Arithmetica V Q 7-8

En bleu les annotations de Diophante.

En vert les annotations de Fermat.

En bleu marine Emile Brassine

Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvés avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

 

Livre V , Question 7 : N² + N + 1 soit un carré

 

Trouver deux nombres tels, que si on ajoute leur produits avec la somme des carrés des deux, le résultat un carré.

Solution, Premier nombre 1 , second N, il faut que N² + N + 1 soit un carré. On l'égale à (N-2)² , d'ou N = 3/5

Les nombres de cette question seront utilisés par la suite., nous alons néanmoins rédiger et vérifier cette équation:

Elimination des n² , 1 passe à droite :

Vérification :

 

Puisque le premier carré est 3/5 et le secons est 1 alors ces deux carrés multipliés par 5 deviennent des equivalent entier des carrés 3 et 5 . Donc 3² + 3*5 + 5² est un carré égal à 7 (9+15+25=49)

Si n est une fraction est un carré mais aussi est  un carré (x+y)

Généralisation de cette formule

Si l'on remplace le 2 de (n-2) par 2 puissance  , l'on obtient

n² passe à gauche , +1 à droite  , 2n2x -> nx+1

Comme ci-dessus , si n est une fraction alors si  alors

égale à un carré

 

 

X=22x-1 Y=2x+1+1

X²+XY+Y²

X²+2XY+Y²=(X+Y)²

1

3 5 7 8

2

15 9 21 24

3

63 17 73 80

4

255 33 273 288

5

1023 65 1057 1088

6

4095 129 4161 4224

7

16383 257 16513 16640

8

65535 513 65793 66048

 

 

Livre V , Question 8 : Trouver trois triangles rectangles de même aire

Solution :  

Considérons l'expression  , Diophante cherche deux nombres dont le produit , plus la somme des carrés , fasse un carré.

 

La question précedente donne pour ces nombres 1 , 3/5 , ou 5 et 3. On trouve en effet 5² + 3² + 5 x 3 = 7². Celà posé , on remplace dans la formule x et y par 3,7 par 5,7 par 7, 3+5 = 8 , et on forme les trois triangles rectangles : 40, 42 , 58 ; 24 ,70,74 : 15,112,113 dont l'aire est 840.

(40 * 42)/2 = 840 , (24*70) / 2 = 840 , (15*112)/2 = 840

Nota : Je reproduit trés scrupuleusement les équations tels qu'écrites , mais je constate que Y étant plus grand que x , x² - y² est négatif et devient positif avec sa mise au carré .. .

 

Pas facile à comprendre ,vérifions ces nombres dans un tableau.

La surface 840 =  3 x 5 x 7 x 8

la surface 2xy(y²-x²)/2 est égale à xy(y²-x²)

 

x y (y²-x²) 2xy (x²+y²) 2xy*(y²-x²)/2
3 7 40=5x8 42=2*3*7 58 840=3x7x5x8
5 7 24=8x3 70=2*5*7 74 840=5x7x8x3
7 8 15=3x5 112=2*7*8 113 840=7x8x3x5

 

Représentation en un triangle rectangle de la formule (x²-y²)² + (2xy)² = (x²+y²)² :  Ses cotés x²-y² et 2xy son Hypothénuse = x²+y² ,

 

Exemple x=3 y = 7

(x²-y²)

2xy

H=x²+y²

7²-3²=40

2*3*7=42

3²+7²=58

 

Diophante choisi les nombres de la question précédente car si x² + xy +y²  est un carré, x² + 2xy + y² est aussi un carré, en effet : 3² + 3x5 +5² = 7² , 3² + 2 x (3x5) + 5² est aussi un carré c'est à dire 9 + 30 + 25 = 64 = 8²

+ 3 x 5

+5²

 

 

= 7²

+ 3 x 5

= 8²

 

Equation Diophantesque : n²+n = n(n+1)

 

Remarquons toute l'astuce de ces nombres , quand x et y sont deux des quatres nombres du produit 3 x 5 x 7 x 8 , x²-y² sont les deux autres nombres:

Si nous prenons les chifres de Diophante  3² + 3*5 + 5² + 3*5 = 8² et que nous passons un des deux 3*5 dans le terme de droite alors nous obtenons une triple égalité : 3² + 3*5 + 5² = 8² - 3*5 = 7²

 

Triple égalité :

(7²) = (7²) = 7²

Dans l'équation (7²=7²):

+3x5+=8²-3*5

on passe 3² ou 5² à droite

Factorisation n²+n = n(n+1) dans le terme de gauche

n=5

n=3

Ce qui détermine X et Y pour les 2 premiers cas :

 

