Livre V , Question 8 : Trouver trois triangles rectangles de même aire

Trouver 3 triangles rectangle de même aire

Considérons l'expression  , Diophante cherche deux nombres dont le produit , plus la somme des carrés , fasse un carré.

Solution : La question précedente donne pour ces nombres 1 , 3/5 , ou 5 et 3. Si on multiplie les cotés par 5 : 3/5 * 5 = 3 et 1*5 = 5 (Voir le tableau et explications ci-dessus) On trouve en effet 5² + 3² + 5 x 3 = 7². Celà posé , on remplace dans la formule x et y par 3,7 par 5,7 par 7, 3+5 = 8 , et on forme les trois triangles rectangles : 40, 42 , 58 ; 24 ,70,74 : 15,112,113 dont l'aire est 840.
(40 * 42)/2 = 840 , (24*70) / 2 = 840 , (15*112)/2 = 840 Nota : Je reproduit trés scrupuleusement les équations tels qu'écrites , mais je constate que Y étant plus grand que x , x² - y² est négatif et devient positif avec sa mise au carré .. . Pas facile à comprendre ,vérifions ces nombres dans un tableau.
La surface 840 =  3 x 5 x 7 x 8 la surface 2xy(y²-x²)/2 est égale à xy(y²-x²)   x y (y²-x²) 2xy (x²+y²) 2xy*(y²-x²)/2 3 7 40=5x8 42=2*3*7 58 840=3x7x5x8 5 7 24=8x3 70=2*5*7 74 840=5x7x8x3 7 8 15=3x5 112=2*7*8 113 840=7x8x3x5	Représentation en un triangle rectangle de la formule (x²-y²)² + (2xy)² = (x²+y²)² :  Ses cotés x²-y² et 2xy son Hypothénuse = x²+y² ,   Exemple x=3 y = 7 (x²-y²) 2xy H=x²+y² 7²-3²=40 2*3*7=42 3²+7²=58

Diophante choisi les nombres de la question précédente car si x² + xy +y²  est un carré, x² + 2xy + y² est aussi un carré, en effet : 3² + 3x5 +5² = 7² , 3² + 2 x (3x5) + 5² est aussi un carré c'est à dire 9 + 30 + 25 = 64 = 8²

Equation Diophantesque : n²+n = n(n+1)

Remarquons toute l'astuce de ces nombres , quand x et y sont deux des quatres nombres du produit 3 x 5 x 7 x 8 , x²-y² sont les deux autres nombres:

Si nous prenons les chifres de Diophante  3² + 3*5 + 5² + 3*5 = 8² et que nous passons un des deux 3*5 dans le terme de droite alors nous obtenons une triple égalité : 3² + 3*5 + 5² = 8² - 3*5 = 7²

Pour le troisiéme triangle de même aire , le procédé est plus simple , nous n'avons besoin que d'une double égalité :

Vision graphique des surfaces de carrés de Diophante

Remarque importante: La somme de deux nombres au càrré moins la différence de deux nombres au carré égal 4 fois le produit de ces deux nombres :

 (b + d)² - (b - d)² = 4bd

La somme de deux nombres au càrré plus la différence de deux nombres au carré égal deus fois la somme du carré de ces deux nombres  :

(b + d)² + (b - d)² = 2(b² + d²)

OBS de Fermat. Mais peut-on trouver 4, ou plusieurs triangles rectangles en nombre infini, de même aire. Rien ne paraît s'opposer à ce que la question soit possible, celà sera recherché ulterieurement; nous avons de plus construit ce problème : Etant donné l'aire d'un triangle, trouver une infinité de triangles recatangles de même aire.

Etant donné l'aire , 6 qui appartient au triancle rectangle dont les coté sont 3 , 4 , 5 , en voici un autre de même aire : 7/10 , 120 / 7 , 1201/70, ou si l'on veut le reduite au même dénominateur : 49/70 , 1200/70 et 1201/70.

