Hypoténuse

Tout savoir sur ce qu'est une hypoténuse...

Comprendre le Théorème de Pythagore

Vous avez tous appris le fameux théorème de Pythagore applicable au triangle rectangle : x²+y²=z² (ou a²+b²=c²) ou sous la forme :

formule pythagore

Précisons et détaillons:

Soit le triangle rectangle du Schema n°1 composé de:

fleche_animee Un coté x ,adjacent de l'angle droit (sur le croquis n°1 c'est la hauteur du triangle rouge)

fleche_animee Un coté y ,l'autre coté adjacent de l'angle droit (la base du triangle rouge)

fleche_animee Un coté z opposé de l'angle droit.

Schema n°2

Pour connaître la longueur du coté:

fleche_animee L'on forme une surface ,un carré, dont le coté est égal à la longueur x . Cette surface aura pour aire (surface) x*x =

 

fleche_animee L'on forme un deuxième carré , dont le coté est égal à la longueur y

 

fleche_animee On ajoute ces DEUX surfaces pour former UN nouveau carré z²

fleche_animee On mesure le coté de ce carré z² en appliquant la racine carrée de ce carré z²

= z

Ce coté z est appelé hypoténuse

 

En résumé

Le théorème de Pythagore s'intéresse donc à  la LONGUEUR z =

1 animé: Qui est opposée à l'angle droit.

: Qui est appelée Hypoténuse

: Qui est le coté du carré .

: Qui mesure : formule Pythagore

 

Schema n°1:

 

Triangle rectangle de cotés :

x et y adjacents à l'angle droit

z opposé à l'angle droit

 

Schema n°2:

pythagore

Soit le triangle rectangle ayant pour coté de l'angle droit : x et x alors le coté opposé de l'angle droit mesure :

 

formule Pythagore

Exemple

si x=3 , y=4 alors:

3²+4²= 9+16=25

25 est un carré = 5² de coté = 5

Le coté Z mesure :

Allons plus loin

Mais , cette longueur z, est soit entière ou soit un réel....

Par exemple :  est un entier: 5²+12²=13² (25 +144=169)

par contre :

est un réel :

10.44030651*10.44030651 = 109.xxx (.quelque chose selon la precision de la calculatrice)

Diophante et Fermat, ne connaissant pas les nombres réels , ils examineront donc les 3 surfaces formées par un triangle rectangles représentées sur le Schema n°3:

 X²,Y², Z

Mais aussi le triangle rouge de surface = xy/2

 

Schema n°3

Z est un carré dont le coté et:

fleche_animee Soit un entier ou une fraction

fleche_animee Soit un réel...

Surface Z

Examinons de plus prés cette surface Z...

Soit Z une surface formée de la somme de deux carrés :

Z = X² + Y² signifie : Z est TOUJOURS la somme de 2 carrés. Cette surface Z est soit un carré, soit un rectangle

Rappel : un Carré est un rectangle dont les 4 cotés sont égaux

fleche_animee Si la racine de zest NON entière (ou fractionnaire entière) alors  la somme x²+y² forment un RECTANGLE de cotés entiers a x b , racine de z=z' est un réel

Je note racine de z=z' au lieu de z (petit z) pour plus de lisibilité

Exemple : Z = 3²+2²= 13 , n'est pas un entier mais égal à un rectangle de surface 13 x 1la somme de 2 carrés de surface 3² et 2²

NOTA: si Z premier alors un des cotés de ce rectangle sera TOUJOURS égal à 1

Z=X²+Y²

 

fleche_animee Si entière (ou fractionnaire entière) alors  la somme X²+Y² forment un carré de surface Z² et de coté entier z'.  

 

Résumé

Z est une surface composée de la somme de 2 carrés

Si la surface Z est un carré alors son coté z'

z' est un entier ou une fraction entière

= z'

Si la surface Z est un rectangle alors son coté z'

 = z' est un réél

 

Exemple: Z = 5²+12² = 169  , =13 = z'

Exemple de Fractionnaire de Diophante :

 

 

Schema n°4 :

Z est un rectangle

avec la propriété d'être la Somme de 2 carrés C.A.D Z=X²+Y²

ou

Z est un carré z' ² de coté z' entier

Z=X²+Y² =>z'² = (x'²+y²')² =>z'=x'²+y'²

 

Observation de Fermat

Dans la question 31 du livre IV, Fermat en conclura:

 

Bien plus , j'ai découvert le premier une proposition très belle et très générale, savoir ; que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires; carré ou composé de deux , de trois ou de quatre carrés

Réciproque:

 

Soit un triangle rectangle (ci contre) de Base b et de Hauteur h .

