Arithmetica IV Q 1-2

Arithmetica Diophante / Fermat / Bachet / Brassine Livre IV Question 1 et 2

 

En bleu les annotations de Diophante.

En marron italique les annotations de Bachet

En vert les annotations de Fermat.

En bleu marine Emile Brassine

Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvées avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

 

Livre IV,Question I et II Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée

Question I Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée.

Solution. Nombre donné 370, nombre des cotés des cubes 10. Un des cubes sera (N+5)3 , l'autre (5-N)3 , leur somme 30N² + 250 = 370 ; d'oû N=2; coté du premier cube 7, cotè du second 3.

 

Details :

nota: n+5+5-n=10

 

Question II   Trouver deux nombres dont la différence soit égale à un nombre donné, et dont la différence des cubes soit aussi donnée.

Solution: différence des nombres 6, Différence de leurs cubes 504. Le premier nombre sera N+3 , le second N-3; la difference de leurs cubes 18N²+54 = 504 , N=5; coté des cubes 8 et 2

 

Details :

Si l'on divise n en deux cubes de coté a (somme des 2 cubes = 2a) et nous l'égalons à D (différence des deux cubes) nous obtenons la formule générale suivante:

 

Vérification avec les 2 exemples ci_dessus:

a=5 , D=370

370=6x5n²+ 2x125

370-250=30n²

120=30n² => n=2

 

a=3 , D=504

504=6x3n²+ 2x27

504-54=18n²

450=18n² => n=5

Livre IV,Question II ,Questions supplémentaires de Bachet

Dans le commentaire de la question II; Bachet propose les trois questions suivantes:

1er question: étant donnés deux cubes, en trouver deux autres dont la  somme soit égale à la différence des deux premiers.Il faut de plus que le double du petit ne surpasse pas le plus grand.

()

2me question : Étant donnés deux cubes, en trouver deux autres dont la différence égale la somme des cubes donnés ()

3ème question: Étant donné deux cubes, en trouver deux autres dont la différence égale la différence des cubes donnés. le double du plus petit cube doit exeder le plus grand ()

OBS DE FERMAT: Nous avons facilement étendu par la répétition de l'opération la détermination de la première question, et nous avons généralement construit cette question et les suivantes, ce que Bachet et Viele lui-même n'avaient accomplir : soient 64 et 125 les deux cubes données, il faut en trouver deux autres dont la somme soit égale à la différence des cubes donnés. Pour la solution à la 3éme question , Bachet trouve que les cubes sont 15252992/250047 et 125/250047

Note de Emile Brassine: Quand on a une relation de la forme a3+b3=x3+y3, a et b étant donnés, il est facile de trouver tout d'abord une solution en posant , en disposant    de manière à faire disparaître , après la substitution , la première puissance de N; on tombe alors sur une relation de la forme qui donne de suite ..

Cliquez ici pour aller directement à la suite de l'observation de fermat

 

Si l'on pose directement la première ou la deuxième question de Bachet  b3 ne disparaît pas (a3-b3= a3.... +B3...) mais deviens 2b3 ce qui conduit à poser directement la troisième question. selon le modèle du cas particulier de Bachet. ,la méthode de généralisation de Fermat, et la note de Emile Brassine. (qui produisent les cubes 15252992 / 250047 et 125 / 250047

Suppression des parenthèses

Elimination de a3 et b3

Substitution de par sa valeur (calculée ci contre) pour éliminer les termes contenant n puissance 1. c'est à dire : et .

Elimination des termes n

Calcul des puissances

 

Calcul de pour faire disparaître par substitution la première puissance de ln .

on calcule une valeur à telle que l'addition de ces deux termes soit égal à 0

 

 

Vérification

 

Factorisation, notez que a4 du deuxième terme deviens a3

Deuxième terme, mise en ordre , simplification par b.

n3/n2=n, mise au dénominateur commun

Elimination du b3 du premier facteur, changement de signe (b3-a3 => -b3+a3)

Selon l'identité remarquable étendue, simplification

 

Identité remarquable étendue

 

Soit si l'on prend par exemple  , alors :

 

Cette opération peut être répétée à l'infinie...

 

exemple a=4 , b=1:

44-14=(16+1)(4+1)(2+1)(2-1)

256-1=17*5*3*1, 255=255

 

Nous avons , par cette artifice créé 4 facteurs qui ne peuvent, selon Fermat pas être congrus à un même nombre, ou à 1 ou a l'inverse de ce nombre. En effet,

Z4 =  z x z x z xz ou par exemple  z3 x z x 1 x 1/z

 

Visiblement, dans les écrits de Fermat, je n'ai pas trouvé de traces de cette piste, mais cette technique a été utilisée par Fermat (puisque nous allons l'utiliser pour retomber sur les mêmes nombres)

Calcul de

 

Simplification

 

 

Calcul de

 

 

