Arithmetica notes perso

Dans cette page, je note les équations relatives à mon étude sur l'arithmetica et nombres triangulaires (mise au propre de mes brouillons ....

Les lettres et signes utilisés par Fermat:

 

Les lettres d et b

Dans Le livre 5 ,question 8, Trouver trois triangles rectangles de même aire, Fermat utilise les lettres d et b comme étant un triangle de base d'un nouveau triangle rectangle de cotés X et Y

Dans l'exemple ci - contre , le triangle rectangle de coté 5 et 2 (dont l'hypothènuse = ) est le triangle de base d'un nouveau triangle rectangle ; D'un coté  (d+b) = 7 =Y et d'un autre coté (d-b)=3 et d'hypothénuse :

 

La lettre z et z²

Fermat pose dans le même chapitre z²=y²+y² , et z la racine de cette hypothénuse

 

Les signes . et x utilisés pour la multiplication

Fermat utilise soit le signe x pour la multiplication soit le signe .

En ce qui concerne le signe . , il est evident que ce signe ne désigne pas un nombre décimal non entier ou un réél car les nombres décimaux tels que nous les connaisons aujourd'hui n'existaient pas à l'époque (et encore moins les nombres réels...)

Exemple 12.5 ne signifie pas 12,5 (noté à l'époque que l'on doit traduire par 12 + 1/2 et non pas 12 multiplié par 1/2) mais 12 multiplié par 5

 

Au cours de mon étude j'en déduit que Fermat et Diophante utilisent . dans une serie de facteur lequel  FACTORISER.

Par exemple dans le livre 3 , question 22 Diophante dit :

"La somme des nombres sera 65.N, chaque nombre 2 x 39 x 52.N² , 2 x 60 x 25.N² , 2 x 63 x 16.N² , 2 x 56 x 33.N² , leur somme vaudra 12768.N² = 65.N"

Par cette notation différente des x et des . , Diophante nous indique qu'il factorise par N²

 

Notes relatives à la question Livre II Question 9

C'est dans cette question de Fermat pose son grand Théorème

Que veut bien vouloir dire "de tel sorte que 16-N² soit un carré"?

Une surface de 5²-4² C.A.D (5+4)(5-4) devient 3²

Une des bases de Diophante est la différence entre a²+b² et (a+b)²

, la différence est + ou - 2ab

exemple:

5² + 3² = 34 - 2 * 3 * 5 = 4 c.a.d (5-3)²

5² + 3² = 34 + 2 * 3 * 5 = 64 c.a.d (5+3)²

Mais, surtout, une des bases de Diophante pour ses équations du 2em degrès est:

1er forme: Le quadruple du produit de deux nombres est égal a leurs somme au carré moins leurs différence au carré.

2ème forme : la somme de deux nombres au carré est égale à la diffèrence de deux nombres au carré plus 4 fois leurs produit.

En résumé, Comme indiqué dans le Livre III Question XXII

Si on a un triangle rectangle dont l'hypothènuse soit a les cotés b,c puisque a²=b²+c² , a² +ou- 2bc sera un carré.

 

pourquoi 16-N² = (2n-4)² ?

Exemple si l'on pose 3-n = 2n-3 alors 6=3n => n=2

Si l'on généralise alors 2a = 3n => n = 2a/3.

Toutes les hypothènuses sont alignées.

Notes relatives à la question du livre III question 22

Le triangle rectangle d'hypothénuse n²+1

 

d et b sont les lettres utilisées par Fermat comme étant les deux cotés d'un triangle de base , db est égal à deux fois sa surface :

 

si db = n alors  

(n²+1)² - (n²-1)² :

Si un triangle rectangle a pour hypothénuse n²+1 et un autre coté n²-1 alors son 3ème coté = 2n

(n²+1²) - (2n)² :

D''autre part, si un triangle est rectangle ou quelconque  alors

 

Dans la question 30 du livre 1, j'ai détaillé que si p est un nombre premier alors  et n'admet qu'une solution..

En effet si un nombre est premier alors il ne peut être que le produit de ce nombre par 1 ce qui implique que dans l'expression      , le couple    est forcement égal a un seul nombre par 1,(appelé p par la suite).

Dans l'expression ,pour obtenir un triangle rectangle dont l'hypothènuse² ext égale à x²+y², x*y doit étre au moins divisible par 2 , xy 0 (mod 2)

 

Introduction des nombres premiers dans un triangle rectangle

Posons nous maintenant la question essentielle: Pourquoi Fermat appose t'il cette très longue observation sur cette question?

