Equation 2nd Degrés

Définition:

Une équation literale telle que nous les utilisons communement tout les jours à la forme ax=b. Par exemple si 5 jeans coûtent 50 € , j'écris 5(jean)=50 , 1(jean)=50/5 =10 €. (x=jean) => 1(x)=10€

Cette expression littérale ax=b implique aussi que ax-b=0 , dans mon exemple si je paye pour 5 jeans 50 € il me sera rendu 0€ => 5(10)-50=0

L'équation de forme ax+b=0 est dite du Premier degrés

Par extension , une équation du second degrés à la forme ax²+bx+c = 0 , 3éme degrés = ax3+bx2+cx+d=0 et ainsi de suite

 

Un peu d'histoire.

Pourquoi une formule aussi compliquée que l'équations du second degrés apparaît dans ce site dédié aux recherches de Diophante et Fermat ?

Alors que Diophante ,ayant vécu entre le Ier-3em siècle, ne disposait même pas des expressions littérales ,celles ci ètants abordées pour la première fois par François Viéte (avocat de son état) fin XVIème siècle !!!

 

Et pourtant ...

Euclide (3éme Siècle avant JC) défini , avec le nombre d'Or , une première forme simple d'une équation du second degrés => x²-x-1 = 0 est une équation du second degrés , ax²+bx+c=0 pour a=1 , b= -1 , c=-1

Saluons au passage le genie méconnu qu'est Fançois Viéte ; Imaginez faire des mathématiques sans expression littérale !!! Examinons par exemple la définition du nombre d'or faite par Euclide: Une droite et dite divisée en moyenne et extrême raison quand la longueur totale de la droite est à la grande partie ce que cette dernière est à la petite partie !!!

 

Dans le livre de Diophante dédié aux nombres polygonaux (dont il ne reste que quelques fragments) , Diophante utilise abondamment les équations du second degrés et rapproche les nombres polygonaux, les progressions arithmétiques et les équations du second degrés

 

Quand à Fermat (XVIIéme Siècle) , disposant lui des expressions littérales il  put "finir le travail" de Diophante

 

Nombre d'or et Equation Diophantesque

En introduction aux Equations du second degrés nous abordons dans ce chapitre le nombre d'or

Nombre d'or

Dans son "éléments de géométrie" , Euclide à défini le nombre d'or comme étant le rapport de       , qui abouti en faisant le produit en croix =>  x(x-1)= 1 qui après développement => x²-x=1 <=> x²-x-1=0  donnant comme une des solutions:

 

Notez que l'expression x²-x-1 = 0 est une équation simple du second degrés :

x²-x-1=0 => ax²+bx+c=0 pour a=1 , b= -1 , c=-1

 

Rappel:

Dans le Livre 1 Question XXX , Diophante fait constamment usage de la formule suivante:

 

4xy = (x+y)² - (x-y)²

C'est à dire : 4 fois le produit de 2 nombres = la somme de ces 2 nombres au carré moins la différence de ces deux nombres au carré

 

Je détaille cette formule sur Youtubes https://youtu.be/givwc4Hftyc

 

 

(1) Source : Le nombre d'or par Fernando Combalan Collection le monde est mathématique

(2) "Axiome" de Diophante voir Arithmetica_livre 1 Question XXX

Démonstration du nombre d'or selon la méthode de Diophante pour n>0

 

Multiplication par 4 des 2 termes de l'équation

 

Dans l'expression 4*x*y = (x+y)²-(x-y)² , replaçons x par n et y par (x-1) .

4n(n-1) = (n+n-1)² - (n-(n-1))² = (2n-1)²- (+1)² ou   (2n-1)² - ((n-1)-n)² =  (2n-1)²- (-1)²

Dans les deux cas 4n(n-1)=4 <=> (2n-1)² - 1² = 4

 

si n est positif alors =>  

 

 

 

Vérification : (n)(n-1)=1 remplaçons n par

 

 

 

(a+b)(a-b)=a²-b²

Démonstration du nombre d'or selon la méthode de Diophante pour +n ou -n

Soit n²=a , n a deux solutions -n ou + n ,  .(+/-n)²=a => 

 

Exemple si a = 49 , n = 7 ou -7 donc (+/-7)²=+49 => 

 

Reprenons la même démonstration :

 

 

 

Vérification : (n)(n-1)=1 remplaçons n par

 

 

(a+b)(a-b)=a²-b² , a²=+a*+a ou -a*-a

Démonstration de l'équation du 2ème degrés

 

multiplication de tous les termes par a

 

factorisation des 2 termes de gauche par an

 

multiplication par 4

 

4xy=(x+y)²-(x-y)² => x=an y=(an+b) =>

(an+an+b)²-(an-(an+b))² ou (an+an+b)²-((an+b)-an)²=

nota  afin de simplifier cette démonstration je note (+/-b)² = b²

 

Comme vu précédemment :

et pour finir

 

Vidéo Youtubes sur le sujet :

Vidéo en 3 parties sur les équations du second degrés:

1/ Définitions des équations

2/ 1:46 Démonstration simple des équations du second degrés

3/ 4:50 Histoire des équations

 

b²-4ac est appelé le discriminant, et représenté par la lettre Grécque 

 

Obtenir entier selon les signes a,b,c

Créer un discriminant égal à un carré pour a et c positif

Si vous voulez créer une équation du second degrés dont le résultat n soit un nombre entier ou factionnaire il  faut que     = b²-4ac soit un carré de telle manière que la racine carré de soit un nombre entier positif.