Si Z est un carré z' ² alors b et h sont entiers (  ) ou fractionnaires.

 

Comment savoir si Z est UN carré sans calculatrice?

Soit Z une surface composée de la somme de 2 carrés x² et y².

 

Croquis n°4 :

Hypoténuse

Si Z = (x²+y²)  alors dans TOUT LES CAS la somme de 2 carrés - un des deux carrés égal l'autre carré:

(x²+y²)-x² = y² ou (x²+y²)-y²=x²

Par contre si Z est UN carré composé de la somme de 2 carrés :

Z²-x² = un carré = X² et Z²-y² = un carré =

Soit l'identité remarquable a²-b²= (a+b)(a-b) :

 z'²=a² et b²=x²

 z'²=a² et b²=y²

z'²-x²=y²

z'²-y²=x²

(z'+x)(z'-x)=y²

(z'+y)(z'-y)=x²

Donc si Z est un carré et donc de coté z' entier:

z' plus le coté d'un des 2 carrés qui le compose multiplié par z' moins ce même coté est UN CARRE EGAL A L'AUTRE CARRE

FONDAMENTAL:

z'  

Si Z = un carré alors (z'-x)(z'+x) = un carré = y²

Si Z = un carré alors (z'-y)(z'+y) = un carré = x²

Par exemple : Z=13² ,Coté du carré Z = = 13

x²=12² , Longueur du coté x = 12

(13+12)(13-12)=25*1 , 25*1 est bien un carré = 5²*1²

et aussi : x²=5² , Longueur du coté y = 5

(13+5)(13-5) = 18*8 =144 = 12²

Par contre il ne faut pas conclure que CHAQUE facteur de (z'+x)(z'-x) sont des carrés seul le PRODUIT TOTAL est UN carré

Exemple le triplet x=39, y = 52, z'=65

(65+39)(65-39)=104*26 = 2704

104 n'est pas un carré = 8*13 , 26 n'est pas un carré = 2*13 , par contre

Voir exemple 3 pour l'autre coté

Résumé : pour Z²-X²=Y²

Ou vice versa Z²-Y²=X²=(Z+y)(Z-Y)

Z²-X²=Y²=(Z+X)(Z-X) :

(Z+X) n'est pas forcement un carré

(Z-X) n'est pas forcement un carré

c'est a dire que nous obtenons un nombre du genre:

a²b²=c² ou ab=c²

 

Comment savoir si z²-x² ou z²-y² sont des carrés ?

Bien sûr Diophante et Fermat ne possédaient pas de calculatrice mais savaient faire un division (Euclidienne).

si (z'+x)(z'-x)=y²

si (z'+y)(z'-y)=x²

Voir exemples 1 / 2 / 3

L'équation de Diophante

 

Rappel identité remarquable

a²-b² = (a+b)(a-b)

 

Je note:

Z = La surface Z

(un carré ou un rectangle)

z'=Le coté de la surface Z

 

Schema n°3

pythagore

Résumé

Si le triangle rouge est un triangle rectangle:

fleche_animee X² est un carré de coté x entier ou fractionnaire

fleche_animee Y² est un carré de coté y entier ou fractionnaire

fleche_animee Z² est un carré de coté z²

formule racine hypoténuse

 

Exemple 1

x=12 , y=? , z'=13

(13+12)(13-12) = 25*1 = 5² = y²

y= (25)(1)/5 = 5

 

Exemple 2

y = 5 , x= ? , Z=15² , z'=15

(15+5)(15-5)=20*10 = 200 = 2*10*10 = 2*10²

 

x=*10 n'est pas un nombre entier

x²= à UN carré mais DEUX carrés 10²

 

Exemple 3

x=?, y = 52, z'=65

x² = (65+52)(65-52) = 117*13

1521/39 = 39

nota 117 et 13 ne sont pas des carrés.

Suite de l'étude

Dans son Arithmetica Diophante et Fermat font abondament appel à la formule suivante :

Diophante en déduit que si Z est un carré alors Base²+Hauteur²=Z² :

Z² = (x²+y²)² C'est à dire que z' est composé d'une AUTRE somme de 2 carrés x²+y²

Base² (ou Hauteur²) = la différence de ces 2 autres carrés (x²-y²)² ,  base ou hauteur = x²-y²

Hauteur ² (ou base)² = 4x²y² C.A.D la surface d'un autre triangle rectangle au carré de coté x et y =

 (4xy/2)²=(2xy)²=4x²y² , hauteur ou base = 2xy

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