Dans cette question Diophante pose une énigme sur le produit des deux cotés d'un triangle rectangle qui égale la surface du rectangle contenant ce triangle.

Je me suis donc demandé si Fermat avait eût la même deduction et s'était interressé à la surface des triangles rectangles entières (Element essentiel dans les inverses modulaires) dans cette question.

D'autre part, dans le livre V question VIII et IX et le livre 6 question XXVI Fermat apose des observations trés importantes sur la surface des triangles (La surface d'un triangle ne peut égalée un carré).

 

Soit le triangle rectangle formé par , la surface du triangle rectangle de coté et ,(et d'hypothénuse ) est égale à:

 

Si nous calculons la surface du triangle de coté 2p et p²-1 nous obtenons:

Triangle rectangle avec le plus petit coté premier

 

Triangle défini dans le Livre I question 30

 

 

Si  

Si l'on considére que , si ce triangle est rectangle alors ,;qiui aprés produit en croix:  

 

Si n est premier

 

 

n

4n

2xy

x²-y²

Hypo 4n+1

Hypo
=x²+y²

Décomposition de 2xy

=2d*2b

xy

n-(xy/2)

=(4n-2xy)/4

1 4 4 3 5 =2²+1²

2*2*1

2*1*2*1

2 0
3 12 12 5 13 =3²+2²

2*3*2

2*3*2*1

6 0
4 16 8 15 17 =4²+1²

2*4*1

2*2*2*1

4 2
7 28 20 21 29 =5²+2²

2*5*2

2*5*2*1

10 2
9 36 12 35 37 =6²+1²

2*6*1

2*3*2*1

6 6
10 40 40 9 41 =5²+4²

2*5*4

2*5*2*2

20 0
13 52 28 45 53 =7²+2²

2*7*2

2*7*2*1

14 6
15 60 60 11 61 =6²+5²

2*6*5

2*2*3*5

30 0
18 72 48 55 73 =8²+3²

2*8*3

2*2²*2*3

24 6
22 88 80 39 89 =8²+5²

2*8*5

2*2²*2*5

40 2
24 96 72 65 97 =9²+4²

2*9*4

2*3²*2*2

36 6
25 100 20 99 101 =10²+1²

2*10*1

2*5*2*1

10 20
27 108 60 91 109 =10²+3²

2*10*3

2*5*2*3

30 12

 

La dernière colonne + 1/4 est un carré

Si x²+y² = 4n+1 est une hypothénuse alors :

x²+y²-2xy=(x-y)² ; 4n+1-2xy =(x-y)²

Comme xy 0 (mod 2) alors

4n-4(xy)+1 = 4(n-xy)+1=(x-y)²

Notes relatives à la question du livre IVquestion 1 et 2  (Diviser un nombre en deux cubes... )

Extrapolation de l'équation de Fermat  au carré au lieu de cube

A ce point , je rajoute donc une nouvelle question à celles de Bachet : Étant donnés deux carrés, en trouver deux autres dont la différence égale la somme des carrés donnés

Extrapolons la formule  au carré au lieu d'une mise au cube , c'est a dire en utilisant la méthode de Fermat :

Passage des a² et b² de droite à gauche de l'expression :

Remplacement de par sa valeur a / b

Calcul de pour éliminer -2nb et 2na en les égalant à 0

Factorisation par n² du terme et factorisation du terme

Isolons n² par multiplication de l'inverse de (a²-b²)/b² au terme de gauche 2(a²-b²)

Remplaçons maintenant, dans l'expression , par a/b et n par

Notes sur polygonaux / Triangulaires carré et théorie des carrés topologiques

Topologie impaire

nombre triangulaire & carré topologique pair

Une altitude de 9 forme un carré de 5  - un carré de 4 (en blanc) selon le principe d'un carré topologique impair

pour un triangle rectangle noté a,b et c son hypothénuse, A est l'altitude d'un nombre trianglaire carré.

Le carré d'un nombre impair produisant un nombre impair alors:

b est un nombre entier impair , b² = A ,

Selon la démonstration ci dessus des triangulaires carrés

= formule de topologie impaire pour c

 

a²=c²-b²

 

= formule de topologie impaire pour a

 

exemple:

 

3² = 9; A=9

 

 

 

9+1/2 = 5

 

 

3²=5²-4²

 

(9+1/2)²+3²

 

(81+18+1)/4-36/4

 

(100-36)/4 = 16

 

Topologie Paire (b pair)

Un carré pair est composé de  2 Altitudes
Ces 2 Altitudes recomposent un nouveau triangle selon le modèle "carré pair".

