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  Site dédié à l'Arithmétique ancienne notament de Fermat , Diophante, et Euclide .

Vous trouverez sur ce site de nombreuses illustrations animées et explications détaillés à partir de schémas sur la magie des nombres

Objectifs

A Travers ces études , fournir des outils pédagogiques (Animations, graphiques...) pour vulgariser et visualiser l'Arithmétique (voir page collège ou arithmètique modulaire)

Prouver que Pierre de Fermat disposait de toutes les connaissances nécessaires pour annoncer ses théorèmes avec des solutions clefs, qui lui ont permi de découvrir 500 ans avant , l'arithmétique modulaire, l'arithmétique différentielle, factorielles et somme d'une série, et même le complément à 2 !!!... et que la solution était si évidente pour lui qu'il ne l'a pas écrite ou qu'il l'a déjà écrite dans ses autres observations faites dans l'arithmética. (voir Etude sur arithméticaSolution du Théorème de Fermat),

Poser de nouvelles conjectures découvertes grâce à l'étude de l'Arithmétique de Fermat sur les nombres premiers.

Poser de nouvelles formules arithmétique: Clef de Fermat, arithmétique modulaire , inverses modulaires , nombres polygonaux...

Approfondir en détail l'Arithmetica de Diophante pour découvrir leurs secrets.

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Etude de l'arithmétique de Diophante par Fermat

 

Index de la rubrique

Vers l'index général de l'arithética

Dernière mise à jour du 10/04/2019

Rubriques :

 

Arithmetica Livre 1 Q 30 


Arithmetica livre III Q 22

 
Arithmetica Livre IV Q 1-2 

 

Arithmetica livre V Q 7-8

 
Arithmetica Livre V Q12

 

arithmetica Livre Polygonaux

 
Arithmetica notes perso

 

L'arithmetica de Diophante (environ 200-300) est une liste de questions arithmétiques contenues dans VI livres .

Par la suite,cet arithmetica fut etudié et annoté par Bachet (1581-1638) , par Fermat(1601-1665) et en 1853 par Emile Brassine, professeur à l'école impériale d'artillerie de Toulouse.

C'est au cours de l'étude du livre II paragraphe 9 de l'Arithmetica de Diophante que Fermat a posé son grand théorème.

Suivons ,au cours de certains paragraphes, les notes de Fermat que je vais détailler en reconstituant les équations cachés dans les nombres et phrases écrites par Fermat (et les annotations de Emile Brassine) afin de trouver par quels algorithmes Fermat a posé ses théorèmes.

Vous y découvrirez dans cette étude mathématico-archéologique des équation vraiment trés surprenantes dont:

 

Livre I question 30: On donne la somme et le produit de deux nombres : trouver ces deux nombres =

Nous abordons aussi , dans ce chapitre le nombre d'or

Livre III Question 22: Trouver quatre nombres tels, que le carré de leur somme, augmenté ou diminué successivement de chacun d'eux, donne pour résultat un carré.

Livre IV Question 1 et 2: Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des cotés est aussi donnée

Formule reconstituée (Différence de deux cubes produisant deux nouveaux cubes)

Livre V question 7 - 8 : Recherche d'une infinité de triangles de même surface , utilisation du triangle de base d et de hauteur b :

 

Livre V question 12 :  Etude des hypoténuses de type 4n+1

 

Livre des nombres Polygonaux :  Etude des progréssions arithmétiques , liaison avec la formules sur les nombres polygonaux et les équations du second degrés

  

Notes personnelles / différences des notations . et x pour la multiplication

:Ma source :Oeuvres mathématiques et de l'arithmétique de diophante par Emile.Brassine aux éditions Jacques Gabay

Démonstration des équations du second degrés

Démonstration simple de l'équation du second degrés

Diophante évoque dans son livre sur les nombres polygonaux les équations du second degrés et leurs lien avec  les nombres polygonaux

Le théorème des hypoténuses premières de type 4n + 1

Tout nombre
4n+1 premier est la somme de 2 carrés

mise à jour du 14/01/2019

Ies annotations les plus récurrentes de Pierre de Fermat qu'il a écrites sur l'arithmetica de Diophante ne sont pas , comme on pourrait s'y attendre , son petit Théorème, les nombres polygonaux, ou les triangles de Pascal  mais sont relatives à son théorème dit "des deux carrés" :

Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini

Nous prouvons aussi dans cette section que :

L'aire d'un triangle rectangle exprimée en nombres entiers ne peut être égale à un carré ... Si l'aire d'un triangle était un carré , on donnerait deux quatrièmes puissances dont la différence serait un carré... 

