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Livre V , Question 8 : Trouver trois triangles rectangles de même aireTrouver 3 triangles rectangle de même aire
Considérons l'expression , Diophante cherche deux nombres dont le produit , plus la somme des carrés , fasse un carré.
Diophante choisi les nombres de la question précédente car si x² + xy +y² est un carré, x² + 2xy + y² est aussi un carré, en effet : 3² + 3x5 +5² = 7² , 3² + 2 x (3x5) + 5² est aussi un carré c'est à dire 9 + 30 + 25 = 64 = 8²
Equation Diophantesque : n²+n = n(n+1)
Remarquons toute l'astuce de ces nombres , quand x et y sont deux des quatres nombres du produit 3 x 5 x 7 x 8 , x²-y² sont les deux autres nombres: Si nous prenons les chifres de Diophante 3² + 3*5 + 5² + 3*5 = 8² et que nous passons un des deux 3*5 dans le terme de droite alors nous obtenons une triple égalité : 3² + 3*5 + 5² = 8² - 3*5 = 7²
Pour le troisiéme triangle de même aire , le procédé est plus simple , nous n'avons besoin que d'une double égalité :
Vision graphique des surfaces de carrés de Diophante
Remarque importante: La somme de deux nombres au càrré moins la différence de deux nombres au carré égal 4 fois le produit de ces deux nombres : (b + d)² - (b - d)² = 4bd La somme de deux nombres au càrré plus la différence de deux nombres au carré égal deus fois la somme du carré de ces deux nombres : (b + d)² + (b - d)² = 2(b² + d²) OBS de Fermat. Mais peut-on trouver 4, ou plusieurs triangles rectangles en nombre infini, de même aire. Rien ne paraît s'opposer à ce que la question soit possible, celà sera recherché ulterieurement; nous avons de plus construit ce problème : Etant donné l'aire d'un triangle, trouver une infinité de triangles recatangles de même aire. Etant donné l'aire , 6 qui appartient au triancle rectangle dont les coté sont 3 , 4 , 5 , en voici un autre de même aire : 7/10 , 120 / 7 , 1201/70, ou si l'on veut le reduite au même dénominateur : 49/70 , 1200/70 et 1201/70.
Vision numérique : Appliquons l'exemple de Fermat du triangle 3,4,5 à cette formule pour y voir un peu plus clair... b=4 d=3 z=5 z²=25
On peut simplifier les deux cotés : et Dans cette relation ; puisque 49² + 1200² = 1201² alors 2z(b²-d²) est un dénominateur commun et ne varie pas
Vision arithmétique: Remplaçons dans avec les valeurs données par Fermat , x=b²+d²=z² et y=2bd
Ce nouveau triangle aura une aire égale à l'aire du précédent ; de ce second triangle, par la même méthode un troisième sera formé , du troisième au quatrième, du quatriéme un cinquième, et il sera fait à l'infini des triangles dissemblables de même aire ; et qu'on ne doute pas qu'on en puisse avoir d'autres que les trois donnés par Diophante, savoir : 1° 40,42,58 : 2° 24,70,74 ; et 3° 15,112,113 , ajoutns un quatrième dissemblable et cependant de même aire :
hypothénuse , base , hauteur.
A partir de ce point, il m'a été trés difficile de reconstitué ces chiffres , surtout le dénominateur commun 1189 , j'ai donc décomposé ces nombres (issus d'une simplification ?) pour retrouver d et b et pour trouver de quel triangle Fermat nous parle...
Si l'on remplace tel que nous le dit Fermat d=49 , b=1200 , z=1201 à partir de ses nombres de l'exemple 3,4,5 l'on obtient , aprés simplification, deux nouveaux cotés : de surface 6
En fait , aprés avoir décomposé 1189 comme étant = à 41 * 29 , (20+21)*29 , et extrapoler b=21 , d=20 (b=42 et d=40) ,j'en conclus que dans ce paragraphe Fermat nous parle des triangles de Diophante ,de surface de 840 (et non pas de surface 6)... Vérifions avec b=42 , d=40 et z=58
La surface du rectangle ainsi obtenu qui divisé par 2 donne bien une surface de 840. Il faut immaginer que Fermat faisait tout ces calculs à la main ...
Ces triangles , par la réduction au même dénominateur , donneront , en nombres entiers, les suivants de même aire
De la même manière on trouvera à l'infini des triangles rectangles de meme aire ; et la question suivante sera un pas au delà des limites posées par Diophante : Voici par une autre mèthode, un triangle dont l'aire est égale à six fois un carré , comme pour le triangle 3 , 4, 5 ; savoir 2896804 , 7216803 , 7776485. La signification de 6 fois un carré est pour le moins mystèrieuse... Dans un premier temps , décomposons 2896804 , 7216803, 7776485 pour trouver la méthode de Fermat !!! et dire que de tels carrés furent trouvés sans calculatrice !!!
Moi , par contre , heureusement j'en avais une.... Méthode de recherche selon question 7:
Aprés quelques recherches , j'ai appliqué ces chiffres au tableau formé par l'équation de Diophante de la question 7 , n²+n+1 = (n-2)² , (et nojn pas question 8) pour proposer ce tableau :
Ce qui ne m'a pas inspiré grand chose , sauf que Fermat nous parles de diférents carrés de 840 ...
Méthode de recherche selon question 8:
Si j'applique la rechercher l'équivalence b et d par raport au terme x² et y² .sur ce triangle nous obtenons les résultats suivants: Dans le premier terme de ce triangle rectangle 2896804 = 4x37²x23² Si je considére 37 comme une somme et 23 comme une différence, et que je recherche les 2 nombres d+b = 37 et d-b = 23 : d= (37+23) / 2 = 30 et b = (37-23) / 2 = 7 , ce qui me donne : 2896804 = 4 * 37² * 23² = 4(30 + 7)²(30² - 7²)² = 4(30²-7²)² Pour le deuxième terme : 7216803=3 * 47² * 33² = 3(40+7)²(40-7)²=3(40²-7²)²
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