Appliquons les cubes 125 (a=5) et 64 (a=4) annoncés dans l'observation de Fermat afin de voir si la formule reconstituée produit bien deux cubes de 12552992/250047 et 15252867/250047

 

 

 

 


Note de Brassine: Bachet résout la troisième question dans le cas particulier où les cubes donnés sont 125 et 64, et il pose ce qui donne, en faisant disparaître la première puissance de N par le moyen de l'indéterminée

Mais si Bachet avait appliqué son procédé aux cubes 8 et 1 que propose Fermat , il aurait fallu poser , et alors on aurait trouvé

Par la méthode générale nous trouvons le même résultat : (N - 5 ) = 5/63 ,(N-4)=248/63

 

Réalisons aussi avec a=2 et b=1, se cube étant évoqué plus loin sur la troisième question de Bachet

 

 

 

 

Observations:

 

Dans cet exemple (a=2,b=1) le second terme est négatif.

 

Sur ces deux exemples les termes sont divisible par 3 (modulo3).

 

,en divisant 5 et 4 par 3 et en les élevants au cube l'on forme deux autres cubes 8 et 1 évoqués à la troisième question

Posons selon la proposition de Fermat, la 3em question en version positive.

Substitution de par

Elimination de et

 

Transformation de 3bn² par multiplication de a² / a²

Elimination des termes qui sont facteurs n

Calculs des puissances, nous notons les changements de signes pour les puissances paires

Factorisation des mêmes puissances de n

Division de n3 par n2

Simplification , suppression de a3 , factorisation du numérateur par b

,

Disparition de a3+b3 au dénominateur en utilisant l'identité remarquable étendue (voir note)

 

=>

 

 

L'on remarque que n est négatif (si a3 > b3)

 

Calcul de ,

 

simplification par a² , multiplication des deux négatifs.

=>

Calcul de pour faire disparaître par substitution la première puissance de n

 

 

  =>    =>

 

graph des deux cubes obtenus a partir de (x+1)3-x3

En Bleu (2(x+1)3)*x-(x4))/(x3+(x+1)3)

En gris-(2*(x+1)*(x3)-x4)/(x3+(x+1)3)

graph des deux cubes obtenus a partir de (x+1)3+x3

En Bleu (x4+(2x*(x+1)3))/(x3-(x+1)3)

En gris ((x+1)4+(2*x3*(x+1)))/(x3-(x+1)3)

 

calcul de

b + n est négatif !!!

 

 

ou puisqu'au cube

Reprenons les cubes de coté a=5 et b=4 de l'observation de Fermat.

 

 

 

 

 

Appliquons a=2 et b=1 (qui donne deux cubes de 8 et 1) afin de vérifier si nous obtenons le même cube évoqué sur l'observation de Fermat sur la troisième question

 

 

 

 

 

Factorisons  de ces deux équations et découvrons quelques conjectures étonantes ou cliquez ici pour passer directement à la suite

Equation Bachet généralisée Fermat

 

Equation Fermat

Dans factorisons b :

 

Idem pour , factorisons a

 

ou équivalent

 

Nous arrivons à une équation trés interressante de la forme

 

 

 

Sur le même principe l'équation selon la méthode Fermat :

 

et

 

 

ou sous une troisième équivalence

Ce qui donne la forme :

 

Vérifions avec a=5, b=4 que nous obtenons bien les mêmes résultats.

Rappel:

 

 

Vérification avec a et b factorisé,  

 

,notez que 4*62 est bien = à 744 (voir rappel ci dessus), 53=125

 

Nous observons  64-125 (a3 - b3) = 61 et 186+3 (les numerateurs)  = 189 (/3=63)

 

 Rappel:  

Vérification avec a et b factorisé,

 

 

 

 

5 * 253 = 1265 et 4*314 = 1256

 

Observation trés importante :  

125 - 64 (a3 - b3) = 61 le dénominateur commun.

253-314 (les numerateurs)  =  -61

253+314/3=189

Dans la relation , la SOMME des numérateurs de  =  , étant égale au dénominateur de  alors .

 

 

Dans la relation , la DIFFERENCE des numérateurs de =

, étant égale à l'opposé du dénominateur de alors

A ce point , nous tombons sur une conjecture (non vérifiée) tout à fait surprenante :

QUE NOUS APPLIQUIONS ou , NOUS OBTENONS LE MEME RÉSULTAT!!!!!, Vérifions

ou dans sa version simplifiée

 

D'après le mode de determination, ces cubes ont une différence égale à celle des cubes donnés; mais ces deux cubes trouvés par l'opération de la troisième question

() , peuvent être transposés à la première question  () puisque le double du plus petit ne surpasse pas le plus grand.