Etudes sur les nombres polygonaux de Fermat selon Diophante

 Rubrique

Page sur les nombres polygonaux

Démonstrations animées - Etudes de bases - Glossaire

Nombres triangulaires carrés ( TC ) et nombres triangulaires (T )

Démonstration de la conjecture de Claude-Gaspard Bachet

Utilisation du binaire et du complément à deux

"Coté des nombres polygonaux" n(n+1)(n+2)(n+3)... / 1 x 2 x 3 , (Introduction à la clef de Fermat) rapprochement avec les triangles de Pascal ,

 

La clef de Fermat

La clef de Fermat : Equations de base de Fermat

J'ai toujours pensé que Pierre de Fermat  n'était pas un menteur , mais qu'il avait posé ces théorèmes , à tord ou à raison , grâce à une formule clef suffisamment simple pour être mémorisée , car Fermat , magistrat de métier , devait avoir cette formule clef en tête pour ses études , et que cette formule clef était passée inaperçu au cour des siècles...

L'étude détaillée de l'arithmetica m'a conduit à trouver cette formule clef :

Observation de Fermat sur l'étude du problème de Diophante (Livre sur les nombres polygonaux question 4): Etant donné un nombre polygonal trouver le coté

Nous avons trouvé une belle et admirable proposition que nous placerons ici sans démonstration.

Dans la progression des nombres naturels commençant par l'unité, un nombre quelconque, multiplié par celui qui le suit et qui est plus grand, fait le double du triangulaire de ce nombre; La multiplication du triangulaire, par le nombre qui le suit et qui est plus grand dans la progression, donne le triple du pyramidal; Le produit du pyramidal, par le nombre suivant de la progression, donne le quadruple du triangulo--triangulaire, et ainsi à l'infini par une méthode générale et uniforme;

Ce qui m'a conduit à l'expression suivante :

fClef 1 : Développement de n(n+1)(n+2)... /1*2*3 , remplacement de n par 1

Démo simple du petit théorème de Fermat

fClef 2 : N pair => 2n et N impair = 2n+1

 

fClef 3  : Equations du second degrés                     Démonstration simple de l'équation du second degrés

 

fClef 4 : Soit 4n+1 une hypothénuse première , trouver les 2 carrés qui le composent , C.A.D , Z premier = 4n+1 = a²+b²

OBS DE FERMAT. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle (formé de cotè entiers), son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois, etc à l'infini.

Soit en clair : Si  un nombre premier  à la forme 4n+1 alors ce nombre est composé de 2 carrés (maj du 14/01/2019)

Tout nombre 4n+1 premier est la somme de 2 carrés

fClef 5 : Décomposition de polygonaux (un nombre est composé de 1,2,3 Triangulaire, 1,2,3 ou 4 carrés ....

 

Petit Théorème de Fermat / Démonstration / Conjecture nombres premiers

Démo simple du petit théorème de Fermat

Définition

Démonstration du petit théorème de Fermat par la clef de Fermat

Conjecture sur nombres premiers

Formules sur racines carrés de puissance de 2

Carrés topologique.

Nombre premiers : Théorème sur les factorielles de 3 nombres consécutifs.

 Rubrique

Théorème sur Nombre premiers

 

Etude sur les nombres premiers en corollaire du petit théorème de Fermat : si 2p-p divisible par p alors p est premier ...

 

Le Dernier Théorème de FERMAT

Depuis l'Antiquité les Mathématiciens , tentent de résoudre des énigmes sur la clef des chiffres (nombres premiers, carrés de nombres , Pi...).

