L'arithmetica Diophante

Sur les traces des théorèmes de Fermat

Contexte historique :

 

L'arithmetica de Diophante (environ 200-300) est une liste de questions arithmétiques contenues dans VI livres . Par la suite,l' arithmetica fut étudié et annoté par Bachet (1581-1638) , par Fermat(1601-1665) et en 1853 par Emile Brassine (*), professeur à l'école impériale d'artillerie de Toulouse.

Diophante ne connaissait pas le zéro ,Fermat n'utilisait pas le zéro géométrique, il ne dessinait pas les axes des absisses et ordonnées. Ils ne connaissaient pas les nombres négatifs en tant que tel , et bien sur les nombres rééls.

 

C'est au cours de l'étude du livre II paragraphe 9 de l'Arithmetica de Diophante que Fermat a posé son grand théorème et il est dit que Fermat ne disposait pas d'outils mathématiques suffisant pour énoncer son Grand théorème puisque démontré par Andrew Wiles environ 300 ans plus tard..

 

Mes recherches :

 

J'ai entrepris depuis de nombreuses années d'étudier de détailler et de reconstituer si possible les équations (et matrices) correspondantes aux notes et nombres de Pierre de Fermat qu'il a faite l'Aritmetica :

  • En m'aidant des notes d' Emile Brassine (*) , Diophante et Bachet
  • En reconstituant les équations à partir des seuls nombres cités par Fermat ,par exemple sur la question 2 du Livre IV l'équation
  • En visualisant ces théories dans des diverses matrices (tableaux) et schemas.
  • En regardant quels algorithmes et théorèmes Fermat cite t'il le plus fréquemment ? son Petit Théorème ?

Au cours de cet étude (à ce jour) il s'avère que ses annotations les plus récurrentes ne sont pas , comme on pourrait s'y attendre, une certaine descente infinie , son petit Théorème, les nombres polygonaux, ou les triangles de Pascal  mais sont relatives à son théorème dit : "des deux carrés".

 

L'équation

L'existence d'un "triangle de base" de cotés d et b cité par Pierre de Fermat dans Le Livre V question 7 et 8 et son Opera Varia

Et surtout L'hypoténuse première d'un triangle rectangle de forme 4n+1 (théorème des deux carrés) cité entre autre dans le Livre III question 22  , Livre V question 12 , Livre V question 24

 

Par contre , je pense toujours que la finalité de toutes ces observations doivent nous mener sur la note de Fermat concernant les cotés des nombres polygonaux)

Différenciation  des notes dans cette étude:

 

En bleu les annotations de Diophante.

En vert les annotations de Fermat.

En bleu marine Emile Brassine

Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvés avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

 

(*) Oeuvres mathématiques et de l'arithmétique de diophante par Emile.Brassine aux éditions Jacques Gabay

Livre I Question 30 On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres

 

On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres.

Solution. Soit p la somme des deux nombres, q leur produit. Diophante prend pour inconnue x, différence de deux nombres, et il remarque que le produit donné , d'où il déduit x. En général, Diopante ramène l'équation du second degré à la forme x²=k: et pour cet effet , il fait constamment usage de cette relation algébrique qu'il énonce sur des nombres particuliers :

 

Cette équation est détaillée sur la page 

Arithmetica I Q 30

Nous aborderons aussi dans cette page:

Le lien de cette équation et les nombres d'or

Le lien de cette équation et les nombres premiers

a.b à différentes puissances

En résumé : 

La différence de deux nombres x et y au carré implique qu' il existe au moins deux autres nombres tel que leurs somme divisè par 2 au carré = le produit de ces deux autres nombres

Exemple X= 7,Y= 2 ; a=7/2 , b=2/2=1 :

Nous retrouverons cette équation sous sa forme  entre autre dans le livre III question XXII et dans la théorie très importante de Fermat des hypoténuses de forme 4n+1

 

Livre II Question IX Diviser un carré donné en deux autres carrés

 

Exemple. Soit 16 le carré donné , j'appellerai N² et 16-N² les carrés cherchés, il reste à trouver N, de telle sorte que 16-N² soit un carré.

Je pose 16-N² = (2n-4)² d'o'ù n = 16/5

Observation de Fermat, le Grand Thèorème de Fermat :

Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrièmes puissance quelconque en deux puissances de même nom au dessus de la deuxième puissance, est une chose impossible, et j'en ai assurément trouvé l'admirable démonstration, la marge trop exiguë ne la contiendrait pas.

Comment Diophante trouve 16/5?

Les 16 s'annulent, -n²=4n² devient 5n²

 

L'on note que:

20/5 - 16/5 =4/5 ,et que 20/5 - 12/5 = 8/5 le double de l'écart

Le dénominateur bien sûr NE S'ADDITIONNE PAS

Remarque: Comme confirmé dans d'autres annnotations , Fermat ne parlait pas seulement des nombres entiers mais de rationnels et ou premiers ou non.

Pour preuve son observation dans la question XXII du livre III : ... seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois ...

Livre II ,X Diviser un nombre qui est la somme de deux carrés en deux autres carrés

Diviser un nombre qui est la somme de deux carrés en deux autres carrés.

Exemple: soit le nombre donné 13=4+9 , j'appelle (2+N)² et (2N - 3)² les deux carrés cherchés; un devra avoir 4+9=(2+N)² + (2N - 3)² d'ou N = 8/5

Un nombre composé de la somme de deux cubes ne pourrait-il pas être décomposé en deux autres cubes? Cette question difficile n'a pas été assurément connus de Viele, de Bachet, et peut être même de Diophante, j'en ai cependant donné la solution dans les notes, à la deuxième question du livre IV

D'aprés cette note de Fermat située juste au probléme suivant , l'on peut raisonablement considérer que Fermat avait déjà étudié le Livre IV (question II)  AVANT d'affirmer son admirable demonstration . De plus, en étudiant un bon nombre de questions et d'annotations de Fermat ,que je détaille ci dessous, Il fait souvent référence à ses théorèmes enoncés sur des questions postèrieures .

