Hypoténuse

Tout savoir sur ce qu'est une hypoténuse...

Comprendre le Théorème de Pythagore

Vous avez tous appris le fameux théorème de Pythagore applicable au triangle rectangle : x²+y²=z² (ou a²+b²=c²)ou sous la forme :

Précisons et détaillons:

Soit le triangle rectangle du Croquis n°1 composé de:

fleche_animee Un coté x ,adjacent de l'angle droit (sur le croquis n°1 c'est la hauteur du triangle rouge)

fleche_animee Un coté y ,l'autre coté adjacent de l'angle droit (la base du triangle rouge)

fleche_animee Un coté z opposé de l'angle droit.

Croquis n°2

Pour connaître la longueur du coté:

fleche_animee L'on forme une surface ,un carré, dont le coté est égal à la longueur x . Cette surface aura pour aire (surface) x*x =

 

fleche_animee L'on forme un deuxième carré , dont le coté est égal à la longueur y

 

fleche_animee On ajoute ces DEUX surfaces pour former UN nouveau carré z²

fleche_animee On mesure le coté de ce carré z² en appliquant la racine carrée de ce carré z²

= z

Ce coté z est appelé hypoténuse

 

En résumé

Le théorème de Pythagore s'intéresse donc à  la LONGUEUR z =

1 animé: Qui est opposée à l'angle droit.

: Qui est appelée Hypoténuse

: Qui est le coté du carré .

: Qui mesure : formule Pythagore

 

Croquis n°1:

 

Triangle rectangle de cotés :

x et y adjacents à l'angle droit

z opposé à l'angle droit

 

Croquis n°2:

pythagore

Soit le triangle rectangle ayant pour coté de l'angle droit : x et x alors le coté opposé de l'angle droit mesure :

 

formule Pythagore

Exemple

si x=3 , y=4 alors:

3²+4²= 9+16=25

25 est un carré = 5² de coté = 5

Le coté Z mesure :

Allons plus loin

Mais , cette longueur z, est soit entière ou soit un réel....

Par exemple :  est un entier: 5²+12²=13² (25 +144=169)

par contre :

est un réel :

10.44030651*10.44030651 = 109.xxx (.quelque chose selon la precision de la calculatrice)

Diophante et Fermat, ne connaissant pas les nombres réels , ils examineront donc les 3 surfaces formées par un triangle rectangles représentées sur le Croquis n°3:

 X²,Y², Z

Mais aussi le triangle rouge de surface = xy/2

 

Croquis_n°3

Z est un carré dont le coté et:

Soit un entier ou une fraction

Soit un réel...

Surface Z

Examinons de plus prés cette surface Z...

Soit Z une surface formée de la somme de deux carrés :

Z = x² + y² signifie : Z est TOUJOURS la somme de 2 carrés. Cette surface Z est soit un carré, soit un rectangle

Rappel : un Carré est un rectangle dont les 4 cotés sont égaux

fleche_animee Si entière (ou fractionnaire entière) alors  la somme x²+y² forment un carré de surface Z et de coté entier z'.  

= z'

Si la surface Z est un carré alors son coté est: z'

z' est un entier ou une fraction entière

Exemple: Z = 5²+12² = 169  , =13 = z' =>

z' = x²+y² (*)

 

fleche_animee Si la racine de zest NON entière (ou fractionnaire entière) alors  la somme x²+y² forment un RECTANGLE de cotés entiers a x b

Exemple : Z = 3²+2²= 13 , n'est pas un entier mais égal à un rectangle de surface 13 x 1la somme de 2 carrés

NOTA: si Z premier alors un des cotés de ce rectangle sera TOUJOURS égal à 1

 

Dans la question 31 du livre IV, Fermat en conclura:

OBS DE FERMAT. Bien plus , j'ai découvert le premier une proposition très belle et très générale, savoir ; que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires; carré ou composé de deux , de trois ou de quatre carrés

C'est à dire que tout nombre est un rectangle et est composé de 1 carré (C.A.D un carré) ou est composé de 2 carrés ou 3 ou 4.

