Arithmetica Diophante / Fermat / Bachet / Brassine Livre IV Question 1 et 2

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En bleu les annotations de Diophante.

En marron italique les annotations de Bachet

En vert les annotations de Fermat.

En bleu marine Emile Brassine

Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvées avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

Livre IV,Question I et II Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée

Question I Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée.

Solution. Nombre donné 370, nombre des cotés des cubes 10. Un des cubes sera (N+5)³ , l'autre (5-N)³ , leur somme 30N² + 250 = 370 ; d'oû N=2; coté du premier cube 7, cotè du second 3.

Details :

nota: n+5+5-n=10

Question II   Trouver deux nombres dont la différence soit égale à un nombre donné, et dont la différence des cubes soit aussi donnée.

Solution: différence des nombres 6, Différence de leurs cubes 504. Le premier nombre sera N+3 , le second N-3; la difference de leurs cubes 18N²+54 = 504 , N=5; coté des cubes 8 et 2

Details :

Si l'on divise n en deux cubes de coté a (somme des 2 cubes = 2a) et nous l'égalons à D (différence des deux cubes) nous obtenons la formule générale suivante:

Livre IV,Question II ,Questions supplémentaires de Bachet

Dans le commentaire de la question II; Bachet propose les trois questions suivantes:

1er question: étant donnés deux cubes, en trouver deux autres dont la  somme soit égale à la différence des deux premiers.Il faut de plus que le double du petit ne surpasse pas le plus grand.

()

2me question : Étant donnés deux cubes, en trouver deux autres dont la différence égale la somme des cubes donnés ()

3ème question: Étant donné deux cubes, en trouver deux autres dont la différence égale la différence des cubes donnés. le double du plus petit cube doit exeder le plus grand ()

OBS DE FERMAT: Nous avons facilement étendu par la répétition de l'opération la détermination de la première question, et nous avons généralement construit cette question et les suivantes, ce que Bachet et Viele lui-même n'avaient accomplir : soient 64 et 125 les deux cubes données, il faut en trouver deux autres dont la somme soit égale à la différence des cubes donnés. Pour la solution à la 3éme question , Bachet trouve que les cubes sont 15252992/250047 et 125/250047

Note de Emile Brassine: Quand on a une relation de la forme a³+b³=x³+y³, a et b étant donnés, il est facile de trouver tout d'abord une solution en posant , en disposant   de manière à faire disparaître , après la substitution , la première puissance de N; on tombe alors sur une relation de la forme qui donne de suite ..

Cliquez ici pour aller directement à la suite de l'observation de fermat

Si l'on pose directement la première ou la deuxième question de Bachet  b3 ne disparaît pas (a3-b3= a3.... +B3...) mais deviens 2b3 ce qui conduit à poser directement la troisième question. selon le modèle du cas particulier de Bachet. ,la méthode de généralisation de Fermat, et la note de Emile Brassine. (qui produisent les cubes 15252992 / 250047 et 125 / 250047

Posons selon la proposition de Fermat, la 3em question en version positive.

Factorisons  de ces deux équations et découvrons quelques conjectures étonantes ou cliquez ici pour passer directement à la suite

D'après le mode de determination, ces cubes ont une différence égale à celle des cubes donnés; mais ces deux cubes trouvés par l'opération de la troisième question ( ) , peuvent être transposés à la première question  (  ) puisque le double du plus petit ne surpasse pas le plus grand.

Ainsi étant donnés ces deux cubes , qu'on en cherche deux autres don't la somme soit égale à la différence des cubes donnés, ce qui est permis par la détermination de la question première ( )

Et voici maintenant , la phase la plus surprenante :

Mais la différence des deux cubes trouvés est, d'après la troisième question, égale à la différence des deux cubes considérés d'abord, savoir 64 et 125, par conséquent rien n'empéche de construire deux cubes dont la  somme soit égale à la différence des deux cubes donnés 60 et 125, ce qui, sans aucun doute , étonnerait Bachet lui même..

60 n'etant pas un cube , est ce une faute de frappe ? quelle est cette démonstration qui étonnerait Bachet ?

Observation de E Brassine: En résumé , par la première question 125-64 = x3 + y3 , par la troisième Bachet trouveque 125-64 = 15252992 / 250047 - 125 / 250047, on peut donc se proposer de résoudre 15252992 / 250047 - 125 / 250047=x3 + y3, qui d'aprés la forme du premier nombre donnera pour x et y une solution nouvelle

Brassine n'en dit pas plus , la recurence des deux fonctions ne donnant rien , rétirer 2b3 a a3 + b3 ne donnant aussi pas grand chose, il nous faut aborder  la methode employée dans la suite : l'observation de Fermat sur la Troisième question , C'est à dire l'échange des dénominateurs:

Aprés de nombreuses recherches intensives , et en m'inspirant de  l'observation de Fermat sur la Troisième question , qui nous guide dans la démarche de Pierre de Fermat quant à la manière dont il réalise Q1 = Q3  sans faire Q1 ° Q3  mais en réalisant Q1=x=Q2, je propose la démonstation suivante correspondante à la diférence de 60 et 125 et à la suite de ses notes quant à la boucle entre Q1 et Q2 et Q3.

Si nous considérons que , et que alors nous pouvons chercher une solution pour avec au dénominateur de Q3

Pour obtenir une double égalité, si alors    ET SI   alors

Avec la différence des deux cubes 64 et 125 nous avons construit deux cubes 64 (4³) et 1³ dont la somme égale la différence de deux nombres 60 et 125 pouvant être élevés au cube pour entrer dans Q1.

L'on note que

Il est clair que pour batir sa démonstration Fermat ne s'est pas seulement appuyé sur un exemple numèrique, il nous reste à batir une généralisation de cette théorie aboutissant à sa note du livre II question 10 et au GTF à savoir:

L'utilisation de 3³ (5³ + 4³ 3)

Généraliser ces formules pour toutes puissances

Livre IV,Question I et II , Sous Question 3 de Bachet 

OBSERVATION DE FERMAT SUR LA TROISIEME QUESTION.( )

La méthode qu'emploi Bachet pour cette troisième question n'est pas légitime, et nous l'apercevrons par un procédé pareil à celui dont nous avons fait usage pour la première question. ( )

De plus, par ce qui à été dit ci dessus , nous construirons aisément une question que Bachet à ignorée. Diviser un nombre donné composé de deux cubes en deux autres cubes, et cela par une suite infinie d'opérations successives, comme nous l'avons indiqué plus haut.

Une piste complémentaire pour le cube de 60 et la fameuse démonstration qui étonnerait Bachet nous est donné dans la manière dont Fermat trouve ces deux cubes.

Raprochons ces deux cubes   trouvés par Fermat avec les deux cubes de Q3

D'autre part , nous avons observé au chapitre précédent que Donc

Remplaçons 5³ + 4³ dans par 3³(2³-1³)  => 

Déplaçons le 3³ vers le dénominateur :