Complément à 2

 Explications et tables de vérité

 

En informatique (dans le langage machine des micros-procésseur) nous avons absolument besoin d'une méthode binaire particuliére nomée "Complément à deux" pour pouvoir ajouter les nombres positifs et négatifs.

 

Cette methode consiste à inverser les bits et à ajouter 1

 

Complement à 1 (=not 1 sans ajouter 1):

 

Addition de 1 et not 1 (binaire) en complément à 1

1

0

0

0

1

Not 1

1

1

1

0

1+Not 1

1

1

1

1

+1+-1 = 1111 (0xF) = -0...

Incrémentation de -1 en complément à 1

Not 1

1

1

1

0

-0 (F en hexadécimal)

1

1

1

1

Si l'on incrémente  -1 l'on obtient 1111.

 

Avec le complément à 1 , si l'on ajoute un nombre et son oposé l'on obtient 1111...... :

Le complément à 1 de 0 est 1111.....

Il faut encore ajouter 1 pour obtenir un 0

 

Rappels : Not 1 = inversion des 0 et des 1 , un 1 devient 0 et vise versa.

En binaire les nombres entiers signés, le bit le plus à gauche est dédié au signe, C.A.D. 0 est un nombre positif , 1 est un nombre négatif.

Complement à 2:

 

Exemple 5: (= 2^2 + 2^0)

Rang

signe -

4

2

1

5

0

1

0

1

not 5

1

0

1

0

+1

1

0

1

1

Vérification:

5

0

1

0

1

+ -5

1

0

1

1

C (retenue)

1

1

1

1

0

 

0

0

0

0

rappel table de vérité n-n

Bit

0

1

1

0

-

1

1

0

0

=

(1)1

0

1

0

note importante: 011 =3 est le reste de 8/5:

(et non pas mod 7!)

 

Le complément à 2 de 0 est égal à 0

Les deux zéros et le binaire

sur ce tableau le modulo de ce nombre est un binaire de 1 bit = signe + 3 bits C.A.D mod 7 (0111)

 

Si l'on décremente 0001 l'on obtient 0 (1-1 = 0) , si l'on incremente 7 l'on obtient 1000 CAD -0

Idem pour les négatifs : la représentation en compément à 2 de 0111 -> 1001 décrémenter de 1 -> 1000 CAD -0

-1 en complément à 2 = 1111 (0001->1110+1=1111) +1 est bien egal à 0

 

Selon le sens de l'opération l'on obtient -0 ou +0

Diophante et Fermat et le complément à deux

 

Les mathématiciens anciens ne connaissant pas les nombres négatifs ,avaient déja cette notion de complément à deux comme nous pouvons le voir dans l'analyse de l'équation de Diophante qu'il énonce dans la 30ème question du livre 1 de son Arithmetica.:

 

 

Arithmetica I Q 30

 

Dans les vidéos ci-dessous outre l'écart de 2 à chaque marche, si je me situe entre la marche -1 et +1 alors la marche 0 à une réalité physique differente de rien.

En binaire,le 0 à aussi un état physique: C'est le complément à un. Il faut ajouter aussi le fait qu'en binaire chaque bit à 2 états , c'est le complément à deux.

 

Vidéo (En français) youtubes partie1

Vidéo youtubes partie 2

 
Pour un complément d'information sur l'arithmétique modulaire cliquez sur ce lien

Vision de Pierre de Fermat et complément à deux

Je montre dans la vidéo partie1 , l'existence du zéro ,qui existe sans exister ... , Dans le lien ci-contre, nous verrons comment , dans sa formule des cotés des nombres polygonaux ( et plus particulièrement pour le nombre 2) ,  Pierre de Fermat voit le zéro.

Conjecture des deux zéros pour les nombres triangulaires

 

Démonstration animée du complément à 2 issu des nombres carrés

Lecture des écrits de Fermat et Diophante

 

En lisant ses équations de Fermat et Diophante relative aux nombres polygonaux l'on peut lire ou ce qui m'a pousser à trouver le lien entre le complément à 2 que nous utilisons en langage machine (pour gérer les nombres négatifs) et les nombres triangulaires qui font aussi référence à une puissance de 2

 

En traçant une droite le long de la dérivée, l'on constate qu'elle se "brise" à un.

 

Formules appliquées

si n=0 alors f(n)=0

si n=-1 alors f(x) = 0

 

La droite coupe l'axe des x a 1/2

 

 Conjecture des deux zéros pour les nombres triangulaires carrés

 

Qu'advient t'il des nombres -1,-2,-3 ... avec la formule générale de Fermat ?

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