Par exemple , les hypoténuses 4n+1 sont évoquées entre autre dans le Livre III question 22 et , Livre V question 12

 

Livre III Question 4 : Trouver 3 nombres tels , que le carré de leur somme étant soustrait de chacun d'eux , les restes soient des carrés

En préambule à la question 22 , nous essayerons de comprendre la méthode et la mise en équation des questions de Diophante:

 

Livre III, Question 22 Trouver 4 nombres tels que le carré de leur somme, augmenté ou diminué de chacun donne un carré

Trouver quatre nombres tels, que le carré de leur somme, augmenté ou diminué successivement de chacun d'eux, donne pour résultat un carré.

Dans cette question Fermat introduit une hypoténuse première de la forme 4n+1 , qu'il évoque aussi dans la question 12 du livre V

Il évoque aussi des puissances > à 2

(Page en cours de rédaction)

 

Livre IV,Question I et II Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée

Question I Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée.

Solution. Nombre donné 370, nombre des cotés des cubes 10.

Un des cubes sera (N+5)3 , l'autre (5-N)3 , leur somme 30N² + 250 = 370 ; d'oû N=2; coté du premier cube 7, cotè du second 3.

Question II   Trouver deux nombres dont la différence soit égale à un nombre donné, et dont la différence des cubes soit aussi donnée.

Solution: différence des nombres 6, Différence de leurs cubes 504. Le premier nombre sera N+3 , le second N-3; la difference de leurs cubes 18N²+54 = 504 , N=5; coté des cubes 8 et 2

Les détails de ces 2 questions et sur l'aritmétique de Fermat utilisé ci-dessous sur la page

Arithmetica IV Q1-2

En extrapolant l'équation de Fermat :   au carré au lieu de cube l'on trouve l'équation suivante :

 

Vous pouvez voir les details de cette recherche dans mes notres du livre IV question 1 et 2

 

Livre V , Question 7 et 8 : Trouver trois triangles rectangles de même aire

 

Pour compléter l'étude de la question du livre III Question 22 dans laquelle je pense que Fermat procéde à une integration (calcul de surface d'une fonction), j'ai décider d'étudier cette question pour comprendre comment Fermat calcule les surfaces de triangles rectangle

Etude détaillée sur la page : vers_livre5q8

 

En résumé :  Diophante et Fermat utilisent l'équation         pour trouver des triangles rectangles de même aire par l'utilisation d'un triangle "de base" , composé des lettres d et b , qu'ils utilisent de manière différente. Ces mêmes lettres , (d et b) sont aussi utilisées dans l'Opéra Varia de Fermat comme étant des coèficients de X et Y d'un Triangle rectangle (Noté d.X et b.Y)

 

Exemple ci contre : le triangle de base de base 5 et hauteur 2 (ayant donc une hypoténuse au carré de 29 ) forme un nouveau triangle rectangle de base Y = (d+b) = 7 et X = (d-b) =3 dont l'hypoténuse au carré égale 7² + 3² = 58  , le double de la première hypoténuse

Livre V , Question 12 Diviser l'unité en deux parties telles que la somme de chaque partie et N soit un carré

Solution. Soit le nombre donné 6 , chaque partie de l'unité plus 6 doit étre un carré ; la somme des deux carrés égale donc 13. Je désignerai par 2 +11N le coté du premier carré , et par 3-9N Le coté du second : la somme des carrés vaut 13 ou 202N² -10N+13=13; d'où N=5/101 les cotés des carrés seront 257/101 , 258/101 , si de ces carrés nous otons 6, il restera pour les segments de l'unité 5358 / 10201 et 4843 / 10201 ...

Etude détaillée sur la page :   

 

Dans cette question , E. Brassine explique :

...d'aprés Fermat si x et y ne sont pas premier entre eux et qu'ils aient un facteur commun k, on aura 4n +1 = k²(x'² + y'²), par la suite (4n+1)/k² = x'² + y'² ; or le quotien du premier membre étant la somme de deux carrés , ne saurait être divisé par aucun nombre premier de la forme 4n-1, ce qui est encore un thèorème de Fermat.

Le quotient du premier membre est donc 4n+1 , E.Brassine nous explique qu'il est la somme de deux carres sans toutefois expliquer pourquoi ; par contre il nous donne une indication précieuse

 

 

Fermat fait encore référence à une hypoténuse de type 4n+1 , somme de deux carrés (4n+1 = x²+y²) . Certains aspects de ce théorème est détaillé dans le chapitre du  théorème des hypoténuses 4n+1 = somme de deux carrés

 

 

Livre V  , Question 24 : Trouver 3 carrés tels que le produit qu'ils forment, augmenté d'un quelconque d'entre eux , fasse un carré

L'on y trouve une note à mon sens trés importante: Fermat rajoute la question suivante :

... Trouver un triangle rectangle dont la base et l'hypoténuse réunis soit le quadruple de la hauteur :

Notes personnelles sur l'étude de l'Arithmetica  

 

Arithmetica I Q 30Arithmetica III Q 22Arithmetica IV Q 1-2Arithmetica V Q 7-8Arithmetica V Q12Arithmetica notes persoHypoténuse 4n + 1

 

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Patrick Stoltz le 181/0/2012 - 4/12/2012 - 22/01/2013  pstoltz@shemath.com