La couronne de ce carré de topologie paire est formé à partir de 2 TC (triangulaire carré):

un TC etant toujours impair TC+TC est toujours pair donc divisible par 2

= , =

 

La somme de ces 2 triangulaires= b² = A1 + A2

 

calcul de a:

=

= formule de topologie paire pour a

 

calcul de c: c²=a²+b²

 

par factorisation

,

 

exemple:

 

a1=7 , a2=9

 

 

 

 

 

 

b²=16

16=(16/2+1)+(16/2-1)=9+7

 

 

 

7-1/2

 

 

 

 

16/4-1 = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Notes sur "Clef de Fermat" Correspondance de cette formule et les nombre polygonaux

Si nous voulons inclure 1 dans la sequence du numérateur ( ) ; si n=2 alors

 

Exemple  

 

Je vous rappelle que la formule des nombres polygonaux est   ( P = le nombre de cotés du polygone ) , nous commençons à entrevoir la correspondance entre les nombres polygonaux et leurs cotés...

Notes sur "Clef de Fermat" Recherche de triangulaires / dénominateur commun

 

 

Soit a = 14 réalisons un tableau de sa factorielle :

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

et le Triangulaire juste inférieur à 14 , c'est à dire et réalisons aussi sa factorielle par

3

4

5

= 60 =10

1

2

3

6

Démonstration compliquée (Conseil

 

Pour soustraire la deuxième factorielle de la première , comme bon collégien , il faut mettre la deuxième factorielle au même dénominateur (n-1!) en multipliant en haut et en bas par 4*5*6*7*8*9*10*11*12*13 donc:

(ouf ! ...lol)

 

Pour réaliser la soustraction: il faut regrouper les facteurs communs des deux termes, puis factoriser et soustraire :

Nota : Soit , ce deuxième nombre ne peut être supérieur à n (dans cet exemple il est égal)  sinon il serait = à n+1 et serait un triangulaire supérieur.

Réalisons une nouvelle itération pour 4 , le triangulaire inférieur étant 3 alors :

 ; Donc 14 = 10+3+1 =   (4) +   (2)  +   (1)

Vous me dirai que cela fonctionne par ce que le nombre choisi 14  -   (4) est relativement petit (dans l'exemple 14-10 =4) , donc généralisons cette itération pour vérifier.

Premier écart entre un nombre n  = et ; les nombres indiqués dans cette formule (2,3,4 ) sont des constantes

Mise de   (a) au même dénominateur que n: Etant donné que diviseur du triangulaire   (a) = 1 x 2 x .... x(a-1)  Il faut multiplier le diviseur de a jusqu'a (n-1) => a x a+1 x ...x (n-1) ; et par consequent aussi le numérateur :  .

Dans la séquence du numérateur : ,la séquence   se répète deux fois donc :

Vérification : Les éléments communs des deux numérateurs et du dénominateur commun sont   et les facteurs différents sont : 2*n  et a*a+1

Ce qui donne bien après simplification cet écart entre n et   (a) :

Mais cette démonstration N'ABOUTI QU'A UN SIMPLE VERIFICATION

 

1/ Recherche d'un triangulaire contenu dans n par le "crible de Fermat"

 

....que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires...

Afin de trouver un triangulaire contenu dans un nombre , j'ai fait une première recherche par les dénominateurs communs entre 2 triangulaires (sur ce lien (dans mes notes perso) , qui n'abouti qu'a une vérification de .

 

Il existe un moyen beaucoup plus simple, qui va vous paraître au premier abord très empirique, pour trouver le plus grand nombre triangulaire contenu dans un nombre (nous verrons par la suite que plusieurs triangulaires sont possible ... ) . Ce moyen nous est indiqué par Fermat dans sa note du 4 Novembre 1636 (à Roberval) où Fermat exprime  le quadruple du triangulo-triangulaire par la formule   ,J'avais observé  (sur la page des nombres polygonaux) que si le diviseur était égal à 1.2.3.4, et que je supprime le .4 (. est le signe pour la multiplication utilisé par Fermat) , ce nombre est bien le quadruple de

 

 

Prenons maintenant la factorisation de 14 par et positionnons la série de facteurs de 14 dans un tableau:

:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

   =14

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Par le même moyen que nous avons utilisé pour rechercher le coté d'un triangulaire (Rappel par l'exemple ci-dessous ou en détail sur ce lien )

Si   (5) = 15 alors

 

Trouvons le triangulaire contenu dans le nombre  14

La série de fractions de   est :

(2)=

x

= (3)

x

= (4)

x

= (5)

x...