 

 

Croquis n°4 :

Z est un carré

ou

Z est un rectangle

avec la propriété d'être la Somme de 2 carrés

(*) l'équation de Diophante

Par sa formule :

Diophante en déduit que si Z est un carré alors soit X²+Y²=Z² :

Z² est composé d'une AUTRE somme de 2 carrés x²+y²

X² = différence (x²-y²)²

Y² = 4*la surface d'un autre triangle rectangle au carré de coté x et y =

 (4xy/2)²

Comment savoir si Z est UN carré sans calculatrice?

Soit Z une surface composée de la somme de 2 carrés x² et y².

Si Z = (x²+y²)  alors dans TOUT LES CAS la somme de 2 carrés - un des deux carrés égal l'autre carré:

(x²+y²)-x² = y² ou (x²+y²)-y²=x²

Par contre si Z est UN carré composé de la somme de 2 carrés :

Z est UN carré de coté = z' de surface z'²

z'

 

Soit l'identité remarquable a²-b²= (a+b)(a-b) :

 z'²=a² et b²=x²

 z'²=a² et b²=y²

z'²-x²=y²

z'²-y²=x²

(z'+x)(z'-x)=y²

(z'+y)(z'-y)=x²

Donc si Z est un carré et donc de coté z' entier:

z' plus le coté d'un des 2 carrés qui le compose multiplié par z' moins ce même coté est UN CARRE EGAL A L'AUTRE CARRE

 

FONDAMENTAL:

z'  

Si Z = un carré alors (z'-x)(z'+x) = un carré = y²

Si Z = un carré alors (z'-y)(z'+y) = un carré = x²

 

Par exemple : Longueur du coté du carré Z = 13

Longueur du coté x = 12

(13+12)(13-12)=25*1 , 25 est bien un carré = 5²

et aussi

Longueur du coté y = 5

(13+5)(13-5) = 18*8 =144 = 12²

Par contre il ne faut pas conclure que CHAQUE facteur de (z'+x)(z'-x) sont des carrés seul le PRODUIT TOTAL est UN carré

(13+5)(13-5) = 18*8 =144 = 12²

18 n'est pas UN carré (mais 2 * 3²)

8 n'est pas UN carré (mais 2 * 2²)

Comment savoir si z²-x² ou z²-y² sont des carrés ?

Bien sûr Diophante et Fermat ne possédaient pas de calculatrice mais savaient faire un division (Euclidienne).

si (z'+x)(z'-x)=y²

si (z'+y)(z'-y)=x²

Voir exemples 1 / 2 / 3

 

Rappel identité remarquable

a²-b² = (a+b)(a-b)

 

Croquis n°3

Résumé

Si le triangle rouge est un triangle rectangle:

fleche_animee X² est un carré de coté entier ou fractionnaire

fleche_animee Y² est un carré de coté entier ou fractionnaire

fleche_animee Z est un carré = (x²+y²) dont on ne sait pas si son coté z' est entier ou fractionnaire

formule racine hypoténuse

Exemple 1

x=12 , y=? , z'=13

(13+12)(13-12) = 25*1 = 5² = y²

y= (25)(1)/5 = 5

 

Exemple 2

y = 5 , x= ? , Z=15² , z'=15

(15+5)(15-5)=20*10 = 200 = 2*10*10 = 2*10²

 

x=*10 n'est pas un nombre entier

x²= à UN carré mais DEUX carrés 10²

 

Exemple 3

x=39, y = 52, z'=65

(65+39)(65-39)=104*26 = 2704

104 n'est pas un carré = 8*13

26 n'est pas un carré = 2*13

2704 est t'il un carré? 104*26 / 52 = 52

CAD 104*26=52²

 

Notez que 13 est la somme de 2 carrés =2²+3²

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