(3²+3x5+5²)  = (8²-3*5) = 7 ²

3x5+5²=  (8²-3*5)- 3²  

5(5+3)  = 7²-3²=5x8

Y=7 et X = 3

3²+3x5 = (8²-3*5) - 5²

3(5+3)  = 7²-5²=3x8

Y=7 et X = 5

Pour le troisiéme triangle de même aire , le procédé est plus simple , nous n'avons besoin que d'une double égalité :

7² + 3x5 = 8²   8² - 7² = 3 x 5 y=8 et x=7

 

Vision graphique des surfaces de carrés de Diophante

Visualisation graphique du chapitre ci contre:

 

 

Si dans l'expression  j'introduis, comme le préconise Diophante dans son exemple, les nombres y=7 et x=3 alors je recherche à quelles nombres , b et d, correspond la somme 7 et la différence 3 dans le terme de gauche  

C'est à dire : 

J'applique donc la formule (décrite dans l'"axiome de Diophante au Livre 1 question 30)   pour trouver ces deux nombres décris par Fermat (ci dessous) comme étant un "triangle de base". En fait je remplace  X par (d-b) et  Y par (d+b)

7² (49 ) - 3² (9) = 4*10 , 10 étant le produit de 5 et 2 alors ce "triangle de base" est composé de b=5 et d=2 : L'hypothénuse carré de ce triangle de base étant

Rechercher l'équivalence b et d par raport au terme x²-y²

 

 

Au lieu de chercher à taton dans un produit ces deux termes (bd) , voyons ci-contre une méthode plus simple l'axiome de Diophante:

Pour d:  

Visuellement : y-x = les 2 largeurs d

Pour b:  

Exemple : Somme de deux nombres = 8 (b+d)

Différence de deux nombres (b-d) = 7

Par la premiére méthode :8²-7²=15 divisé par 4 !!! = 15/4 ... b=15/2 d=1/2

Part la deuxième méthode : d=(8-7)/2 = 1/2 ; b= (8+7)/2 = 15/2

Le terme (y²-x²)² =>((d + b)²-(d - b)²)² équivaut dans l'exemple à

 

Le terme (y²+x²)-(2xy)² équivaut dans l'éxemple à :

 

Ce principe fonctionne aussi pour les nombres de Diophante 7 et 5  et pour 8 et 7.

Y

X

b

d

7

3

(7-3)/2=2

(7+3)/2=5

7

5

(7-5)/2=1

(7+5)/2=6

8

7

(8-7)/2=1/2

(8+7)/2=15/2

Remarque importante: La somme de deux nombres au càrré moins la différence de deux nombres au carré égal 4 fois le produit de ces deux nombres :

La somme de deux nombres au càrré plus la différence de deux nombres au carré égal deus fois la somme du carré de ces deux nombres  :

OBS de Fermat. Mais peut-on trouver 4, ou plusieurs triangles rectangles en nombre infini, de même aire. Rien ne paraît s'opposer à ce que la question soit possible, celà sera recherché ulterieurement; nous avons de plus construit ce problème : Etant donné l'aire d'un triangle, trouver une infinité de triangles recatangles de même aire.

Etant donné l'aire , 6 qui appartient au triancle rectangle dont les coté sont 3 , 4 , 5 , en voici un autre de même aire : 7/10 , 120 / 7 , 1201/70, ou si l'on veut le reduite au même dénominateur : 49/70 , 1200/70 et 1201/70.

Un triangle de coté 3 et 4 , à pour surface 12/6 = 6

Par produit en croix  les cotés, produisent deux nouveaux cotés 7*7 et 120*10 C'est à dire 49 et 1200 (dont l'hypothénuse est 1201)

Le triangle rectangle de coté   a bien une surface de 6 (rectangle de 120/10 = 12 , divisé par 2 pour la surface du triangle rectangle.)

 

Notre méthode constante et perpétuelle est celle-ci ; Qu'on prenne un triangle quelconque dont l'hypothénuse soit z, la base b , la hauteur d , de celui-ci on déduit un autre triangle rectangle dissemblable de même aire ; il est formé de z² et de 2db , en appliquant aux cotés les termes 2zb² - 2zd².

Le choix des lettres du "triangle de base" de Fermat est trés habile, en effet un triangle rectangle de base b retourné de 90° devient la hauteur , la lettre d étant le mirroir de b

J'attribue la note suivante à Emile Brassine , les équations litérales tels qu'on les connaissent n'exixtant pas encore...