(pour n>1)   (n)

3 4 5 6 n+1
/ / / / /
1 2 3 4 n-1

<=>

2*3/2=3

 

<=>

3*4/2=6

 

<=>

4*5/2=10

 

 

 

 

Si , dans le tableau de n , je raye le nombre 3 du numérateur alors:

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

=

14

/

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

et je raye le nombre 1 du dénominateur alors :

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

  =

14*1

/

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Cela revient à multiplier par l'inverse du premier triangulaire , =14* (1/3) =14/3. Dans ce résultat 14 > 3 => le résultat de cette division sera > 1.

Le résultat de la division Euclidienne => 14/3 = 4 reste 2 ) ,Recommençons avec le triangulaire +1

Rayons le nombre 4 du numérateur et le nombre 2 du dénominateur alors :

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

=

   14*2

/

(3*4=12)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

=28/12  > 1 (= 2 reste 4) , nous recommençons l'itération

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

=

   28*3=84

/

(12*5)=60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

= 84>60 (=1 reste 24) si je continu (étant donné le résultat de la division ) le numérateur deviendra inférieur au numérateur (= 84*4/60*6=336/360)

Pour trouver le triangulaire contenu dans n (14 dans l'exemple ) Nous avons donc multiplié successivement l'inverse des facteurs d'un nombre triangulaire de la formule c'est à dire jusqu'à obtenir 1 , le plus grand triangulaire possible (*) plus un reste...

(*) Nous verrons par la suite qu'il peut exister plusieurs triangulaire possible , mais qu'un seul abouti à trouver le moins de triangulaires possible contenu dans n...  

 

2

                     

14

=

28

/

20

     

4

5

               

Nous obtenons donc l' inverse du triangulaire contenu dans n multiplié par ce nombre ,  , plus généralement : 

Puisqu'un des deux diviseurs est divisible par 2 ,alors divisons un des deux et "rayons" 2 du numérateur 

 

1

                     

14

=

14

/

10

 

4/2=2

 

 

5

               

 

Nous calculons = 1 reste 4 égal aussi au numérateur-diviseur = 14-10=4

 

Recherche des triangulaires contenus dans 4 :

 

2

3

4

=>

2

3

4

=>

8

/

6

1

2

3

1

2

3

4 - 3 = 1 ,  Donc 14 = 10+3+1 =   (4) +   (2)  +   (1) . Grâce à ce moyen nous nous somme passé des dénominateurs communs (de cette démonstration)

 

Nombres triangulaires et arithmétique modulaire.

 

Grâce à cet algorithme , j'ai réussi à prouver et à vous "faire avaler" que 14-10 = 4 =  14/10 ... Étonnant non ?  Et pourtant si   le quotient d'une division = 1 alors une division égale une soustraction . Sur l'exemple ci - contre ,  12-7 = 5 équivaut au  reste de 12/7 =5

D'ou aussi dans la recherche du PGCD entre 2 nombres , il existe 2 algorithmes : soustractions successives ou diviseur / division / reste.

 

C'est le principe même de l'arithmétique modulaire. si le quotient = 1 alors Dividende - diviseur = Dividende reste (mod Diviseur)

 

Dans l'exemple donc , 14/10 = 10/10 + 4/10 = 1 + 4/10 , dans 4/10 nous avons 4 au numérateur n'excédant pas le premier triangulaire trouvé par le "crible de Fermat" représenté  par le dénominateur (Fermat et Diophante dirait "mesuré par un triangulaire) ; 4 est < à 14

 

En fait ,par ce moyen , nous ne trouvons pas le plus grand triangulaire contenu dans n , mais le premier triangulaire dont le reste ne dépasse pas ce triangulaire (peut être égal , par exemple pour 20 = 20/10 = 10/10 + 10/10)

 

Important : si (dans l'exemple) 28/20 est arithmétiquement égal à 14/10 , dans l'arithmétique modulaire ce n'est pas vrai :

