérons la somme des termes de la progression arithmétique commençant par 1 , si on fait k = (P-2) , on voit que cette somme sera un nombre polygonal , et que le nombre d'angles sera la raison de la progression plus 2

Soit , la somme des nombres d'une progression arithmétique commençant par 1 , si l'on remplace k par (P-2) nous obtenons la formule générale des nombres polygonaux => ou P est le nombre de cotés du polygone. Si k= P-2 alors P=k+2.

Nombres polygonaux et Equation du second degrés

Question IV , livre des polygonaux : On donne le coté du nombre polygonal. Trouver ce nombre.

Traduire la formule .On donne P et la valeur de polygonal.Trouver x . Les régles de Diophante reviennent à la résolution de l'équation du second degrés.

Faisons cette traduction:

Soit une somme x d'une progression arithmétique commençant par 1 alors :

Soit +an²+bn=c si a=k , b = -(k-2) , c=2x alors kn²-(k-2)n=2x

Regardez et souvenez vous le paragraphe précedent , si k = P-2 alors une P.A commençant par 1 est un Polygone de valeur N dont P est son nombre de cotés... de qui nous donne au lieu de k=a , b = -(k-2) , c=2x

a=P-2 , b= -(P-2-2) = P-4 , c = 2N

L'on retrouve cette équation à la question suivante ...

Rappel: an²+bn+c=0 ,

Soit +an²+bn+c=0 => +an²+bn=-c

Question VI , livre des polygonaux : Etant donné un nombre N, trouver de combien de manières il peut être polygonal.

En appellant P-2 = A , , Si on donnait N, il faudrait trouver le nombre entier A qui rendrait x positif.

Le texte de Diophante parait altéré , Bachet fait remarquer tout ce qui laisse à désirer.

Quoi qu'il en soit , l'on peut supposer que si Diophante pose ce problème alors il maitrisait la résolution d'une équation du second degrés...

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