Pour générer un triangle rectangle nous pouvons utiliser l'equation de Diophante :
En remplaçant x et y par deux valeurs différentes et de préférence une de ces valeur paire et une autre impaire... (et une calculatrice)
Générer une hypoténuse à partir d'un carré IMPAIR
Soit n'importe quel carré impair est le produit d'au moins 2 nombres impairs² que l'on considère comme étant le produit d'une somme² et d'une différence² alors:
Par exemple 15² = 5²*3² => 
= 17²-8² ,15²=17²-8²
Nota:
15² peut être aussi considéré comme étant aussi égal à 15²*1²
Chapitre précédent
Rappel:
S=x+y
D=x-y
=>15²*1²=113²-112²
Si ce carré impair est premier il est aussi un produit de DEUX nombres impairs,nous considérerons alors D²=1² c'est à dire S²xD² => P²x1² , par exemple 5² = 5²*1² => 5² = 13²-12²
A²=Z²-B² = A²+B²=Z²
si alors 
Nous obtenons un carré S²D² + un deuxième carré [S²-D²]² / 2² égal un carré [S²+D²]² / 2²
Générer des triplets pythagoriciens plus simplement (calcul de tête)
Là ou cela devient intéressant c'est que S est une somme de 2 nombres x et y et que D est leurs différence , soit:
alors (voir démo chapitre précédent):
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Nota: S²+D²=2x²+2y²=2Z |
Nota:S²-D² = (S+D)(S-D) et (x+y)+(x-y)=2x et (x+y)-(x-y)=2y |
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S²D²=(x²+y²)²-(2xy)² => S²D² + 4x²y²=(x²+y²)² = Z² |
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et trouver la valeur de x et y alors que nous avons choisis S et D deviens facile puisque :
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Exemples :
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S²D² |
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Z²=(x²+y²)² |
(2xy)² |
S²D² + 4x²y²=(x²+y²)² = Z² |
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15²=3²*5² |
x= (5+3)/2=4 |
y=(5-3)/2=1 |
(4²+1²)² |
2²*4²*1² |
15²+8² = (16+1)² |
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15²=15²*1² |
x=(15+1)/2 = 8 |
y=(15-1)/2=7 |
(8²+7²)² |
(2*7*8)² |
15²+112²=(64+49=113)² |
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5²*1² |
x=(5+1)/2=3 |
y=(5-1)/2=2 |
(2²+3²)² |
(2*2*3)² |
5²+12²=(4+9=13)² |
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21²=3²*7² |
x=(3+7)/2=5 |
y=(7-3)/2=2 |
(5²+2²)² |
(2*2*5)² |
21²+20²=(25+4=29)² |
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3²=3²*1² |
x=(3+1)/2=2 |
y=(3-1)/2=1 |
(2²+1²)² |
(2*2*1)² |
3²+4²=(4+1=5)² |
Puisque Z²=x²+y² et que 
et 
alors Z² est aussi égal à :
=
Divisibilité d'un triplet pythagoricien par 3
Vous allez surement penser que d'utiliser S²D² + 4x²y²=Z² est plus compliqué que d'utiliser la formule de Diophante (x²-y²)²+4x²y² = Z² mais elle ouvre de nouvelles perspectives dans les triplets pythagoriciens .
Nous pouvons dors et déjà affirmer que dans n'importe quel triplet pythagoricien (premier?) un des 2 cotés est DIVISIBLE PAR 3
Soit SD = (X+Y)(X-Y) =X²-Y² si S et D non divisible par 3 alors X ou Y sera divisible par 3
Si S ou D divisible par 3 alors 2x=(S+D) ET 2y=(S-D) seront NON DIVISIBLE PAR 3
Exemples : 3²+4²=5² , 5² + 12² = 13² , 39²+52²=65² , 20²+21² = 29² ....
Voir démo dans le chapitre divisibilité de SD