Vision numérique :

Appliquons l'exemple de Fermat du triangle 3,4,5 à cette formule pour y voir un peu plus clair... b=4 d=3 z=5 z²=25

On peut simplifier les deux cotés : et

Dans cette relation ; puisque 49² + 1200² = 1201² alors

2z(b²-d²) est un dénominateur commun et ne varie pas

Vision arithmétique:

Remplaçons dans avec les valeurs données par Fermat , x=b²+d²=z² et y=2bd

Ce nouveau triangle aura une aire égale à l'aire du précédent ; de ce second triangle, par la même méthode un troisième sera formé , du troisième au quatrième, du quatriéme un cinquième, et il sera fait à l'infini des triangles dissemblables de même aire ; et qu'on ne doute pas qu'on en puisse avoir d'autres que les trois donnés par Diophante, savoir : 1° 40,42,58 : 2° 24,70,74 ; et 3° 15,112,113 , ajoutns un quatrième dissemblable et cependant de même aire :

hypothénuse , base , hauteur.

A partir de ce point, il m'a été trés difficile de reconstitué ces chiffres , surtout le dénominateur commun 1189 , j'ai donc décomposé ces nombres (issus d'une simplification ?) pour retrouver d et b et pour trouver de quel triangle Fermat nous parle...

Si l'on remplace tel que nous le dit Fermat d=49 , b=1200 , z=1201 à partir de ses nombres de l'exemple 3,4,5 l'on obtient , aprés simplification, deux nouveaux cotés :

de surface 6

En fait , aprés avoir décomposé 1189 comme étant = à 41 * 29 , (20+21)*29 , et extrapoler b=21 , d=20 (b=42 et d=40)  ,j'en conclus que dans ce paragraphe  Fermat nous parle des triangles de Diophante ,de surface de 840 (et non pas de surface 6)... Vérifions avec b=42 , d=40 et z=58

La surface du rectangle ainsi obtenu qui divisé par 2 donne bien une surface de 840. Il faut immaginer que Fermat faisait tout ces calculs à la main ...

Ces triangles , par la réduction au même dénominateur , donneront , en nombres entiers, les suivants de même aire

De la même manière on trouvera à l'infini des triangles rectangles de meme aire ; et la question suivante sera un pas au delà des limites posées par Diophante :

Voici par une autre mèthode, un triangle dont l'aire est égale à six fois un carré , comme pour le triangle 3 , 4, 5 ; savoir 2896804 , 7216803 , 7776485.

La signification de 6 fois un carré est pour le moins mystèrieuse...

Dans un premier temps , décomposons 2896804 , 7216803, 7776485  pour trouver la méthode de Fermat !!! et dire que de tels carrés furent trouvés sans calculatrice !!!

Moi , par contre , heureusement j'en avais une....

Méthode de recherche selon question 7:

Aprés quelques recherches , j'ai appliqué ces chiffres au tableau formé par l'équation de Diophante de la question 7 , n²+n+1 = (n-2)² , (et nojn pas question 8) pour proposer ce tableau :

Ce qui ne m'a pas inspiré grand chose , sauf que Fermat nous parles de diférents carrés de 840 ...

Méthode de recherche selon question 8:

Si j'applique la  rechercher l'équivalence b et d par raport au terme x² et y² .sur ce triangle nous obtenons les résultats suivants:

Dans le premier terme de ce triangle rectangle  2896804 = 4x37²x23²  Si je considére 37 comme une somme et 23 comme une différence, et que je recherche les 2 nombres d+b = 37 et d-b = 23 :

d= (37+23) / 2 = 30 et b = (37-23) / 2 = 7 , ce qui me donne : 2896804 = 4 * 37² * 23² = 4(30 + 7)²(30² - 7²)² = 4(30²-7²)²

Pour le deuxième terme : 7216803=3 * 47² * 33² = 3(40+7)²(40-7)²=3(40²-7²)²