20/28 = 1 reste 8 alors que 14/10 = 1 reste 4

Je note le quotient de la division Euclidienne différent de  , coefficient qui multiplie les 4 opérateurs d'une division

Inverse d'un triangulaire:

 

Réaliser un "Crible de Fermat" paraît fastidieux et empirique mais j'ai détaillé ce mécanisme pour vous montrer qu'en fait, pour trouver un triangulaire tel que n /       (a)    =1 + reste,  nous avons multiplié n par l'inverse d'un triangulaire. Quand nous avons "criblé" 14 pour trouver le premier Triangulaire :

 

2

3

4

5

6

7

...

14

1

2

3

4

5

6

...

13

 

nous avons en fait divisé n=2x3x4x...14/13! par 3x4x5 /3! => ;(colonne 3! <=> i=2) inverse que nous trouvons en divisant la première ligne du tableau des "cotés d'un nombre polygonal"  (N=1 toujours égal à 1) par la troisième ligne du tableau de la colonne 3! (correspondant à 1*2*3 "rayés" dans le crible.

1!

2!

 3!

4!

5!

6!

7!

i=0

i=1

i=2

i=3

i=4

i=5

i=6

N=1

1

1

1

1

1

1

N=2

3

4

5

6

7

8

N=3

6

10

15

21

28

36

 

Puis , de nouveau nous avons multiplié le reste de 14/10 c'est à dire 4 par un nouvel inverse : 1/3 =>4/3 = 1 reste 1 , 1 représentant dans ce cas le troisième triangulaire.

 

 

notation:

La récurrence décrite peut être représentée par:

 

 

Recherche des triangulaires qui composent un nombre :

44

44

44

44

1/T(6)

1 / T(7)

1 / T(8)

 1 / T(9)

44

/

21

=2 r=2

44

/

28

=1 r=16

44

/

36

=1 r=8

44

/

45

=0 r=45

Plusieurs triangulaires possible par un  autre exemple : n=44

Si nous recherchons les triangulaires contenus dans 44 tel que    =1 (dans la colonne T de la matrice ci-dessus ), nous trouvons (ci contre)  28 (7*8/2) , et 36 (8*9/2) :

Si nous décomposons le reste de 44/28 => r =16 alors nous trouvons deux triangulaires 15 et 3

Si par contre nous décomposons le reste de 44/36 => r = 8 alors nous trouvons 3 autres triangulaires : 6 + 1 + 1

Selon Fermat :

OBS DE FERMAT. Bien plus , j'ai découvert le premier une proposition très belle et très générale, savoir ; que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires;...

Tout nombre est composé de 3 Triangulaires maximum , C'est à dire divisible par un Triangulaire , exemple 10 est composé d'un Triangulaire , =1  r=0) , par deux Triangulaires (30 est composé de 2*T(6) c'est à dire 2*15   ,  =2 r=0 ) ou par Trois Triangulaires égaux ou non , =3  r=0 ou trois récurences maximum

Vision de et Complément à deux

Introduction de Zéro:

Si nous voulons , pour une meilleure lisibilité, faire coïncider la formule ,et sa factorielle correspondante alors nous devons modifier la valeur de ,qui s'incrémente de 1 à n-1, en 0 à n-2 et compter à partir de zéro 0. (rappel n>1) .

Exemple soit le nombre 3 , au lieu de compter  de 1 à 3-1 c'est à dire =1 , =2 nous comptons de 0 à 3-2 , c'est à dire =0, =1 ; le nombre de boucles restant identique.

 

 

Autant cette nouvelle formule n'est pas mathématiquement très académique mais est totalement correcte en informatique (for i=0 to n-2 ... au lieu de: for i=1 to n-1 ; Dans la boucle for i=0 to n-2 si n=2 alors la boucle s'effectuera une fois.)

 

Modifions ainsi cette formule pour un nombre triangulaire :

 

 

 

 

L'arithmetica DiophanteNombres polygonauxLa clef de FermatN premiers Petit Théoreme. Arithmétique modulaireCarrés topologiquesBoite A outilsAvis / Contact
AccueilL'arithmetica DiophanteArithmetica notes perso
IndexArithmetica I Q 30Arithmetica III Q 22Arithmetica IV Q 1-2Arithmetica V Q 7-8Arithmetica V Q12Arithmetica notes persoHypoténuse 4n + 1