Ainsi étant donnés ces deux cubes , qu'on en cherche deux autres don't la somme soit égale à la différence des cubes donnés, ce qui est permis par la détermination de la question première ()

Et voici maintenant , la phase la plus surprenante :

Mais la différence des deux cubes trouvés est, d'après la troisième question, égale à la différence des deux cubes considérés d'abord, savoir 64 et 125, par conséquent rien n'empéche de construire deux cubes dont la  somme soit égale à la différence des deux cubes donnés 60 et 125, ce qui, sans aucun doute , étonnerait Bachet lui même..

60 n'etant pas un cube , est ce une faute de frappe ? quelle est cette démonstration qui étonnerait Bachet ?

Observation de E Brassine: En résumé , par la première question 125-64 = x3 + y3 , par la troisième Bachet trouveque 125-64 = 15252992 / 250047 - 125 / 250047, on peut donc se proposer de résoudre 15252992 / 250047 - 125 / 250047=x3 + y3, qui d'aprés la forme du premier nombre donnera pour x et y une solution nouvelle

Brassine n'en dit pas plus , la recurence des deux fonctions ne donnant rien , rétirer 2b3 a a3 + b3 ne donnant aussi pas grand chose, il nous faut aborder  la methode employée dans la suite : l'observation de Fermat sur la Troisième question , C'est à dire l'échange des dénominateurs:

Question1 , Q1 =  

Question 3 , Q3=

Aprés de nombreuses recherches intensives , et en m'inspirant de  l'observation de Fermat sur la Troisième question , qui nous guide dans la démarche de Pierre de Fermat quant à la manière dont il réalise Q1 = Q3  sans faire Q1 ° Q3  mais en réalisant Q1=x=Q2, je propose la démonstation suivante correspondante à la diférence de 60 et 125 et à la suite de ses notes quant à la boucle entre Q1 et Q2 et Q3.

Si nous considérons que , et que alors nous pouvons chercher une solution pour avec au dénominateur de Q3

Pour obtenir une double égalité, si alors ET SI   alors

 

Avec la différence des deux cubes 64 et 125 nous avons construit deux cubes 64 (43) et 13 dont la somme égale la différence de deux nombres 60 et 125 pouvant être élevés au cube pour entrer dans Q1.

L'on note que

Il est clair que pour batir sa démonstration Fermat ne s'est pas seulement appuyé sur un exemple numèrique, il nous reste à batir une généralisation de cette théorie aboutissant à sa note du livre II question 10 et au GTF à savoir:

 

L'utilisation de 33 (53 + 43 3)

Généraliser ces formules pour toutes puissances

 

Livre IV,Question I et II , Sous Question 3 de Bachet 

 

OBSERVATION DE FERMAT SUR LA TROISIEME QUESTION.()

La méthode qu'emploi Bachet pour cette troisième question n'est pas légitime, et nous l'apercevrons par un procédé pareil à celui dont nous avons fait usage pour la première question. ()

De plus, par ce qui à été dit ci dessus , nous construirons aisément une question que Bachet à ignorée. Diviser un nombre donné composé de deux cubes en deux autres cubes, et cela par une suite infinie d'opérations successives, comme nous l'avons indiqué plus haut.

Soient deux cubes 8 et 1 , on veut en trouver deux qui aient la même somme. Par la seconde question, trouvons deux cubes dont la différence égale la somme 9 des cubes donnés, ces cubes seront 8000/343 , 4913/343 et puisque le double du plus petit excède le plus grand , ma proposition se ramène à la troisième question, qui enfin sera réduite à la première, et le problème sera résolu. Si on veut une autre solution, la question se ramènera de nouveau à la seconde, etc etc.

Mais pour qu'il soit évident que la détermination de la troisième question n'est pas légitime : étant donnés deux cubes de 8 et 1 , il faut en trouver deux autres dont la différence égale la différence des deux cubes donnés ; certainement Bachet affirmerait que cette question est impossible ; cependant les deux cubes trouvés par notre méthode dont la différence égale 7 ou 8-1 , sont les suivantes :

2024284625 / 6128487 et 1981385216 / 6128487

 Rappel des cubes de 2 et 1 que nous avons retrouvés plus haut

Une piste complémentaire pour le cube de 60 et la fameuse démonstration qui étonnerait Bachet nous est donné dans la manière dont Fermat trouve ces deux cubes.

Raprochons ces deux cubes trouvés par Fermat avec les deux cubes de Q3  

 

D'autre part , nous avons observé au chapitre précédent que Donc

Remplaçons 53 + 43 dans par 33(23-13)  => 

Déplaçons le 33 vers le dénominateur :


En janvier 2013, aprés avoir reconstitué toutes ces équations, j'en conclus que ces seules démonstrations ne suffisent pas à conduire sur la piste du Grand Théorème de Fermat et qu'il faut aller chercher encore plus loin, c'est à dire d'orienter mes recherches vers le livre II... (avril 2013!!!)

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Patrick Stoltz le 181/0/2012 - 4/12/2012 - 22/01/2013  pstoltz@shemath.com