 

Comment faire?...observez bien ...    =   b²- 4ac , Diophante nous donne la solution : 4ac = (a+c)² - (a-c)²

 

b²- [4ac] = b²-[(a+c)²-(a-c)²] => b²-(a+c)²+(a-c)²

 

Donc si = X² , nous avons déjà une première solution(*) qui nous saute aux yeux :si  b² = (a+c)² alors

b²-(a+c)²+(a-c)² , si  b² = (a+c)²  =>=  (a+c)²-(a+c)²+(a-c)²  => = (a-c)²

Plus simplement : 4ac = (a+c)² - (a-c)² <=> (a-c)² = (a+c)² - 4ac

 

Soit an² + bn + c , na  si b²= (a+c)²

pour a et c positif ou a et c négatif

Rappel :  4xy = (x+y)² - (x-y)²

 

4xy=x²+2xy+y²-(x²-2xy+y²)

 

4xy=+2xy+y²-x²+2xy-y²

 

les x² et y² disparaissent

4xy=+2xy+2xy

Avec cette relation , en connaissant seulement a , b ou c , nous pouvons générer une infinité d'équation du second degrés entière ou fractionnaire...

Exemple si c = +10 , je choisi b = 3+10=> 3n² + 13n + 10 => =49

Pour tester vos résultats cet excellent site : https://calculis.net/resoudre-equation-second-degre

(*) outre les differences de signes (développées ci-dessous) , 4ac = 4*a*c mais aussi 4*1*(ac) , si a ou c pair =4*(1/2a) *(2c) etc etc....

 

Créer un discriminant égal à un carré pour tout signes de a,b,c

-1 x -1 = +1
+1 x +1 = +1
-1 x +1 = -1
+1 x -1 = -1

 

+4ac=(a+c)²- (a-c)²

x-1 =

- 4ac = - (a+c)² + (a-c)²

Peu importe c>a ou a>c puisque (a-c)²

<=>

+ 4ac + (a-c)² = (a+c)²

(a+c)² -(a-c)² + (a-c)² = (a+c)²

 

x-1 =

- 4ac - (a-c)² = - (a+c)²

-4ac+(a+c)²=(a-c)²

- (a+c)² + (a-c)² - (a-c)² = - (a+c)²

 

Pour être plus précis ,et rendre plus compréhensif ce qui suit , quand je parle du signe de a ou c, je considère a ou c comme + ou - la valeur absolue de a ou c que l'on note |a| ou |c| donc +a = +|a| , -a = -|a| . (d'autant plus que ni Diophante ou Fermat ne connaissaient les nombres négatifs en tant que tel)

Soit = b² - [4ac]  , si dans le produit a*c , a et c sont du même signe  alors nous obtenons :

 b² - [4 * +ac] , puisque + a * + c = +ac ou - a * - c = +ac.

si |a|  et  |c] => b² = (|a|+|c|)²  => =  (|a|+|c|)²- 4[+ac] = (|a|-|c|)²   .  = (|a|-|c|)²   

Exemple a et c du même signe + : +3n² + 10n + 7 , a=3 b=10 ,c=7=> = 10² - 4*+3*+7 = 16 =>

(a-c)² = (|7|-|3|)² = 4²

Exemple a et c négatifs : - |3|n² + |10| n - |7| , avec l'"ancienne méthode" : = 10² - 4*-3*-7 = 10² - 4*21 = 16

= (|a|-|c|)²  , a = 3 , c = 7 (et non pas a= -3 ,b= -7) ,  =(|a|-|c|)² ou (|c|-|a|)² =(|3|-|7|)² = (|7|-|3|)² =4²=16

 

Soit = b² - [4ac] , si dans le produit a*c , a et c sont de signes différents  alors nous obtenons  b² - [4 x -ac]

puisque +a * -c = -ac ou -a *+c . -[-4ac] = + 4ac.

Dans ce cas ce n'est pas (a+c)² - 4ac = (a-c)² mais (a-c)² + 4ac = (a+c)²

b² = (a - c)² =>  =  (a-c)² + 4[ac] = (a+c)²  . <=>  = (a+c)²   

Exemple a et c de signe différents : - |7|n² - |4|n + |3| = (-4)²  - 4(-21) = 4² + 84 = 100 =( |a|+|c|)² (7+3)²

en résumé : Soit |a|n² |b|n |c| =>  =>

a et c sont du même signe :

=> a x c = +ac

b² = (|a|+|c|)²

 

 (|a|+|c|)² - 4[+ac] = (|a|-|c|)²

 

a et c sont de signes différents :

=> a x c = -ac

b² = (|a|-|c|)²

 

 (|a|-|c|)² 4[+ac] = (|a|+|c|)²

En résumé

Une des manières de générer une équation du second degrés avec entier:

Soit an²+bn+c

a et c sont du même signe :

  b= a+c

= a-c

a et c sont de signes différents :

  b= a-c

= a+c

Equation second degrés et équation dite "Diophantesque"

Une expression de la forme n(n+1) est dite "Diophantesque". Elle représente le  produit de 2 nombres consécutifs , un nombre dit "oblong" = à la somme des nombre pairs de 1 à n et un double nombre triangulaire. Pour plus de détails , voir la page de ce site sur les nombres polygonaux

Soit le produit de 2 nombres consécutifs trouver ces 2 nombres:

Soit l'équation n(n+1)=c alors => n² + n =c => 1n² + 1n -c =0

c sera forcement négatif , a sera positif donc de signe différent de c

a=1 et b=1

Soit le produit n(n+1)=c

Exemple c=30 ,   => n=5 ou -6. => 5(5+1)=30 et aussi -6(-6+1)  = 30

Plus de détails sur : Diophante Livre des polygonaux

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