La formule générale du triangle rectangle est : , si on fait dans cette formule x = z² = b²+d² ; y =2bd , on trouve aisément , en divisant par 2z(b²-d²) que les cotés du triangle rectantgle sont :

et l'hypothénuse

Note importante sur z et z²

 

Soit un triangle rectangle de coté 5 et 12 ,

son hypothénuse z sera = à et

son hypothénuse au CARRE , sera = à

 

Vision numérique :

Appliquons l'exemple de Fermat du triangle 3,4,5 à cette formule pour y voir un peu plus clair... b=4 d=3 z=5 z²=25

1er coté:

2éme coté:

Hypothénuse:

On peut simplifier les deux cotés : et

Dans cette relation ; puisque 49² + 1200² = 1201² alors

2z(b²-d²) est un dénominateur commun et ne varie pas

 

Vision arithmétique:

Remplaçons dans avec les valeurs données par Fermat , et

 

1er coté:

 

 

2éme coté:

 

Puisque alors

 

Hypothénuse:

 

 

 

Ce nouveau triangle aura une aire égale à l'aire du précédent ; de ce second triangle, par la même méthode un troisième sera formé , du troisième au quatrième, du quatriéme un cinquième, et il sera fait à l'infini des triangles dissemblables de même aire ; et qu'on ne doute pas qu'on en puisse avoir d'autres que les trois donnés par Diophante, savoir : 1° 40,42,58 : 2° 24,70,74 ; et 3° 15,112,113 , ajoutns un quatrième dissemblable et cependant de même aire :

 

hypothénuse , base , hauteur.

 

A partir de ce point, il m'a été trés difficile de reconstitué ces chiffres , surtout le dénominateur commun 1189 , j'ai donc décomposé ces nombres (issus d'une simplification ?) pour retrouver d et b et pour trouver de quel triangle Fermat nous parle...

 

Si l'on remplace tel que nous le dit Fermat d=49 , b=1200 , z=1201 à partir de ses nombres de l'exemple 3,4,5 l'on obtient , aprés simplification, deux nouveaux cotés :

de surface 6

 

En fait , aprés avoir décomposé 1189 comme étant = à 41 * 29 , (20+21)*29 , et extrapoler b=21 , d=20 (b=42 et d=40)  ,j'en conclus que dans ce paragraphe  Fermat nous parle des triangles de Diophante ,de surface de 840 (et non pas de surface 6)... Vérifions avec b=42 , d=40 et z=58

 

 

Hypothénuse:

 

 

base:

 

 

nota (1189 = 41*29)

hauteur:

 

La surface du rectangle ainsi obtenu qui divisé par 2 donne bien une surface de 840. Il faut immaginer que Fermat faisait tout ces calculs à la main ...

 

Ces triangles , par la réduction au même dénominateur , donneront , en nombres entiers, les suivants de même aire

Premier

47560

/1189=40

49938

/1189=42

68962

/1189=58

Second

28536

/1189=24

83230

1189=70

87986

/1189=74

Troisième

17835

/1189=15

133168

1189=112

134357

/1189=113

Quatrième

1681

/ 1189 = 41/29

1412880

1189=48720/41

1412881

1412881/1189

De la même manière on trouvera à l'infini des triangles rectangles de meme aire ; et la question suivante sera un pas au delà des limites posées par Diophante :

Voici par une autre mèthode, un triangle dont l'aire est égale à six fois un carré , comme pour le triangle 3 , 4, 5 ; savoir 2896804 , 7216803 , 7776485.

La signification de 6 fois un carré est pour le moins mystèrieuse...

Dans un premier temps , décomposons 2896804 , 7216803, 7776485  pour trouver la méthode de Fermat !!! et dire que de tels carrés furent trouvés sans calculatrice !!!

 

2896804

7216803

Hypothénuse = 7776485

= 1702² = (2x23x37)²=4x23²x37²

47²x11²x3²x3 que j'ai transformé aprés recherches en

47²x33²x3

 

Moi , par contre , heureusement j'en avais une....

Méthode de recherche selon question 7:

 

Aprés quelques recherches , j'ai appliqué ces chiffres au tableau formé par l'équation de Diophante de la question 7 , n²+n+1 = (n-2)² , (et nojn pas question 8) pour proposer ce tableau :

23² +840     33² +280  
= 37² +840   = 37² +840
=47²

Ce qui ne m'a pas inspiré grand chose , sauf que Fermat nous parles de diférents carrés de 840 ...

 

Méthode de recherche selon question 8:

 

Si j'applique la  rechercher l'équivalence b et d par raport au terme x² et y² .sur ce triangle nous obtenons les résultats suivants:

Dans le premier terme de ce triangle rectangle  2896804 = 4x37²x23²  Si je considére 37 comme une somme et 23 comme une différence, et que je recherche les 2 nombres d+b = 37 et d-b = 23 :

d= (37+23) / 2 = 30 et b = (37-23) / 2 = 7 , ce qui me donne :

Pour le deuxième terme :

 

2896804

7216803

Hypothénuse = 7776485

4 (30² - 7²)²

4*(851)²=2896804

3 (40²-7²) ²

3*(1551)²=7216803

 

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