Dans L'arithmetica Livre VI question 20 Fermat nous pose le théorème suivant:

MAIS SI un nombre carré est la somme d'un carré et du double d'un autre carré, son coté est pareillement la somme d'un carré et du double d'un carré , comme nous pouvons facilement le démontrer.

Si x²+2y² est un carré alors = (x²+2y²)² doit donc donner un nombre resemblant à x'²+2y'²

Nous regroupons dans ces 3 termes le premier et le deuxième terme

Soit (a+b)² = a²+2ab+b² , a = (x²-2y²) ; b=4y² =>

Remettons un peu d'ordre dans le deuxième terme 2(x²-2y²)4y²

Développons le terme 8y²(x²-2y²) =>

+16y4 et - 16y4 s'annulent donc:

Nota : 8x²y² = 2[2xy)² : un double carré, cette équation peut aussi se représenter par :