Arithmetica  II Q 9 & 10
 

En bleu les annotations de

Diophante.

En vert les annotations de

Fermat.

En bleu marine

Emile Brassine

Sur fond jaune, des notes importantes et les calculs réalisés avec les équations retrouvés avec les nombres donnés en exemple dans les notes de Fermat

 

Livre II Question 9 Diviser un carré donné en deux autres carrés

 

Exemple. Soit 16 le carré donné , j'appellerai N² et 16-N² les carrés cherchés, il reste à trouver N, de telle sorte que 16-N² soit un carré.

Je pose 16-N² = (2n-4)² d'o'ù n = 16/5

Observation de Fermat, le Grand Thèorème de Fermat :

Décomposer un cube en deux autres cubes, une quatrièmes puissance quelconque en deux puissances de même nom au dessus de la deuxième puissance, est une chose impossible, et j'en ai assurément trouvé l'admirable démonstration, la marge trop exiguë ne la contiendrait pas.

Comment Diophante trouve 16/5?

Les 16 s'annulent, -n²=4n² devient 5n²

 

L'on note que:

20/5 - 16/5 =4/5 ,et que 20/5 - 12/5 = 8/5 le double de l'écart

Le dénominateur bien sûr NE S'ADDITIONNE PAS

Arithmética Livre 2 Question 9

Remarque: Comme confirmé dans d'autres annnotations , Fermat ne parlait pas seulement des nombres entiers mais de rationnels et ou premiers ou non.

Pour preuve son observation dans la question XXII du livre III : ... seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois ...

Livre II question 10 Diviser un nombre qui est la somme de deux carrés en deux autres carrés

Diviser un nombre qui est la somme de deux carrés en deux autres carrés.

Exemple: soit le nombre donné 13=4+9 , j'appelle (2+N)² et (2N - 3)² les deux carrés cherchés; un devra avoir 4+9=(2+N)² + (2N - 3)² d'ou N = 8/5

Un nombre composé de la somme de deux cubes ne pourrait-il pas être décomposé en deux autres cubes? Cette question difficile n'a pas été assurément connus de Viele, de Bachet, et peut être même de Diophante, j'en ai cependant donné la solution dans les notes, à la deuxième question du livre IV

D'aprés cette note de Fermat située juste au probléme suivant , l'on peut raisonablement considérer que Fermat avait déjà étudié le Livre IV (question II)  AVANT d'affirmer son admirable demonstration . De plus, en étudiant un bon nombre de questions et d'annotations de Fermat ,que je détaille ci dessous, Il fait souvent référence à ses théorèmes enoncés sur des questions postèrieures .

Par exemple , les hypoténuses 4n+1 sont évoquées entre autre dans le Livre III question 22 et , Livre V question 12

 

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