Tout savoir sur ce qu'est une hypoténuse...

Comprendre le Théorème de Pythagore

Vous avez tous appris le fameux théorème de Pythagore applicable au triangle rectangle : x²+y²=z² (ou a²+b²=c²) ou sous la forme :

(coté du carré z)

Précisons et détaillons:

Soit le triangle rectangle du Schema n°1 composé de:

Un coté x ,adjacent de l'angle droit (sur le croquis n°1 c'est la hauteur du triangle rouge)

Un coté y ,l'autre coté adjacent de l'angle droit (la base du triangle rouge)

Un coté z opposé de l'angle droit.

Schema n°2

Pour connaître la longueur du coté de z²:

L'on forme une surface ,un carré, dont le coté est égal à la longueur x . Cette surface aura pour aire (surface) x*x = x²

L'on forme un deuxième carré y², dont le coté est égal à la longueur y

On ajoute ces DEUX surfaces pour former UNE nouvelle surface DE FORME carrée (*) appelée hypoténuse = z²

On mesure le coté de ce carré z² en appliquant la racine carrée de ce carré z² : = z

Ce coté z est appelé coté de l'hypoténuse

Exemple numéro 1:

5²+12²=13² =>25 +144=169):

Exemple numéro 2:

10.44030651*10.44030651 = 109.xxx  

Schema n°1:

Triangle rectangle de cotés :

x et y adjacents à l'angle droit

z opposé à l'angle droit

Schema n°2:

Soit le triangle rectangle ayant pour coté de l'angle droit : x et y alors le coté opposé de l'angle droit mesure :

(*) Rappel : un Carré est un rectangle dont les 4 cotés sont égaux

Dans le cas de l'exemple N°1 le coté du carré Z est un entier ou une fraction , ce triangle est dit "RECTANGLE"

Z²=(x²+y²)² , son  coté =     

Dans le cas de l'exemple N°2 le coté du carré Z est un réel (nombre à décimales infinies) , ce triangle est dit "QUELCONQUE"

Z=x²+y² son coté =        

Notez que les nombres réels n'existaient pas à l'époque de Fermat , Diophante ou Pythagore

L'hypothénuse selon Pythagore,Diophante,Fermat

A l'époque où a été utilisée l'hypothénuse, les nombres reéls , les mots "racines carrées" , n'existaient pas.

En effet, les anciens n'étudiaient pas la longueur en tant que telle mais les surfaces et les rapports (fractions) ainsi formés.

Diophante et Fermat, ne connaissant pas les nombres réels , ils examinèrent donc les 3 surfaces formées par un triangle rectangles représentées sur le Schema n°3:

 X²,Y², Z , et aussi le triangle rouge de surface = xy/2

Une hypothénuse est la somme de 2 carrés Z=x²+y²; ( son coté est un reél )

Si la somme de ces 2 carrés forment un carré alors cette somme est la somme² de 2 AUTRES carrés :

Z²=(x²+y²)²,   

par exemple: 5²+12²=13² = (2²+3²)²

Schema n°3

Z est un carré dont le coté est:

Soit un entier ou une fraction

Soit un réel...

Nous allons ensemble détailler ces deux cas :

Représentation d'un carré d'un triangle quelconque

Schema n°4

Du point de vue de la surface d'un triangle , TOUT triangle peut être représenté par un triangle rectangle

Dans TOUS les cas cette surface sera égale à (Base * Hauteur) /2

Nommons:

Hauteur² = y² ; Base² = x²

Du point de vue uniquement de la surface de ce triangle il apparaît comme étant rectangle !!!

Schema n°5

Schema n°6:

le carré jaune = (x-y)²

nota : si y > x alors (négatif)² => positif

Surface d'un triangle = xy/2

, 4 triangles rouges = 4xy/2 = 2xy

x²+y² = (x-y)² + 2xy

Exemples:

2²+5² =29= (5-2)²+2*2*5 = 9+20

3²+5²=34= (3-5)²+2*3*5 = 4+30

3²+ 4²=5²=25 = (1)²+2*3*4=1+2

L'on peut visualiser les surfaces combinées de Z ci contre

Nota: Le coté du carré vert (x-y)² n'est pas parallèle au coté Z

en résumé:

TOUTES hypoténuses =

Z² = (X²+Y²)²: la formule de Diophante

Soit un triangle dit RECTANGLE alors Z² = (x²+y²)² , L'hypothénuse = X²+Y²

Un des coté = 2xy (coté pair)

L'autre coté = x²-y²  est aussi égal à (x+y)(x-y)

notez que x²-y² = (x+y)(x-y)

Ainsi par exemple le "fameux" 3²+4²=5² est en fait égal à:

(2²-1²)² + (2*2*1)² = (2²+1²)²

Dans cette formule l'on peut donner n'içmporte quelle valeur à x et y sauf x=y

Autre exemple :

5²+12²=13² => (3+2)(3-2)² + 4*2²*3² = (2²+3²)²

Shema n°7 :

plus de détails ici :