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Conjecture N premiers

 

Petit théoréme de Fermat résumé:

 

En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de l'arithmétique modulaire, qui peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire.

 

Il s'énonce comme suit. Si a est un entier non divisible par p tel que p est un nombre premier, alors a p-1 -1 est un multiple de p. Le corollaire de ce théorème est que, pour tout a entier et p nombre premier, alors a p -a est un multiple de p. (voir aussi clef_de_fermat.html#premice_du_petit_theoreme )

 

Il doit son nom à Pierre de Fermat (1601 - 1665) qui l'énonce la première fois le 18 octobre 1640.

Source Wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat

 

Rappel : nombres premiers de Mersenne :

si alors est-il premier?

non : ne fonctionne pas par exemple pour 211

 

 Conjecture des nombres premiers en corolaire du petit théorème de Fermat

alors n est premier  si  <=>  

Se lit : si le reste de  2n-2 / n est 0 <=> si le reste de 2n-1-1 /n est 0 : si vous n'ètes pas habitué avec et (mod) voir Arithmétique modulaire sur ce site

En corolaire du petit théorème de Fermat, a=2; si le reste (équivalence informatique: modulo(dividende/diviseur)  ou résidu) de a n-a/a  = 0 alors n est premier (sinon n n'est pas premier) Exemple: le reste de 25-2/5 <=> (32-2)/5 est = à 0

Ce n'est qu'une conjecture car il faut pouvoir le démontrer (*),2 n dépassant vite les capacités de calculs des calculateurs classique...

 

Il est trés important de considerer dans cette conjecture que seule une puissance de 2, sépare bien les nombres entiers en 2 ensembles de  nombres , premiers et non premiers

    

Se lit : si le reste de  2n-2 / n est différent de 0

(*) Le professeur Henry Cohen de l'université de Bordeaux note "On ne peut rien conclure si 2n-1 -1 est divisible par n, mais il est assez probable dans ce cas que n soit premier)

Histoire des nombres Edition Tallandier 2007, paragraphe l'intrigue des nombres premiersI

En effet, cette conjecture semble ne pas étre vrai pour (n< 1000) 341,561,645 !!!:

a p-1 -1 est un multiple de p est une conjecture prouvée en supposant que a/p b/p ce qui n'est pas forcément vrai...

Commentaires

 

 Matrice illustrant cette conjecture (a=2)

e petit théorème de Fermat n'isole pas les nombres non premiers:

 

Exemples :

a=3 n=6 , 6 n'étant pas premier , le reste de 36-3/3 devarit étre <> 0

nb: 3 tout comme 2 est premier...

 

n

36

36-3

 726/6

Reste

6 729 726 121 0

 

pour a=5 , n=10

 

n 510 510 -5 510 -5/5 Reste
10 9765625 9765620 976562 0

 

Il semblerai pour tout n/a = 2 ... CQFD

 

pour a= 4 c'est pire...

n 4n 4n-4 4n-4/4 r
2 16 12 6 0
3 64 60 20 0
4 256 252 63 0
5 1024 1020 204 0
6 4096 4092 682 0
7 16384 16380 2340 0

 

Petit préambule - notes:

 

si l'on veut savoir si un nombre est divisible par un autre de tête il suffit:

 

si il est pair : le diviser par 2

si il est impair: lui ôter une mesure (<- comme l'aurait écrit Fermat....)

 

Cet algorithme est issue d'un traitement binaire simple

 .

n 2n 2n – 2 2n – 2 / n Reste

1

2

0

0

0

2

4

2

1

0

3

8

6

2

0

4

16

14

3 1/2

1/2

5

32

30

6

0

6

64

62

10 1/3

1/3

7

128

126

18

0

8

256

254

31 3/4

3/4

9

512

510

56 2/3

2/3

10

1024

1022

102 1/5

1/5

11

2048

2046

186

0

12

4096

4094

341 1/6

1/6

13

8192

8190

630

0

14

16384

16382

1170 1/7

1/7

15

32768

32766

2184 2/5

2/5

16

65536

65534

4095 7/8

7/8

17

131072

131070

7710

0

18

262144

262142

14563 4/9

4/9

19

524288

524286

27594

0

20

1048576

1048574

52428 5/7

5/7

21

2097152

2097150

99864 2/7

2/7

22

4194304

4194302

190650 1/9

1/9

23

8388608

8388606

364722

0

24

16777216

16777214

699050 4/7

4/7

25

33554432

33554430

1342177 1/5

1/5

26

67108864

67108862

2581110 1/9

1/9

27

134217728

134217726

4971026 8/9

8/9

28

268435456

268435454

9586980 1/2

1/2

29

536870912

536870910

18512790

0

30

1073741824

1073741822

35791394 1/9

1/9

31

2147483648

2147483646

69273666

0

32

4294967296

4294967294

134217727 8/9

8/9

33

8589934592

8589934590

260301048 1/6

1/6

34

17179869184

17179869182

505290270 1/9

1/9

35

34359738368

34359738366

981706810 4/9

4/9

36

68719476736

68719476734

1908874353 5/7

5/7

37

137438953472

137438953470

3714566310

0

Si le reste de l'opération = 0 alors n est premier ... sinon n n'est pas premier

Note IMPORTANTE

si

exemple;

221 est-il divisible par 7?

221-7=214

214/2=107

107-7=100

50/2=27

27-7=20

20/2=10

10/2=5

221 n'est pas divisible par 7

(31*7 reste 4)

91 est t-il divisible par 7?

91-7=84

84/2=42

42/2=21

21-7=14

14-7=7

.

Etude modulaire de cette conjecture

Selon les formules des inverses modulaires (voir Arithmetique modulaire sur ce site ) l'on a: ou .

donc ou

 

Accès direct sur les inverses modulaires et les nombres premiers http://schemath.com/math_mod_inverse_modulaire_5.htm

 

Pour la suite cliquez ci dessous

Conjecture N premiers suite

Autres publications sur le sujet

De dominique Guillaume :

http://hal.inria.fr/inria-00076980                 (publication à l'INRIA)

http://link.springer.com/article/10.1007/BF01195532     (publication chez Springer).

 

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Patrick Stoltz le 18/10/2009 maj 2014

pstoltz@shemath.com