 

Leurs découvertes sont encore utilisées de nos jours , citons Euclide et sa division , Pythagore et son théorème , Thalès ... mais aussi un mathématicien moins connu du nom de Diophante dont  Pierre de Fermat poursuivi ces travaux.

 

Aprés avoir étudié et utilisé, en tant qu'informaticien, leurs divers  travaux durant plusieurs années, j'ai été attiré par le Théorème de Fermat (1601-1665)  et surtout par la petite phrase intrigante qu'il a annoté dans la marge de son exemplaire de l'  "Arithmetica" de Diophante : "j'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir".

Cette note de Fermat faisait allusion à l'équation . Fermat écrivait que si cette équation a un nombre infini de solutions quand n est = à 2, elle n'a aucune solution quand la puissance est supérieure à 2

 

Extraits d'internet:

Il n'existe pas d'ensemble d'entiers strictement positifs x,y,z vérifiant l'équation xn + yn = zn lorsque n est un entier tel que n > 2

. Ce théorème fut démontré par le mathématicien Anglais Andrew Wiles de l'Université de Princeton, avec l'aide de Richard Taylor , et  publiée en 1995 dans le livre Annals of Mathematics .

La démonstration évoquée par Pierre de Fermat est soit fausse, soit inconnue à ce jour, car la démonstration réalisée par Andrew Wiles utilise des outils mathématiques dont M. de Fermat ne pouvait vraisemblablement disposer compte tenu des connaissances de son époque.

 

Rubrique

Vision simple d'une hypothénuse

A partir le la phrase de Fermat "... mais la marge est trop étroite pour la contenir"  j'ai imaginé cette simple démonstration graphique agrandissant la marge de Fermat

Il faut tout d'abord considérer que c²=b²+a² est égal à b²= c² - a² ou a² = c² - b² ; En divisant un carré en 'bandes'  paires ou impaires je ré-assemble 2 nouveaux carrés:

Former toutes les suites pythagoriennes avec seulement 2 formules (dont 29-21-20)

Parité fondatrice: C'est 2 formules une de parité paire et une impaire qui produisent des parités différentes (en fait 2 topologies différentes)

Triangle rectangle "primaires"

Rubrique

Vers site Franquart

A partir de ce nouveau principe et des écrits de Fermat, cette étude tente de démontrer que Fermat avait peut être trouvé cette solution logique . (formules des différences de Cn - An)

Topologie des volumes

Etudes sur arithmétique modulaire

 Rubrique

Page sur l'arithmétique Modulaire et les opérations

Explications sur opérations modulaires

Représentation fractionnaire des nombres modulaires

Nouvelles formules sur les inverses -n et 1/n, soustractions et divisions modulaires

Rédigé le 27/07/2010 dernière mise à jour le 11/2011

Calculatrice modulaire (le 01/11/2010)

Démonstration des inverses modulaires, explications détailées. [Les inverses modulaires

[Sommaire] de l'étude détailée des inverses modulaires

 

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Clef de Fermat

 

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Calculatrice de Fermat

fCalculatrice de "Fermat": Utilise les formules des Carré topologiques pour créer une infinité de triangles rectangles et vérifier la solution de Fermat (Différences de cubes et +)

Calculatrice modulaire

fnew Calculatrice modulaire (+,-,*,/)

Matrices diverses

Matrice C2-A2     Matrice c2-a2+2n(c-a)     Matrices volumes

Matrices diverses (dont matrices volumes)

Liens

Fermat: Sa solution

http://franquart.fr

Calculatrice en ligne

http://www.calculatrice.org/

Calculatrices scientifique en ligne

http://www.comment-calculer.com

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le 19/02/2009 – dépôt INPI n°:343319 (carrés topologiques)- schemath.com

le 23/08/2010 – dépôt INPI 390953 le 20/12/2010 404167 - division modulaire

de 2011 à 2014 - Publications sur l'arithmética de Diophante et hypothénuses 4n+1

Historiques des post-publications sur tweeter

 
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